- •1)Числовые множества. Структура множества действительных чисел. Свойства множества действительных чисел.
- •2)Числовые подмножества. Числовые промежутки. Окрестность точки
- •3) Ограниченные числовые множества, точные грани множеств.
- •4)Определение функции, основные свойства функции.
- •5)Обратные функции, основные свойства функции.
- •6)Определение числовой последовательности и ее предела.
- •7)Теорема о единственности предела числовой последовательности.
- •8)Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности.
- •9)Арифметические действия над числовыми последовательностями
- •10)Теоремы о предельном переходе в неравенствах
- •11)Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Связь между ними. Свойства бесконечно малых последовательностей.
- •12)Монотонные последовательности. Теоремы о пределах монотонных последовательностей.
- •13)Доказать , что последовательностьимеет предел.
- •14)Доказать, что
- •15)Подпоследовательности и частичные пределы. Теоремаы о подпоследовательностях.
- •16) Определение придела функции по Коши и по Гейне. Теорема об эквивалентности двух определений придела.
- •17)Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условие существования предела функции.
- •18) Первый замечательный предел следствия из него.
- •19)Второй замечательный предел и следствия из него.
- •20)Сравнение бесконечно малых величин.
- •21)Определение порядка б.М. И выделение главной части б.М.
- •22)Вывести таблицу эквивалентных б.М.
- •23)Сравнение б.Б величин .
- •25)Непрерывность функции в точке. Необходимое и достаточное условие непрерывности в точке.
- •26) Классификация точек разрыва.
- •27)Непрерывность функции на множестве. Непрерывность элементарных функций.
- •28)Непрерывность сложной и обратной функции.
- •29) Первая и вторая теоремы Коши.
- •30) Первая и вторая теоремы Вейерштрасса.
- •31)Определение производной. Геометрический и физический смысл.
- •32)Односторонние производные. Необходимое и достаточное условие существования производной.
- •33)Правила вычисления производных от суммы , произведения и частного.
- •35)Производная обратной функции.
- •36) Производная функции заданной параметрически.
- •37)Производная неявно заданной функции.
- •39) Связь между непрерывностью и дифференцируемостью ф-и.
- •40) Определение дифференциала ф-и. Геометрический смысл дифференциала. Правила вычисления дифференциала.
- •43)Повторное дифференцирование в дифференциалах. Нарушение инвариантности формы высших дифференциалов.
- •44) Формула Тейлора для многочлена.
- •45)Формула Тейлора для произвольной ф-и.
- •46)Стандартные разложения. Определение числа e с точностью до 0,001.
- •47) Достаточное усл-е монотонности ф-и.
- •49) Достаточные условия экстремумафункции в точке
- •50) Достаточные условия выпуклости (вогнутости) ф-и. Определение выпуклой и вогнутой ф-и.
- •51) Точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба.
- •52) Определение неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
- •53)Вывести таблицу интегралов из определения неопределенного интеграла .
- •54) Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •55)Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
- •56. Понятие о рациональных и дробно-рациональных функциях. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.
- •57) Интегрирование простейших дробей.
- •58. Вывод рекуррентной формулы.
- •60. Интегрирование дифференциального бинома. Подстановки Чебышева.
- •61. Подстановки Эйлера.
- •62. Интегрирование тригонометрических функций.
- •63. Определение интеграла Римана. Функции, интегрируемые по Риману.
- •64. Свойства интеграла Римана, выражаемые равенствами.
- •65. Свойства интеграла Римана, выражаемые равенствами.
- •66. Основная теорема интегрального исчисления.
- •67. Замена переменной в определенном интеграле.
- •68) Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •69) Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах.
- •70) Площадь плоской фигуры в параметрическом виде.
- •71) Площадь плоской фигуры в полярных координатах.
- •72. Вычисление длины дуги в декартовых координатах.
- •73. Вычисление длины дуги в параметрическом виде.
- •74. Вычисление длины дуги в полярных координатах.
- •75) Понятия о двух типах несобственных интегралов
28)Непрерывность сложной и обратной функции.
Теорема 1: о непрерывности сложной ф-и.
Пусть ф-я u=ф(x) непрер. в т. x0ϵE, а ф-я y=f(u) непрер. в т. u0ϵD, причем u0=ф(x0). Тогда сложная ф-я y=f(ф(x)) непрер. в т. x0ϵE.
