- •Краткий курс лекций по геометрии и алгебре
- •Глава 1. Векторы и координаты
- •§ 1. Понятие вектора
- •§ 2. Линейные операции над векторами
- •§ 3. Проекции
- •§ 4. Скалярное произведение векторов.
- •§5. Векторное произведение двух векторов
- •§6. Смешанное произведение векторов
- •§7. Линейная зависимость векторов
- •§8. Координаты на прямой
- •§9. Координаты на плоскости
- •§10. Координаты в пространстве
- •§11. Линейные операции над векторами в координатной форме
- •§12. Скалярное произведение векторов в координатной форме
- •§13. Определители второго и третьего порядков
- •§14. Векторное произведение векторов в координатной форме
- •§15. Смешанное произведение векторов в координатной форме
- •§16. Полярные координаты
- •§17. Цилиндрические координаты
- •§18. Сферические координаты
- •§19. Преобразование координат
- •§20. Прямоугольные координаты на плоскости
- •Iiпрямая на проскости
- •§1. Прямая на плоскости
- •§2. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках
- •§3. Параметрическое и каноническое уравнения прямой
- •§4. Взаимное расположение двух прямых.
- •§5. Пучок прямых
- •§6. Нормальное уравнение прямой.
- •§ 7. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •§8. Угол между двумя прямыми
- •§9. Расстояние от точки до прямой
- •III плоскость
- •§1. Общее уравнение плоскости
- •§3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •§4.Нормальное уравнение плоскости
- •§5. Расстояние от точки до плоскости
- •§6. Взаимное расположение двух плоскостей
- •§7. Пучок и связка плоскостей
- •§8. Угол между двумя плоскостями
- •IV прямая в пространстве.
- •§1. Уравнение прямой в пространстве
- •§2, Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •§3. Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •§4. Уравнение плоскости, проходящей через две заданные пряные
- •§5. Расстояние между скрещивающимися прямыми
- •§6, Взаимное расположение прямой и плоскости
- •§7. Угол между прямой и плоскостью
§20. Прямоугольные координаты на плоскости
Пусть дана старая м новая прямоугольные системы координат,
соответственно (0,,) и (О',',') (Рис. 32). Обозначив через (φ угол между векторами и'Тогда
'=cosφ+sinφ,
'=(-cos(π/2-φ))+sin(π/2-φ)=
=-sinφ+cosφ.
Если точка О'имеет координаты (α,β) относительно стари системы координат, то из формул (1.46) следует:
Рис.32
x=x'cosφ-y'sinφ+α,
(1.52)
y=x'sinφ+y'cosφ+β
В частности, если =' и='(Рис.33) ,то формулы
Рис.33 Рис.34
(1.52) принимают вид
х=х'+α,у=у'+β (1.53)
- формулу преобразования координат при параллельном переносе системы координат
42
Если же точки 0 и 0' совпадают (Рис.34), то формулы (1.52) принимают вид
x=x'cosφ-y'sinφ,
(1.54)
y=x'sinφ+y'cosφ.
- формулы преобразования координат при повороте системы координат вокруг начала на угол φ
43
Iiпрямая на проскости
Прежде чем перейти к изучению прямой на плоскости, остановим-ся на некоторых самых общих понятиях и определениях, необходимых дальнейшем.
Фигурой (линией, поверхностью и т.д.) назовем произвольное
множество точек пространства. Зафиксируем некоторую афинную систему координат OXYZ. Тогда уравнение
f(х,у,z)=0 (*)
называется уравнением фигуры Ф, если ему удовлетворяют координаты (α,β,γ) любой точки этой фигуры, и любая упорядоченная тройка чисел (α,β,γ), удовлетворяющая уравнению (*). представляет собой координаты некоторой точки фигуры Ф. Очевидно, что фигура определяется своим уравнением. Составление уравнения фигуры состоит в алгебраической записи свойства, характеризующего все точки этой Фигуры и только их. Эта запись должна связывать текущие координаты произвольной точки фигуры с теми постоянными величинами, которые определяют фигуру. Если точка M(x,у,z) принадлежит фигуре Ф (не принадлежит Ф), то будем писатьM(х,у,z)Ф (М(х,у,z)Ф). Тогда следующее уравнение
f(x,y,z)=(2.1)
задает произвольную фигуру Ф. Из построения следует, что одна и та же фигура Ф может задаваться бесконечным множеством различных уравнений. Для этого достаточно в уравнении (2.1) единицу заменить на любое отличное от нуля число.
ПРИМЕР 2.1. Составить уравнение геометрического места
центров окружностей, касающихся оси ОХ и проходящих через точку А(3, 4).
44
PEШEHИЕ. Возьмем произвольную точку М(х.у), принадлежащую данной фигуре (Рис. 35). Тогда имеет место следующее равенство:
(х-З)2+(у-4)2=у2, т.е.
х2-6х-8у+25=0.
Последнему уравнению удовлетворяют координаты всех точек фигуры и только они, значит, полученное уравнение является искомым.
Рис. 35
ПРИМЕР 2.2. Определить вид линии, задаваемой уравнением
Х2+у2+2х-10у+1=0.
РЕШЕНИЕ. Выделим полные квадраты при неизвестных х и у.
Получим
Х2+2х+1+у2-10у+25-25=0. т.е.
(х+1)2-(у-5)2=25 - уравнение окружности с центром в точке 0(1,5) и радиусомr= 5.
ПРИМЕР 2.3. Найти уравнение циклоиды, которая определяется как путь, описываемый одной из точек М окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой.
РЕШЕНИЕ. Выберем прямоугольную систему координат таким образом, чтобы в начальный момент времени точка М совпадала с началом координат (Рис, 36). Тогда, через некоторый момент времени катящаяся окружность повернется на угол t и точка А станет ее новой точкой касания. Так как качение происходит без скольжения, то ддина дуги МА равна длине отрезка ОА, следовательно. ОА=Rt, где R -Рис. 36 радиус окружности. Обозначим координата точки М через х и у. Тогда
Рис.36
45
х=ПрОХ=прОХ+прОХ+прОХ
(2.2)
У=ПрОУ=прОУ+прОУ+прОУ
Следовательно,
прОХ=Rt, прОХ=0, прОХ=-Rsint
(2.2)
прОУ=0, прОУ=R, прОУ=-Rcost
Подставляя эти значения в (2.2), окончательно получаем
х=R(t-sint), у=R(1-cost) (2.3)
- параметрическое уравнение циклоиды.
ПРИМЕР 2.4. Найти параметрическое уравнение окружности радиуса r>0 с центром в начале координат.
РЕШЕНИЕ. Возьмем произвольную точку М(х,у) окружности и обозначим через t угол между радиус-вектороми осью ОХ в положительном направлении (Рис.37). Тогда
х=rcost, у=rsint (2.4)
- параметрическое уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом, рав-
ным r. Очевидно, что 0<t<2π Из уравнений (2.4) следует, что
Рис. 37
X2=r2cos2t,у2=r2sin2t, т.е. х2+y2=r2.
46