IW_2_Math_Analysis

8.22. y cos ln13														1						cos2 22x							.
														44 sin 44x
8.23. y ln cos		1									sin2 23x													.
		3							23cos 46x
					1													1 cos2 24x
8.24. y ctg sin																												.
					13													48 sin 48x
8.25. y sin ln 2										sin2 25x													.
								25cos50x
													1					cos2 26x							.
8.26. y 3 cos
			2
										52								sin 52x
8.27. y 7																		sin2 27x								.
	tg cos 2
															27 cos54x

8.28. y sin 3 tg 2 cos2 28x . 56sin 56x

	8.29. y cos2 sin 3		sin2 29x				.
			29cos58x
	8.30. y sin3 cos 2		cos2 30x			.
			60sin 60x
					sin2 31x			.
	8.31. y tg	cos 1 3
					31cos 62x
					Дифференцирование. Задача 9

Вычисление производных

Постановка задачи. Найти производную функции .

План решения. Задача решается в несколько этапов. На каждом этапе необходимо распознать тип функции и применить соответствующее правило дифференцирования. Возможны следующие типы функций.

1. Функция имеет вид ,

где – некоторые функции и – некоторые постоянные (константы). Используем формулу производной линейной комбинации

31

.

2. Функция имеет вид . Используем формулу производной произведения:

.

3. Функция имеет вид

. Используем формулу производной частного:

.

4. Функция имеет вид . Используем формулу производной сложной функции:

.

5. Функция имеет вид . Производная такой функции вычисляется при помощи формулы

.

Переход от этапа к этапу совершается до тех пор, пока под каждым знаком производной не окажется табличная функция.

Таблица производных основных элементарных функций.

Функция

Производная

32

Задача 9. Найти производную.

.

33

Задача 9. Найти производную.

tg x

9.1. y arctg

ctg x

.

9.2. y arcsin

x

2

.

2

5x

2x 1

9

arcsin

2x 1

.

9.3. y

2 x x2

8

3

4

9.4. y arctg

1 x2

1

.

x

x2 4

3x 1

9.5. y arccos

.

9.6. y

2

arctg

.

3

x4 16

6x

9.7. y

1

ln

x 1

1

arctg x.

x 1

4

2

1

x 4

x 1

.

9.8. y

8x x2

7 9arccos

2

6

1

9.9. y

1 x

arctg x

.

x2

3x x

x3

2 x2

9.10. y

arccos x

1 x2 .

3

9

9.11. y

1

1 x

arctg

x.

2

x

2x

34

		3 x
					3arccos		x	.
	9.12. y			x 2 x
		2					2

	9.13. y	4 x4	arctg	x2		4	.
		x3		2		x

		x
	9.14. y arcsin			arctg x.
		x 1

9.15. y	1	1		1	arccos x	.
			x2
	2				2x2

			x		6 x			.
	9.16. y 6arcsin						x 4 x
		2			2

		x 3
							x
	9.17. y			6x x2 8 arcsin				1.
	2						2

9.18. y 1 x arctg x x . x

9.19. y	2	1 x arcsin						x			2			.
				x
												x
															2x 5				9		arcsin			x 1			.
										9.20. y						5x 4 x2
															4				4			3
9.21. y arctg x					5 x2 1											9.22. y arcsin					x 2
						ln				.																.
					6		x2	4													x 1
																							2

9.23. y 1 x2 x arcsin 1 x2 .

				1	arctg			8	arctg	x	.
	9.24. y	x				x
				3				3		2

9.25. y arctg 1 x . 1 x

9.26. y 2x2 6x 5 arctg x 1 x. x 2

35

9.27. y			x		arcsin 2x	1	ln 1	4x2	.
						8
	2	1 4x2
						9.28

x2 1

x3

1

3

y

2x2

x

arctg

x.

2

x 3

2 3

2

					x
9.29. y x 2	x 2 arctg						x.
				x 2
						9.30.

					x 2			ln 1 x .
	y		1 2x x2
				arcsin			2
				1 x

9.31. y arctg tg x2 1. 2

Дифференцирование. Задача 10

Вычисление производных

Постановка задачи. Найти производную функции .