Док-во: воспользуемся опред-ем непрер-ти по Гейне. Пусть u=ф(x) непрер. в т. x0ϵE, т.е. =ф(x0) ({xn}ϵE, xn→x0):ф(xn)→ф(x0) (1)
y=f(u) – непрер. в т. u0ϵD, т.е. =f(u0) ({un}ϵD, un→u0):f(un)→f(u0) (f(ф(xn))→ f(ф(xn))) (2)
т.к. u=ф(x), то un=ф(xn), u0=ф(x0). Объединим опред-я 1 и 2: ({xn}ϵE, xn→x0): f(ф(xn))→ f(ф(xn)) => =f(ф(x0)), т.е. f(ф(x)) – непрер. при x=x0ϵE
Теорема 2: о непрерывности обратной ф-и.
y=f(x), xϵE, yϵY. x=ф(у)=f-1(y)
пусть ф-я y=f(x) определена монотонно возрастает(или монот. убыв.) на мн-ве Е. Тогда на мн-ве Y существует обратная ф-я x=f-1(y), монотонно возрастающая( монот. убыв-я) на мн-ве Y.
Без док-ва.
________________________________________________________________________
29) Первая и вторая теоремы Коши.
1-я теорема Коши.
Пусть ф-я y=f(x) определена и непрер. на замкнутом промежутке [a,b] и на концах этого пром-ка принимает знач-я разных знаков. Тогда между a и b найдется точка c такая, что f(c)=0. Теорема без док-ва.
2-я теорема Коши.
Пусть ф-я y=f(x) определена и непрер. на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает неравные значения. f(a)=A, f(b)=B и A<B. Тогда для С:A<C<B Ǝсϵ(a,b) такое, что f(c)=С.
Док-во: введем вспомогательную ф-ю ф(x)=f(x)-C – опред. и непрер. на [a,b].
ф(a)=f(a)-C=A-C<0 на концах отрезка принимает знач-я разных знаков
ф(b)=f(b)-C=B-C>0
тогда по 1-й теореме Коши: Ǝcϵ(a,b), такая, что ф(c)=0 =>f(c)-C=0 => f(c)=C ч.т.д.
________________________________________________________________________
30) Первая и вторая теоремы Вейерштрасса.
1-я теорема Вейерштрасса.
Если ф-я f(x) опред. и непрер. на [a,b], то она ограничена на этом мн-ве.
Теорема без док-ва.
2-я теорема Вейерштрасса.
если f(x) опред. и непрер. на [a,b], то она достигает на этом мн-ве своих точных верхней и нижней граней.
Теорема без док-ва.
________________________________________________________________________
31)Определение производной. Геометрический и физический смысл.
Рассмотрим y=f(x) на (a,b). Пусть x0ϵ(a,b) – внутренняя точка.
Δx = x – x0 – приращение независимой перем-й(аргум-та).
Δf(x0) = f(x) – f(x0) – приращение ф-и f(x) в точке x0при изменении аргум-та от x0 до x.
Составим отношение приращения ф-и к приращению аргум-та: .
Опред.: если сущ. Предел отношения приращ. Ф-и Δf(x) к вызвавшему его приращ. аргум-та Δx при стремлении Δx к 0, то он назыв. производной ф-и f(x) в точке x0 и обознач.:
, (по Лейбницу)
f’(x0), y’ (по Логранжу)
Df(x0), Dy (по Коши)
= = f’(x0)
Геометрический смысл производной.
Рассмотрим y=f(x) и на графике этой ф-и выберем
т. А (x0,f(x0)). Дадим приращение Δх.
Соединим т. А и В прямой, которая назыв. секущей.
Угол, который образует секущая с положит. напр. оси х
Обозначим за α. Из прямоуг. ΔABC:tgα===f’(x0).
Устремим к 0. Тогда т.В →А и секущая займет свое положение (положение касательной) и угол между касательной и положит. напр. оси х.
tgγ===f’(x0). => tgγ = f’(x0) = k, где k – углов. коэф. касат.
f(x)-f(x0) = f’(x0)(x-x0) – ур-е касат. к графику y=f(x) в т. (x0, f(x.)).
k*k1 = -1 => k1 = – усл-е перпендик. прямых.
f(x) – f(x0) = -– ур-е нормали к графикуy=f(x) в т. (x0, f(x.)).
Физический смысл производной.
Пусть S(t0) – путь, пройденный точкой за время t0. Тогда S(t0+Δt) – путь, пройденный за время (t0+Δt). ΔS(t0)=S(t0+Δt)=S(t0) – приращение пути за Δt.
Ѵср =
Ѵ(t0) = ==S’(t0)
S’(t0) = Ѵ(t0).
С физической точки зрения производная пути – это скорость данной точки.
________________________________________________________________________