IW_2_Math_Analysis

13.16.

y2 3x x 1 32 arctg x 1.

13.17.y 13 x 2 x 1 ln x 1 1 .

																																13.18.
								1						x2 1 x
y		x2 1							ln																		.
							2
															x2 1 1
	y ln 3						x 1								1			1									1
13.19.																														arctg x.
																											2
							x 1								2			2								x		1
																													13.20.
																														y x ln													1	arcsin x x .
																																			1 x				1 x
																																											2
																									ln x													3
13.21. y arctg										x2			1																. 13.22. y 3arcsin											x2				4x 5.
																																						x 2
																									x2 1
																					5arcsin											x 2	.
13.23. y			3 x 2 x
																																5

13.24.

y x arcsin x 2 21 x2 arcsin x 2x.

13.25. y

1 x2

arcsin x.

13.26.

x

x2 2

y x2 arccos x

1 x2 .

3

13.27.

y

x2 2

1

ln

2 x2 2

.

x2

x

2

13.28.

y 4x 10 x2 4 x2 6arcsin 2x .

51

1

13.29. y arcsin

2 x2 3x 2,

2x 3 0.

2x

3

13.30.

x

y x arcsin

x arctg x.

x 1

13.31. y

arcsin x

1

ln

1

x

.

1 x2

2

1

x

Задача 14

Вычисление производных

Постановка задачи. Найти производную функции .

План решения. Задача решается в несколько этапов. На каждом этапе необходимо распознать тип функции и применить соответствующее правило дифференцирования. Возможны следующие типы функций.

1. Функция имеет вид ,

где – некоторые функции и – некоторые постоянные (константы). Используем формулу производной линейной комбинации

.

2. Функция имеет вид . Используем формулу производной произведения:

.

3. Функция имеет вид

. Используем формулу производной частного:

.

4. Функция имеет вид . Используем формулу производной сложной функции:

52

.

5. Функция имеет вид . Производная такой функции вычисляется при помощи формулы

.

Переход от этапа к этапу совершается до тех пор, пока под каждым знаком производной не окажется табличная функция.

Таблица производных основных элементарных функций.

Функция

Производная

53

Задача 14. Найти производную.

Задача 14. Найти производную.

14.1. y 1 ln tg x ctg . sin

14.2. y x cos sin ln sin x .

54

		1
14.3. y					sin ln x	2 1 cos ln x x		2 1.
2			2
													cos x
								14.4.			y arctg					.
												4
													cos 2x

sin x

sin x

y a2

b2 1 2

a

2

b

2

sin x

14.5. y 3

2

. 14.6.

arcsin

.

cos2 x

cos4 x

b

14.7. y

7x 3sin 3x cos3x ln 7

.

14.8. y ln

sin x

.

9 ln2 7

cos x cos 2x

14.9. y

1

arctg a cos x a lntg

x

.

2

a 1 a

2

14.10.

y

1

1

1

ln

1 sin x

.

3sin3

x

sin x

2

1 sin x

14.11. y 1 x2 earctg x .

14.12. y

ctg x x

.

1 x ctg x

1

2x sin

14.13. y

arctg

2

.

2sin

1 x2

2

x4 1 x2

14.14. y arctg

, x 0.

x

6x sin 4x ln 6 4cos 4x

14.15. y

.

14.16. y arctg

2 tg x

.

16 ln2 6

1 tg x

14.17. y arctg

2sin x

.

9cos2 x

4

14.18. y 5x 2sin 2x cos 2x ln 5 . 4 ln2 5

14.19. y ln 2 th x .

2 th x

55

14.20. y				3x 4sin 4x ln 3 cos 4x							.
					16 ln	2 3
14.21. y				4x ln 4 sin 4x 4cos 4x							.
					16 ln	2 4
14.22. y				cos x	2cos x 3lntg		x	.
				sin2 x		2
14.23. y				5x sin 3x ln 5 3cos3x					.
					9 ln2	5

xx

14.24.y x ln 1 ex 2e 2 arctge2 .

