IW_2_Math_Analysis

.

Поэтому

.

3. Поставляя в последнее равенство выражение для , получаем ответ.

Задача 11. Найти производную.

	.
	.
	.
		.
Задача 11. Найти производную.
	11.2. y sin		ln sin		.
11.1. y arctg x 1 2 ln arctg x .				x
		x
11.3. y sin x 5ex .	11.4. y arcsin x ex .
11.5. y ln x 3x .	11.6. y xarcsin x .
11.7. y ctg3x 2ex .	11.8. y xetg x .
11.9. y tg x 4ex .	11.10. y cos5x ex .
11.11. y xsin x 8ln xsin x .	11.12. y x 5 ch x .
	41

11.13. y x3 4 tg x . 11.15. y x2 1 sh x .

11.17. y sin x 5 x2 .

11.19. y 19x19 x19 .

11.21. y sin x e1 x .

11.23. y xecos x .

11.25. y xesin x .

11.27. y xearctg x .

11.29. y x29x 29x.

11.31. y xex x9 .

11.14. y xsin x3 .

11.16. y x4 5 ctg x . 11.18. y x2 1 cos x .

11.20. y x3x 2x.

11.22. y xectg x .

11.24. y x2x 5x.

11.26.y tg x ln tg x 4 .

11.28.y x8 1 th x .

11.30.y cos 2x ln cos 2 x 4 .

ифференцирование. Задача 12

Вычисление производных

Постановка задачи. Найти производную функции .

План решения. Задача решается в несколько этапов. На каждом этапе необходимо распознать тип функции и применить соответствующее правило дифференцирования. Возможны следующие типы функций.

1. Функция имеет вид ,

где – некоторые функции и – некоторые постоянные (константы). Используем формулу производной линейной комбинации

.

2. Функция имеет вид . Используем формулу производной произведения:

. 42

3. Функция имеет вид

. Используем формулу производной частного:

.

4. Функция имеет вид . Используем формулу производной сложной функции:

.

5. Функция имеет вид . Производная такой функции вычисляется при помощи формулы

.

Переход от этапа к этапу совершается до тех пор, пока под каждым знаком производной не окажется табличная функция.

Таблица производных основных элементарных функций.

Функция

Производная

43

Задача 12. Найти производную.

44

Задача 12. Найти производную.
	1	x2 8							x2	2
12.1. y			x2		4												x 0.
										arcsin						,
	24								16						x
12.2. y		4x 1			1			arctg			4x		1		.
	16x2 8x 3				2					2

12.3.y 2x ln 1 1 e4 x e 2 x arcsin e2 x .

12.4.y 9x2 12x 5 arctg 3x 2 ln 3x 2 9x2 12x 5 .

			2																		1			2x x2
12.5. y									2x x2								ln
																										.
			x 1
																							x 1
			x2						3							1
12.6. y																			x2 18 x2 9,										x 0.
					arcsin
			81								x			81
12.7. y			1				arctg			3x					1					1			3x 1				.
			2						2											3		3x2 2x 1

12.8.y 3x ln 1 1 e6 x e 3x arcsin e3x .

12.9.y ln 4x 1 16x2 8x 2 16x2 8x 2 arctg 4x 1 .

1 2 x x2

4

12.10. y ln

x x2 .

2x

1

2x 1

12.11.

y 2x 3

4

1

2

4x2

12x 11

arcsin

x2 3x 2,

2x 3 0.

2x 3

3

12.12. y

x 2

1

arctg

x 2

.

x2

4x 6

2

2

12.13. y 5x ln 1

e 5 x arcsin e5 x .

1 e10 x

45

12.14. y x2 8x 17 arctg x 4 ln x 4 x2 8x 17 .

1 3 4x x2

2

12.15. y ln

3

4x x2 .

x

x

2

2

12.16.

y 3x2

4x 2

3x 2 4 arcsin

1

9x2 12x 3

,

3x 2 0.

3x 2

12.17. y

1

arctg

x 1

x 1

.

2

2

x2

2x 3

12.18.y ln e5 x e10 x 1 arcsin e 5x .

12.19.y ln 2x 3 4x2 12x 10 4x2 12x 10 arctg 2x 3 .

1 3 4x x2

2

12.20. y ln

3 4x x2 .

x 2

x 2

2

1

12.21. y

4x2 4x 3

x2

x

2x 1

4

arcsin

,

2x 1 0.

3

2x 1

12.22. y

2x 1

1

arctg

2x

1

.

4x2 4x 3

2

2

12.23.y arcsin e 4 x ln e4 x e8x 1 .

12.24.y ln 5x 25x2 1 25x2 1arctg5x.

2

1 3 12x 9x2

12.25. y

3 12x

9x2 ln

.

3x 2

3x

2

12.26. y 3x 1

4

1

3x2 2x 1

arcsin

9x2 6x,

3x 1 0.

3x 1

12.27. y

1

arctg

2x

1

2x 1

.

2

2

4x2 4x 3

12.28. y ln e3x e6 x 1 arcsin e 3x .

46

12.29. y 49x2 1arctg 7x ln 7x 49x2 1 .

	1					1	1 4x2
12.30. y				4x2	ln
		1							.
	x						2x

12.31. y arcsin e 2 x ln e2 x e4 x 1 .

Дифференцирование. Задача 13

Вычисление производных

Постановка задачи. Найти производную функции .

План решения. Задача решается в несколько этапов. На каждом этапе необходимо распознать тип функции и применить соответствующее правило дифференцирования. Возможны следующие типы функций.

1. Функция имеет вид ,

где – некоторые функции и – некоторые постоянные (константы). Используем формулу производной линейной комбинации

.

2. Функция имеет вид . Используем формулу производной произведения:

.

3. Функция имеет вид

. Используем формулу производной частного:

.

4. Функция имеет вид . Используем формулу производной сложной функции:

.

47

5. Функция имеет вид . Производная такой функции вычисляется при помощи формулы

.

Переход от этапа к этапу совершается до тех пор, пока под каждым знаком производной не окажется табличная функция.

Таблица производных основных элементарных функций.

Функция

Производная

48

Задача 13. Найти производную.

Задача 13. Найти производную.

x

arcsin

x

13.1. y

ln

1 x2 .

13.2.

1 x2

y 4ln

x

1 4x2

.

x2

1

1 4x2

13.3. y x 2x2 5 x2 1 3ln x x2 1 .

49

	13.4.
		x2	2
	y x3 arcsin x			1		x2 .
			3

		3
	13.5. y 3arcsin			2	4x2 2x 2,		4x 1 0.
		4x 1

13.6.

y 1 x2 arctg x ln x 1 x2 .

		2
	13.7. y 2arcsin			9x2 24x 12,		3x 4 0.
		3x 4

13.8.

y x 2x2 1 x2 1 ln x x2 1 .

	13.9. y ln x
											1 x2			.
			x2		1													13.10.
												x
					3					arcsin			4x			3	.
	y 1 3x 2x2
					2			2			17

13.11. y 4 x 1 x 3ln 4 x 1 x .

																												13.12.
y ln		x2 x 1																		2x 1
													3 arctg													.
				x
																					3
						x4			x2				1
13.13. y				1	ln															1			arctg								3			.
																														2	1
			12				x			2		1		2			2				3							2x
																	13.14.
						4
y 4arcsin														4x2 12x 7,														2x 3 0.
					2x			3
												2
13.15. y 2arcsin																	9x2 6x 3,														3x 1 0.
									3x 1
																										50