- •Краткий курс лекций по геометрии и алгебре
- •Глава 1. Векторы и координаты
- •§ 1. Понятие вектора
- •§ 2. Линейные операции над векторами
- •§ 3. Проекции
- •§ 4. Скалярное произведение векторов.
- •§5. Векторное произведение двух векторов
- •§6. Смешанное произведение векторов
- •§7. Линейная зависимость векторов
- •§8. Координаты на прямой
- •§9. Координаты на плоскости
- •§10. Координаты в пространстве
- •§11. Линейные операции над векторами в координатной форме
- •§12. Скалярное произведение векторов в координатной форме
- •§13. Определители второго и третьего порядков
- •§14. Векторное произведение векторов в координатной форме
- •§15. Смешанное произведение векторов в координатной форме
- •§16. Полярные координаты
- •§17. Цилиндрические координаты
- •§18. Сферические координаты
- •§19. Преобразование координат
- •§20. Прямоугольные координаты на плоскости
- •Iiпрямая на проскости
- •§1. Прямая на плоскости
- •§2. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках
- •§3. Параметрическое и каноническое уравнения прямой
- •§4. Взаимное расположение двух прямых.
- •§5. Пучок прямых
- •§6. Нормальное уравнение прямой.
- •§ 7. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •§8. Угол между двумя прямыми
- •§9. Расстояние от точки до прямой
- •III плоскость
- •§1. Общее уравнение плоскости
- •§3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •§4.Нормальное уравнение плоскости
- •§5. Расстояние от точки до плоскости
- •§6. Взаимное расположение двух плоскостей
- •§7. Пучок и связка плоскостей
- •§8. Угол между двумя плоскостями
- •IV прямая в пространстве.
- •§1. Уравнение прямой в пространстве
- •§2, Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •§3. Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •§4. Уравнение плоскости, проходящей через две заданные пряные
- •§5. Расстояние между скрещивающимися прямыми
- •§6, Взаимное расположение прямой и плоскости
- •§7. Угол между прямой и плоскостью
§6. Нормальное уравнение прямой.
Пусть задана прямая lи пусть-единичный вектор нормали
кпрямойlт.е. нормальный вектор кlединичной длины. Проведем из начала координат (Рис.42). Тогда
=(cosα,sinα), где α=а(^,ОХ).
Возьмем на прямой lпроизвольную точку М(х,у) и обозначим черезрадиус-
вектор этой точки. Тогда , где р - длина перпендикуляра OD, т.е. р -расстояние от начала координат до прямой 1. Из определения скалярного произведения векторов следует, что
Рис. 42
57
следовательно
(2.26)
- нормальное векторное уравнение прямой. Если теперь уравнение (2.26) записать в координатной форме, то получим
xcosα+ysinα-р=О (2.27)
- нормальное уравнение прямой.
Заметим, что условиями "нормальности" уравнения является:
1) cos2α+sin2α=1; 2) р0; 3) наличие знака "минус" перед свободysм членом.
ПРИМЕР 2.5. Найти расстояние от начала координат до прямой 6х-8у+25=0.
РЕШЕНИЕ. Приведем данное уравнение к нормальному виду. Для этого обе части уравнения разделим на нормирующий -множитель такой, чтобы сумма квадратов коэффициентов при неизвестных х и у была равна 1. Получим
, т.е.
Теперь осталось только обе часта полученного уравнения умножить не -1. Получим нормальное уравнение прямой
Итак, расстояние р=2,5.
§ 7. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
Пусть заданы прямые l1иl2. (Рис. 43) своими общими урав-
58
неними вида (2.18). Обозначим: = =(А1,B1),=(А2,В2) - нормальные векторы этих прямых; к1=tgα1, к2=tgα2- угловые коэффициенты прямых (если они существуют);=(m1,n1), (m2,n2)- направляющие векторы прямых. Тогда, как следует из теоремы 2.2, прямыеl1иl2параллельны, в том и только том случае, если выполняется одно из сдедующих условий:
Рис.43
либо , либо k1=к2, либо.
Пусть теперь прямыеl1иl2перпендикулярны (Рис., 44). Тогда, очевидно,, т.е.
А1А2+В1В2=0. (;8J?8)
Если прямые l1иl2заданы соответственно уравнениямиl1:у=k1x+ b1,l2:у=k2x+b2, то tgα2=tg(90º+α)=
Отсюда следует,что
(2.29)
Рис.44
Наконец, если - инаправляющие векторы прямых, то ┴, т.е.
M1m1+n1n2=0 (2.30)
Соотношения (2.28) - {2.30) выражаютнеобходимое и достаточ-
ное условие перпендикулярности двух плоскостей.
ПРИМЕР 2.6. Составить уравнение прямой l2, параллельной,
59
прямойl2: 2х+5у-1=0 к отсекающей от правого координатною угла треугольник ОАВ, площадь которого равна 5(Рис.45) РИШЕНИЕ. Так какl2||l1то уравнениеl2имеет видl2:2x+5у+С=0. SOAB=1/2*OAOB=5. Приведем уравнениеl2к уравнению в отрезках. Получим:
. Следовательно,
1/2(-c/2)(-c/5).
Отсюда С=О, и так как а>0,b>О, то С =-10. Итак, 2x+5у-10=0-искомое уравнение прямой.
Рис.45
ПРИМЕР 2.7. Найти проекцию точки Р(-8,12) на прямую, проходящую через точки А(2,-3) и В(-5,1).
РЕЖЕНИЕ" Найдем уравнение прямой АВ;
АВ: (x-2)/(-5-2)=(y+3)/(1+3), т.е.
4x+7у+13=0
Проекцией точки Р на прямую АВ является основание Q перпендикуляра PQ, проведенного из точки Р на прямую АВ (Рис. 46). Согласно условий перпендикулярности двух прямых kPQ=-1/kAB=7/4Тогда уравнение прямой PQ примет вид:
PQ: у-12=7/4(х+8), т.е. 7х-4у+104=0.
Рис.46
Теперь координаты точки Q находим из системы
Решая ее, получаем х=-12, у=5, Итак, Q(-12, 5) - проекция
точки Р на АВ.
60