	14.25.	y	2x sin x cos x ln 2						.	14.26. y	ln ctg x ctg	.
			1			ln2 2					sin
	14.27.	y 2		cos x		3	cos x	.
				sin4 x
							sin2 x
										14.28.

14.29.y

14.30.y

14.31.y

y	cos x			4			arctg	2 tg x 2 1				.
	3 2 sin x
			3		3			3

3x ln 3 sin 2x 2cos 2x . ln2 3 4

1		ln	1	cos x			1						1	.
2 1				cos x					cos x				3cos3 x
		tg x			2 tg x 1
										.
								1
		tg x			2 tg x

Дифференцирование. Задача 15

Понятие о дифференциальном уравнении

Постановка задачи. Показать, что данная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению .

56

План решения.

1.Находим производную заданной функции .

2.Подставляем найденное значение в уравнение и убеждаемся в его справедливости, приводя его к тождественному равенству.

Задача 15. Показать, что функция удовлетворяет уравнению (1).

Находим

.

Уравнение (1) записываем в виде

или .

Подставляем

Задача 20. Показать, что функция y удовлетворяет уравнению (1).

y x e x22 ,

15.1.				2
	xy	1 x				y. (1)
15.3.	y 5e 2 x ex					3,
	y 2 y		ex .
						(1)

15.5.y x 1 x2 ,

yy x 2x3. (1)

y sin x ,

15.2.x

xy y cos x. (1)

y2 c1 x2 ,

15.4.1 x2 y xy 2x. (1)

15.6. y	c	,
	cos x

y tg x y 0. (1)

57

15.7. y	1	,
	3x c

y 3y2 . (1)

yx2 cx,

15.9.x2 y2 dx 2xydy 0. (1)

yx c ln x ,

15.10.x y dx xdy 0. (1)

15.11.y etg x2 ,

sin x y ln y. (1)y

	y	b x								,
15.13.	1 bx
	y xy						b					1 x							2	y				.		(1)
												e			x			2
	y		ln						1											1,
												2
15.15.
	1 e		x					yy e								x		.		(1)
	y						2				1,
15.17.							x2
	1 y2 xyy 0.																				(1)
15.18.	y 3			x ln x 1,
	ln x y3 3xy2 y 0.
																										(1)
	y a								7x						,
15.19.								ax 1
	y xy						a					1 x							2	y				.		(1)

58

y ln c ex ,

15.8.

y ex y . (1)

15.12.

y 1 x , 1 x

y 1 y2 . (1) 1 x2

y 32 3x 3x2 ,

15.14. yy 1 2x . (1)

y

ytg ln 3x,

15.16.1 y2 dx xdy. (1)

	y a tg	a	1,
		x
	15.20.

a2 y2 2x ax x2 y 0. (1)

y 4							x x 1,																		y x 1 ex2 ,
15.21.														1					.		(1)				15.22.
8xy y																											x2
																									y 2xy 2x e			.
										y3						x 1
y					2x						1			,
																									y ex x2 2ex ,
				x3		1					x
15.23.																						x3 2			15.24.
x		x	3												2x		3				y		.	(1)	y y 2x ex x2 .
						1 y													1			x

(1)

(1)

y x cos x 3x,

y 1

sin x x ,

15.26. 2sin x y

y cos x

15.25. xy y x2 sin x.

(1)

y3 x cos x sin x . (1)

15.27. y

x

x

2

,

15.28. y

x

,

x 1

cos x

x x 1 y y x2 2x 1 . (1)

y y tg x sec x. (1)

n

y

x 1

ex 1 ,

15.29.

ny

n

x

1 x . (1)

y

x 1

e

y 2 sin x cos x, x

15.30.x sin x y sin x x cos x y

sin x cos x x. (1)

15.31.y x4 x2 , xyy y2 x4 . (1)

59