23

Рис.4.28 Перемещение приемной косы в опыте с портом (рис.4.21) от берега в сторону барьера параллельно берего- вой линии. Числа над изображениями обозначают расстояния от косы до берега.

4.2.2 Конечноразностная миграция

Чтобы описать физическую основу конечноразностной миграции, вспомним пример с портом на рис.4.21. Мы не будем брать разрез, полученный вдоль береговой линии, который содержит гиперболический годограф дифрагированной волны, а затем сжимать его, чтобы получить мигрированный разрез на рис.4.27. В место этого мы бу- дем следовать другой процедуре. Начнем с волнового поля, зарегистрированного вдоль береговой линии (рис.4.28а). Допустим, что барьер удален от берега на 1250м. Пере- местим приемную косу от берега на 250м. Начнем запись в момент удара плоской вол- ны о барьер. Зарегистрированный разрез показан на рис.4.28b. Переместим косу на 500м от берега и получим разрез, показанный на рис.4.28с, а затем удалимся на 750м (рис.4.28d). Разрез, зарегистрированный на расстоянии 1000 м от берега, показан на рис.4.28е. При каждой регистрации получается гипербола, вершина которой приближа- ется к нулевому времени. Действительная длина косы обозначена сплошной линией над каждым изображением. При регистрации на барьере (125м от берега) вершина ги- перболы расположится на времени t = 0.

При миграции Кирхгоффа дифрагированная волна сжимается путем суммирова- ния амплитуд с последующим размещением их на вершине. Другой подход, подразуме- ваемый результатом эксперимента, который показан на рис.4.28 – это использование годографа, зарегистрированного на определенном расстоянии от берега, для построе- ния годографа, который должен получиться при приближении к источнику дифракции. Процесс останавливается, когда гипербола падает к вершине. В опыте с портом пада- ние происходит, когда коса совпадает с барьером или, что то же самое, когда t = 0. Это называется принципом получения изображения.

Рис.4.29 Компьютерное моделирование эксперимента, показанного на рис.4.28. Здесь мы располагаем сейсмоприем- никами на различных глубинах. Числа над изображениями показывают удаление приемной косы от поверхности, z = 0.

Рис.4.30 (а) Суперпозиция временных разрезов на рис.4.29; (b) удаление эффекта перемещения путем

расположения с задержкой энергии на вершине гиперболы, первоначально полученной вдоль бере- говой линии.

24

Эксперимент с портом, рассмотрен- ный выше, можно смоделировать на ком- пьютере. Допустим, что перемещение при-

емной косы в сторону барьера аналогично перемещению косы от поверхности земли в сторону отражающих поверхностей. Будем

считать проход в барьере эквивалентом точки (дифрагирующего объекта) на отра- жающей поверхности, обуславливающего

появление дифрагированной волны (рис.4.29а). Начнем с волнового поля, заре- гистрированного на поверхности, и будем перемещать сейсмоприемники вниз с ко- нечными интервалами. Продолжение вниз

волнового поля можно рассматривать как эквивалентное перемещение сейсмоприемников в глубь разреза. Волновые поля, смо- делированные с помощью компьютера, показаны на рис.4.29. Применяя на каждой глу- бине принцип получения изображения, можно изобразить волновое поле в целом. Окончательным результатом этого процесса является мигрированный разрез. Послед- ний разрез (рис.4.29f) на глубине 1250м имеет только одно вступление на времени t = 0.

Приемная коса находится на противоштормовом барьере и вступление от прохода в барьере появляется на времени t = 0. По мере удаления косы в океан (в сторону барье- ра) вступления дифрагированной волны происходит на более ранних временах, гипер- бола становится короче. Когда сейсмоприемники совпадают с барьером, на котором имеет источник в виде прохода (точки), гипербола падает в точку.

Между физическим экспериментом на рис.4.2 и смоделированным на компьюте- ре продолжением вниз (рис.4.29) имеется одно существенное различие. Если на рис.4.28 приемная коса на каждом шаге одна и та же, то на рис.4.29 эффективная длина косы уменьшается в сторону источника (проходя в барьере). Это связано с тем, что мы начали с регистрации волнового поля на поверхности (рис.4.28а) при конечной длине косы. Зарегистрированная информация заключена в интервале между двумя лучами, показанными на рис.4.29а. По мере приближения косы к источнику эффективная длина косы, содержащая информация, уменьшается. Хотя сейсмоприемники опускаются в вертикальном направлении, энергия перемещается вниз по лучам, по которым она пер- воначально распространялась вверх. Чтобы связать записи, полученные на различных глубинах (рис.4.29), выполним их наложение так, как показано на рис.4.30а. Кроме то- го, записи можно сместить так, чтобы вершины гипербол совпали и расположились на времени, эквивалентном расстоянию от поверхности до дифрагирующего объекта (рис.4.30b). Это называется задержкой во времени (time retardation).