План решения. Задача решается в несколько этапов. На каждом этапе необходимо распознать тип функции и применить соответствующее правило дифференцирования. Возможны следующие типы функций.

1. Функция имеет вид ,

где – некоторые функции и – некоторые постоянные (константы). Используем формулу производной линейной комбинации

.

2. Функция имеет вид . Используем формулу производной произведения:

.

3. Функция имеет вид	. Используем формулу производной частного:
	36

.

4. Функция имеет вид . Используем формулу производной сложной функции:

.

5. Функция имеет вид . Производная такой функции вычисляется при помощи формулы

.

Переход от этапа к этапу совершается до тех пор, пока под каждым знаком производной не окажется табличная функция.

Таблица производных основных элементарных функций.

Функция

Производная

37

Задача 10. Найти производную.

.

Задача 10. Найти производную.

10.1. y		1			ln	2			5	th x	.
4		5		2				5 th x

	10.2. y	sh x		3sh x		3	arctg sh x .
		4ch4 x		8ch2 x		8
						38

															1
10.3. y		1																										th x																	arctg
								ln																																																										th x.
	2													1														th x
10.4. y								3									ln											2 th x																																						th x					.
																																																										4							2 th2 x
	8										2																	2 th x
																																																		1
10.5. y		1						th x																					1											ln																					2			th x				.
	2																							4					2																				1													2 th x
10.6. y								1																						x																						ch x
													ln th																																																			.
																																																									2
								2																					2																				2sh												x
10.7. y													1																				ln									a														1 a2 th x														.
		2a 1 a2																																								a 1 a2 th x
																										1
10.8. y								1												ln																							2					cth x												.
	18												2												1																		2 cth x
																																																																																		1 sh 2x
10.9. y arctg																											sh 2x																								.																				10.10. y				1			ln												.
																		ch x sh x																																																									6 2 sh 2x
10.11. y 4									1 th x																					.																																									10.12. y							sh x							.
									1 th x																																																																		1 ch x
10.13. y									ch x																.																																														10.14. y				sh 3x												.
										sh 2x																																																																				ch 6x
10.15. y					1 8ch2																								x ln ch x																																	.									10.16. y							12sh2 x 1											.
																							2ch2 x
																																																																																	3sh2 x
10.17. y														sh x																							3								arcsin																th x .
																									x
										2ch2																										2
10.18. y								1								arcsin																				3 ch x																							.
								8																									1 3ch x
																						4																																x
								1																													8 th																																			1				x							1					3 ch x			.
10.19. y																ln																																						2		.														10.20. y			ln	th												ln
								8														4																																x																4					2						4							sh x
																																					8 th
																																																						2
																																																																39

10.21. y				1					arcsin													5 3ch x										.									10.22. y		1 8ch					2 x	.
							4															3			5ch x																			4ch4				x
10.23.	y			2														1											sh x										5		arctg sh x .
												3sh3																	2ch2
			sh x																						x									x					2
10.24.	y		8				cth 2x																					1							.
			3																			3ch x sh3 x
10.25.	y		1				arctg sh x																						sh x							.
			2																										2ch2					x
			3												x																			ch x
10.26. y							ln th														ch x																			.
																																						2
			2												2																		2sh						x
10.27. y								sh x																	1					3	arctg sh x .
							2ch2 x																	sh x
																												2
10.28.	y			sh x																1			arctg sh x .
			2ch2								x							2
			1				sh x																																			ch x				1				x
10.29. y																		arctg sh x .																							10.30. y							ln th			.
			2								2			x																												2sh	2
							ch																																					x 2						2
10.31.	y		2		cth x																	ch x							.
			3															3sh3 x

Дифференцирование. Задача 11

Логарифмическое дифференцирование

Постановка задачи. Найти производную функции вида

.

План решения.

1. Логарифм данной функции имеет вид:

.

2. Продифференцировав обе части этого равенства, получаем

40