- •1)Числовые множества. Структура множества действительных чисел. Свойства множества действительных чисел.
- •2)Числовые подмножества. Числовые промежутки. Окрестность точки
- •3) Ограниченные числовые множества, точные грани множеств.
- •4)Определение функции, основные свойства функции.
- •5)Обратные функции, основные свойства функции.
- •6)Определение числовой последовательности и ее предела.
- •7)Теорема о единственности предела числовой последовательности.
- •8)Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности.
- •9)Арифметические действия над числовыми последовательностями
- •10)Теоремы о предельном переходе в неравенствах
- •11)Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Связь между ними. Свойства бесконечно малых последовательностей.
- •12)Монотонные последовательности. Теоремы о пределах монотонных последовательностей.
- •13)Доказать , что последовательностьимеет предел.
- •14)Доказать, что
- •15)Подпоследовательности и частичные пределы. Теоремаы о подпоследовательностях.
- •16) Определение придела функции по Коши и по Гейне. Теорема об эквивалентности двух определений придела.
- •17)Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условие существования предела функции.
- •18) Первый замечательный предел следствия из него.
- •19)Второй замечательный предел и следствия из него.
- •20)Сравнение бесконечно малых величин.
- •21)Определение порядка б.М. И выделение главной части б.М.
- •22)Вывести таблицу эквивалентных б.М.
- •23)Сравнение б.Б величин .
- •25)Непрерывность функции в точке. Необходимое и достаточное условие непрерывности в точке.
- •26) Классификация точек разрыва.
- •27)Непрерывность функции на множестве. Непрерывность элементарных функций.
- •28)Непрерывность сложной и обратной функции.
- •29) Первая и вторая теоремы Коши.
- •30) Первая и вторая теоремы Вейерштрасса.
- •31)Определение производной. Геометрический и физический смысл.
- •32)Односторонние производные. Необходимое и достаточное условие существования производной.
- •33)Правила вычисления производных от суммы , произведения и частного.
- •35)Производная обратной функции.
- •36) Производная функции заданной параметрически.
- •37)Производная неявно заданной функции.
- •39) Связь между непрерывностью и дифференцируемостью ф-и.
- •40) Определение дифференциала ф-и. Геометрический смысл дифференциала. Правила вычисления дифференциала.
- •43)Повторное дифференцирование в дифференциалах. Нарушение инвариантности формы высших дифференциалов.
- •44) Формула Тейлора для многочлена.
- •45)Формула Тейлора для произвольной ф-и.
- •46)Стандартные разложения. Определение числа e с точностью до 0,001.
- •47) Достаточное усл-е монотонности ф-и.
- •49) Достаточные условия экстремумафункции в точке
- •50) Достаточные условия выпуклости (вогнутости) ф-и. Определение выпуклой и вогнутой ф-и.
- •51) Точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба.
- •52) Определение неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
- •53)Вывести таблицу интегралов из определения неопределенного интеграла .
- •54) Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •55)Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
- •56. Понятие о рациональных и дробно-рациональных функциях. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.
- •57) Интегрирование простейших дробей.
- •58. Вывод рекуррентной формулы.
- •60. Интегрирование дифференциального бинома. Подстановки Чебышева.
- •61. Подстановки Эйлера.
- •62. Интегрирование тригонометрических функций.
- •63. Определение интеграла Римана. Функции, интегрируемые по Риману.
- •64. Свойства интеграла Римана, выражаемые равенствами.
- •65. Свойства интеграла Римана, выражаемые равенствами.
- •66. Основная теорема интегрального исчисления.
- •67. Замена переменной в определенном интеграле.
- •68) Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •69) Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах.
- •70) Площадь плоской фигуры в параметрическом виде.
- •71) Площадь плоской фигуры в полярных координатах.
- •72. Вычисление длины дуги в декартовых координатах.
- •73. Вычисление длины дуги в параметрическом виде.
- •74. Вычисление длины дуги в полярных координатах.
- •75) Понятия о двух типах несобственных интегралов
43)Повторное дифференцирование в дифференциалах. Нарушение инвариантности формы высших дифференциалов.
(uv)(n) = u(n)v + Cn1*u(n-1)v’ + Cn2*u(n-2)v’’ + … + Cnk*u(n-k)v(k) + … + Cnn-1*u’v(n-1) + uv(n) = ∑nk=0Cnk* *u(n-k)v(k), Cnk = .
Аналогично dn(uv) = ∑nk=0Cnk*dn-ku*dkv.