Еще раз обратимся к результатам компьютерного моделирования опыта с пор- том (рис.4.29). Предположим, что мы прекратили регистрацию на глубине 1000м перед барьером. Первоначальная гипербола на рис.4.29а, была на этой глубине частично сжа- та (рис.4.29е). Следовательно, продолжение вниз на глубину меньшую, чем истинная глубина источника, приводит к недостаточной миграции (undermigration). Если для ми- грации используются слишком низкие скорости, дифрагированные волны и отражения от наклонных поверхностей также недомигрируются. Объединив эти два случая, мы увидим, что недостаточное продолжение вниз и слишком низкие скорости дают недо- мигрированный разрез. Допустим, что регистрация продолжается и выходит за пределы барьера z3 (рис.4.21). Мы делаем вывод, что сфокусированная энергия на разрезе на этой глубине (рис.4.29f) должна распространяться через фокальную точку и превра- титься в гиперболы, которые представляют собой зеркальные изображения гипербол на рис.4.29а-е. Мы выполнили продолжение вниз на большую величину, чем необходимо.

25

Это дает избыточную миграцию (overmigration), причиной которой также являются слишком высокие скорости. Из этих наблюдений отметим, что продолжение вниз на неправильную глубину подобно продолжению вниз с неправильной скоростью (Doherty

и Claerbout, 1974).

Другая важная проблема, которую необходимо учитывать, – как часто нужно рассчитать экстраполированное волновое поле. Каким должен быть шаг по глубине на рис.4.29? Это подробно рассмотрено в Разделе 4.3.2.

Метод миграции, который использует принцип продолжения вниз, называется конечноразностной миграцией (finite-difference migration). Эта методика скалярного волнового поля уравнения. Простой числовой пример иллюстрирует конечноразност- ной метод решения дифференциальных уравнений (Clearbout, 1985). Допустим, что се- годня у вас имеется $100. При данном годовом темпе инфляции 10%, чтобы сохранить покупательную способность на следующий год вам потребуется $110. Используя алго- ритм, можно определить, какая сумма вам потребуется в будущие годы:

Оператор	Данные	Время
-1.1	100
1.0	х
	.
	.
	.

При данной величине 100 найдем значение в колонке «данные» величину х оп- ределяет уравнение:

(1)(х) + (-1.1)(100) = 0

(4.6)

Мы используем, двухточечный оператор и выравниваем его по колонке «дан- ные», как оказано выше. Величина 100 экстраполируется в будущие годы.

Используя уравнение (4.6.), получаем:

-1.1 100

1.0х (1.0)х + (-1.1)100 = 0, х = 110

100 -1.1 110

1.0х (1.0)х + (-1.1)110 = 0, х = 121 100

	110
-1.1	121
1.0	х	(1.0)х + (-1.1)121 = 0, х = 133.1	и т.д.

Перемещая оператор вниз по оси времени, мы экстраполируем колонку «дан- ные» в будущее. Уравнение (4.6) в обобщенной форме записывается как:

(1)Р(t + 1) + (-1.1)P(t) = 0 (4.7)

которое можно переписать в следующем виде:

Р(t + 1) – P(t) = (0.1)P(t)

(4.8)

где t – функция времени, а Р – экстраполируемая величина. Вместо того, чтобы опреде- лять временной интервал как единицу, мы можем определить его как произвольное

26

приращение времени Dt. Допустим, что темп инфляции равен а. В этом случае уравне- ние (4.8) принимает более общую форму:

P(t + Dt) – P(t) = aP(t)

(4.9)

В качестве альтернативы мы можем в правой части этого уравнения использо- вать среднее текущей и будущей величин:

		a
	P(t + Dt) – P(t) =	2 [P(t +	Dt) + P(t)]	(4.10)
Сейчас уравнения (4.9) и (4.10) могут быть приведены в формулу (4.6):
	P(t + Dt) + (-1 – a)P(t) = 0			(4.11)
и
	(1 – a/2)P(t + Dt) + (-1 – a/2)P(t) = 0			(4.12)
Используя уравнения (4.11) или (4.12), рассчитаем P(t) по данным окончатель-
ной величине:
-1 – a	P(t)	или	-1 – a/2	P(t)
1	P(t + Dt)		1 – a/2	P(t + Dt)

