- •Краткий курс лекций по геометрии и алгебре
- •Глава 1. Векторы и координаты
- •§ 1. Понятие вектора
- •§ 2. Линейные операции над векторами
- •§ 3. Проекции
- •§ 4. Скалярное произведение векторов.
- •§5. Векторное произведение двух векторов
- •§6. Смешанное произведение векторов
- •§7. Линейная зависимость векторов
- •§8. Координаты на прямой
- •§9. Координаты на плоскости
- •§10. Координаты в пространстве
- •§11. Линейные операции над векторами в координатной форме
- •§12. Скалярное произведение векторов в координатной форме
- •§13. Определители второго и третьего порядков
- •§14. Векторное произведение векторов в координатной форме
- •§15. Смешанное произведение векторов в координатной форме
- •§16. Полярные координаты
- •§17. Цилиндрические координаты
- •§18. Сферические координаты
- •§19. Преобразование координат
- •§20. Прямоугольные координаты на плоскости
- •Iiпрямая на проскости
- •§1. Прямая на плоскости
- •§2. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках
- •§3. Параметрическое и каноническое уравнения прямой
- •§4. Взаимное расположение двух прямых.
- •§5. Пучок прямых
- •§6. Нормальное уравнение прямой.
- •§ 7. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •§8. Угол между двумя прямыми
- •§9. Расстояние от точки до прямой
- •III плоскость
- •§1. Общее уравнение плоскости
- •§3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •§4.Нормальное уравнение плоскости
- •§5. Расстояние от точки до плоскости
- •§6. Взаимное расположение двух плоскостей
- •§7. Пучок и связка плоскостей
- •§8. Угол между двумя плоскостями
- •IV прямая в пространстве.
- •§1. Уравнение прямой в пространстве
- •§2, Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •§3. Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •§4. Уравнение плоскости, проходящей через две заданные пряные
- •§5. Расстояние между скрещивающимися прямыми
- •§6, Взаимное расположение прямой и плоскости
- •§7. Угол между прямой и плоскостью
§ 2. Линейные операции над векторами
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой+векторови называется век-
тор, проведенный из начала к концу , если конеци начало совпадают (Рис.3). Приведенное определение сложения векторов называетсяправилом треугольника. Векторыи можно складывать. пользуясьправилом параллелограмма(Рис.4).
Если имеется nвекторов, то их сумма определяется как вектор(Рис.5).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разностьювекторови называется такой вектор =-, что выполняется равенство: +=(Рис.6).
8
Рис.5 Рис.6
Легко показать, что для любого вектора , существует такой
единственный вектор , называемыйпротивоположнымвектору
что +=. Вектор, противоположный вектору, будем обозначать -.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением вектора на число λ(λ0) называется вектор =λ, удовлетворяющий следующим условиям:
1) векторы и одинаково направлены, если λ>0, и про- тивоположно направлены, если λ<0;
2) ||=|λ|||.
По определению, произведение произвольного вектора на число 0 есть нулевой вектор, т.е. 0=.
Введенные операции сложения векторов и умножение вектора на число называются линейными. Они обладают следующими свойствами:
сложение векторов коммутативно:
+=+, ,,;
2) сложение векторов ассоциативно:
(+)+=+(+) ,,,;
3) +=,;
4) +(-)=0,;
5) умножение вектора на число ассоциативно:
α(β)=(αβ),α, β R;
6) 1=,;
7) умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к
9
сложению чисел:
(α+β)=α+β, , α, β R;
8) умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов:
α(+)=α+α, ,, α R;
Докажем, например, свойства 1),7),8).
Свойство 1) следует из правила сложения векторов.
Свойство 7) очевидно для случая, когда либо =, либо
α+β=0, либо одно из чисел α или β равно 0. Рассмотрим следующие два возможных случая.
а) числа α и β имеют одинаковые знаки. Тогда векторы (α+β)и α+βодинаково направлены. Осталось показать, что модули этих векторов равны. Действительно,
|α+β|=|α|+|β|=|α|||+|β|||=(|α|+|β|)||=
|α+β|||=|(α+β)|
б) числа α и β имеют противоположные знаки и пусть, например.|α|>|β|. Тогда легко проверить, что числа α+β и -β имеют одинаковые знаки. В силу случая а) получаем:
(α+β)+(-β)=(α+β-β)=α, т.е. (α+β)=α+β
Свойство доказано.
Свойство 8) очевидвно, если либо α=0, либо +=0, либо один из векторовили - нулевой. Рассмотрим следующие два случая.
а)α>0 и векторы и -неколлинеарны. Построим(Рис.7)==, тогда=+. Далее строим=αи=α. Так как треугольники ОАВ и ОА1В1подобны, то А1В1=|α|АВ. Но вектораиодинаково направлены,следовательно,=α=α. Итак,, т.е. α+α=α(+).
10
Рис.7 Рис.8
б) Пусть теперь α>0 и ||. Построим (Рис.8)=,
=. Возьмем произвольную точку S, не лежащую на прямой 0В и на луче SO, возьмем такую точку 01, что SO1=αSO. Проводим
О1В1||0В и строим лучи SA1и SB1. Так как три пары треугольников SOA и SO1A1, SAB иSА1B1, SOB иS01B1подобны, то
O1A1=|α|ОА,А1B1=|α|АВ, О1B1=|α|ОВ.
Обозначим векторы . Тогда ,
и так как , то
α+α=α(+).
В случае, когда α<0, доказательство пунктов а) и б) про-водится аналогично.
Множество всех векторов пространства (плоскости), удовлетворяющих свойствам 1-8. называется линейнымиливекторнымпространствоми обозначаетсяR3(R2).
ТЕОРЕМА 1.1. (необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов). Для того чтобы векторы и были коллинеарными, необходимо и достаточно, чтобы существовало число λ удовлетворяющее условию:
=λ. (1.1)
11
Доказательство. Необходимость. Пусть и коллинеарны,
0. Если одинаково направлены, то и,приняв , получим равенство (1.1). Еслии противоположно направлены, тои.
Достаточность. Если =λи, то коллинеарность векторов следует непосредственно из определения операции умножения вектора на число.