Нарушение инвариантности формы высших дифференциалов.
y=f(x). 1) x – независ. перем. dx=Δx, d(dx)=d(Δx)=0
dy=f’(x)dx
d2y=d(f’(x)dx)=d(f’(x)dx + f’(x)d(dx)) = f’’(x)dx*dx = f’’(x)dx2
d3y=d(f’’(x)dx2) = d(f’’(x)dx2 + f’’(x)d(dx2)) = f’’’(x)dx*dx2 = f’’’(x)dx3
dny=f(n)(x)dxn, (n≥1)
2) x завис. перем. Пусть x=x(t), dx=xt’dt
dy=f’(x)dx
d2y=d(f’(x)dx) = d(f’(x)dx + f’(x)d(dx)) = f’’(x)dx*dx + f’(x)d2x = f’’(x)dx2 + f’(x)d2x
d3y=d(f’’(x)dx2 + f’(x)d2x) = d(f’’(x))dx2 + f’’(x)d(dx2) + d(f’(x))d2x + f’(x)d(d2x) = f’’’(x)dx*dx2 + f’’(x)(d2x*dx + dx*d2x) + f’’(x)dx*d2x + f’(x)d3x = f’’’(x)dx3 + 3f’’(x)dx*d2x + f’(x)d3x.
Форма n-го дифференциала при n≥2 различна для случаев, когда x – независ. и x – завис. перем. В этом случае говорят об не инвариантности формы высших диффер-лов.
________________________________________________________________________
44) Формула Тейлора для многочлена.
Пусть дан многочлен Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + anxn. преобразуем этот многочлен относительно (x-x0), где x0 – произвольное число, т.е. представим многочлен в виде Pn(x) = A0 + A1(x-x0) + A2 (x-x0)2 + A3(x-x0)3 + … + An(x-x0)n (1)
Продифференцируем (1) n раз. Получим:
Pn’(x) = A1 + 2A2(x-x0) + 3A3(x-x0)2 + … + nAn(x-x0)n-1
Pn’’(x) = 2A2 + 3*2A3(x-x0) + … + n(n-1)An(x-x0)n-2
Pn’’’(x) = 3*2A3 + … + n(n-1)(n-2)An(x-x0)n-3
Pn(n) = n(n-1)(n-2)*…* 2 * 1* An.
Подставим в эти выражения x0.
Pn(x0) = A0 A0 = Pn(x0)
Pn’ (x0) = A1 A1 =
Pn’’(x0) = 2! * A2 A2 =
Pn’’’(x0) = 3! * A3 A3 =
Pn(n)(x0) = n! * An An = .
Подставим найденные выражения в ур-е (1).
Pn(x) = Pn(x0) + (x-x0) + (x-x0)2 + (x-x0)3 + … + (x-x0)n .
Получили ф-лу Тейлора для многочлена.
________________________________________________________________________
45)Формула Тейлора для произвольной ф-и.
Пусть f(x) – ф-я общего вида(не многочлен) определена в окр-ти т. x0 и имеет производные до n-го включительно в т. x0. Для такой ф-и составим многочлен Тейлора.
Pn(x) = f(x0) + (x-x0) + (x-x0)2 + (x-x0)3 + … + (x-x0)n (1).
Т.к. ф-я f’(x) не явл. многочленом, то ф-ла (1) дает лишь некоторое приближение к f(x), с помощью которого f(x) может быть вычислена с некоторой степенью точности. Поэтому разность f(x)-Pn(x) назовем остаточным членом и обозначим Rn(x). Тогда f(x) может быть представлена f(x)=Pn(x) + Rn(x), где Pn(x) – многочлен Тейлора для f(x).
Остаточный член – погрешность приближенного равенства (которую получают при замене f(x) многочленом). f(x) ≈ Pn(x).
Теорема: если f(x) определена в некоторой окр-ти т. x0 и имеет в ней производные до n-го порядка включительно и Ǝf(n-1)(x). Пусть существ. производная n+1-го порядка в окр-ти т.x0. тогда для любого x из этой окр-ти найдется такая Cϵ(x,x0), что справедлива след. ф-ла: f(x) = f(x0) + (x-x0) + (x-x0)2 + … + (x-x0)n + (x-x0)n+1 (2), (C=x0 + ϴ(x-x0) , 0<ϴ<1).
Ф-ла (2) назыв. ф-лой Тейлора для ф-и f9x) с остаточным членом в форме Лагранжа.
Rn=(x-x0)n+1 – остат. член в форме Лагранжа.
Остаточный член в форме Лагранжа исп. для вычисления погрешности заменой ф-и f(x) многочленом Тейлора. Очевидно, что при n→∞ => Rn(x)→0, т.к. в этом случае (n+1)! растет быстрее показательной ф-и. (x-x0)n+1 может быть б.м. при n→∞, если x близко к x0.
В тех случаях, когда оценивать погрешность не надо, остат. член записывают в форме Пеано: Rn(x) = 0((x-x0)n) . Ф-ла Тейлора с остат. членом в форме Пеано имеет вид: f(x) = f(x0) + (x-x0) + (x-x0)2 + … + (x-x0)n + 0((x-x0)n) (3).
Если в ф-ле (2) или (3) положить x0=0, то получ. частный случай ф-лы Тейлора (ф-ла Маклорена): f(x) = f(0) + x + x2 + … + xn + 0(xn) (4).
Частный случай ф-лы (2) при n=0:
f(x) = f(x0) + (x-x0) или f(x) – f(x0) = (x-x0) Δf(x0) = f’(C) Δx , где x0<C<x – ф-ла Лагранжа для конечных приращений.
________________________________________________________________________