Оператор, в котором коэффициент будущей величины P(t + Dt) является единич- ным, называется явным оператором (explicit operator). Устойчивость (проблема возрас- тания амплитуд волны от одного шага экстраполяции к другому) конечноразностного решения с этим типом оператора представляет определенные сложности. Не явные схемы дают устойчивые результаты, поскольку осреднение происходит в правой части уравнения (4.10) – так называемая схема Кранка-Николсона (Crank-Nicolson). Для диф- ференциальных уравнений, используемых в алгоритмах конечноразностной миграции (например, для параболического уравнения, рассмотренного в Приложении С.2) скаляр а становится коэффициентом матрицы. Однако при использовании явных схем, обра- щение не требуется, т.к. будущие величины могут быть записаны в явном виде в еди- ницах только прошлых величин.

При переопределении скалярной величины а в а×Dt уравнение (4.11) перезапи- сывается:

	P(t + Dt) - P(t)	= aP(t)	(4.13)
	Dt

Левая часть уравнения (4.13) – дискретное представление непрерывной произ- водной Р по времени dP/dt. Следовательно уравнение (4.13) представляет собой конеч- норазностное уравнение, соответствующее следующему дифференциальному уравне- нию:

dP	= aP(t)	(4.14)
dt

27

Мы вывели дифференциальное уравнение, которое описывает инфляцию денег [уравнение (4.14)]. Сейчас рассмотрим обратный анализ. Начнем с уравнения (4.14) и запишем соответствующее разностное уравнение (4.13), которое решается с помощью компьютера. Его можно записать в явной (4.11) или не явной (4.12) форме, чтобы экст- раполировать текущую величину Р в будущее.

Этот пример показывает, как конечноразностные схемы могут решать диффе- ренциальные уравнения с помощью компьютера. Скалярное волновое уравнение может быть обработано аналогичным, но более сложным образом. Сложность вызвана тем, что данное уравнение представляет собой частное дифференциальное уравнение, кото- рое содержит вторые производные волнового поля по глубине, времени и пространст- венным осям. Задание алгоритма решения с помощью компьютера здесь не рассматри- вается. Claerbout (1976, 1985) дает подробности различных аспектов методов конечно- разностной миграции.

В Приложении С.2 дается описание вывода параболической аппроксимации, со- ответствующей наклону 15° скалярного волнового уравнения в одном направлении [уравнение (С.39)]. Эта аппроксимация является основой для конечноразностных алго- ритмов, используемых чаще всего. Уравнение (С.39) имеет вид:

¶2Q	=	v2 ¶2Q		(4.15)
¶τ¶t		8	¶y2

где Q – заказывающее волновое поле; t – входное время; τ - выходное время; y – коор- дината средней точки.

Уравнение (4.15) представляет собой основу для миграции во времени, соответ- ствующей наклону 15°. Оно выводится из дисперсионного соотношения (см. Приложе- ние С.2) в предположении, что скорость изменяется в вертикальном направлении. Од- нако, на практике скоростная функция в уравнении (4.15) может изменяться в лате- ральном направлении при условии ее гладкости.

Уравнение (4.15) учитывает только сжатие энергии дифрагированной волны к вершине годографа и поэтому оно называется элементом дифракции (diffraction term). При значительном изменении скоростей в латеральном направлении годограф дифра- гированной волны напоминает асимметричную гиперболу, вершина которой смещена по горизонтали от источника дифракции. Это горизонтальное смещение учитывается элементом тонкой линзы в уравнении (С.35). Проблема изменений скорости в лате- ральном направлении подробно рассмотрена в Разделе 5.1. Если такие изменения яв- ляются значительными, элементом тонкой линзы нельзя пренебрегать. Дифференци- альное уравнение, которое соответствует элементу тонкой линзы в уравнении (С.35),

получается при обратном преобразовании Фурье:
¶Q	é		1			1	ù	¶Q
¶z	= 2ê				-		ú	¶t
	ëv(z)					v( y, z)û			(4.16)

Алгоритмы миграции, которые реализуют как элемент дифракции, так и элемент тонкой линзы в уравнение (С.35), в общем случае представляют собой двухшаговые схемы, которые попеременно решают оба эти элемента. Другими словами, чтобы про- двинуться на один шаг по глубине, сначала нужно применить элемент дифракции на волновом поле Q. Затем к результату расчета дифрагированной волны применяется элемент тонкой линзы. Метод миграции, который включает эффекты элемента тонкой линзы, называется миграцией по глубине, т.к. выходной разрез дается в глубинах. Ми- грация по глубине (Раздел 5.2) гарантируется только в том случае, если имеют место