25)Непрерывность функции в точке. Необходимое и достаточное условие непрерывности в точке.

непрерывность ф-и в точке.

Опред.1: пусть на мн-ве Е задана ф-я y=f(x) и x₀ϵE – пред. точка. Ф-я f(x) назыв. непрер. в точке x₀, при  (ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, |x-x₀|<ƃ): |f(x)-f(x₀)|<ε.

Опред.2: ф-я назыв. непрерывной в точке x₀, если малым приращениям аргумента в этой точке соответствует малое приращ. ф-и.

Замеч.: из опред. непрер. ф-и следует, что при вычислении предела ф-и нужно перейти к пределу в аргументе этой ф-и, т.е.==f(x₀).

Опред. 3: ф-я y=f(x) непрер. в точке x₀ справа, если Ǝf(x₀+0) = =f(x₀).

ф-я y=f(x) непрер. в точке x₀ слева, если Ǝf(x₀-0) = =f(x₀).

Необходимое и достаточное усл-я непрерывности ф-и в точке.

Для того, чтобы ф-я y=f(x) была непрер. в точке x₀ϵE, необх. и достат., чтобы ф-я f(x) была непрер. слева и справа и выполнялось усл-е: f(x₀-0) = f(x₀+0) = f(x₀).

Док-во следует из теоремы об односторонних пределах.

________________________________________________________________________

26) Классификация точек разрыва.

Опред.1: точки, в которых ф-я y=f(x) не является непрерывной, назыв. точками разрыва. В точках разрыва нарушаются необх. и достат. усл-я непрер. ф-и f(x₀-0) = f(x₀+0) = f(x₀).

Опред.2: предельная точка x₀ из мн-ва Е назыв. точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы, не равные между собой.

Ǝf(x₀+0)=, Ǝf(x₀-0) = – конечные, но (x₀+0)≠(x₀-0).

Опред.3: точка x₀ϵE назыв. точкой устранимого разрыва, если в ней существуют конечные одностор-е пределы, равные между собой, но не равные значению ф-и в точке x₀, либо f(x₀) не определено.

Ǝf(x₀-0), f(x₀+0) – конечные, f(x₀-0) = f(x₀+0) ≠ f(x₀), либо f(x₀) не определено.

В последнем случае, когда f(x₀) не определено, можно положить значение ф-и равным значению одностор-х пределов и разрыв в точке x₀ устранить.

Опред.4: предельная точка x₀ϵE назыв. точкой разрыва второго рода, еслихотя бы один из одностор-х пределов равен ∞, либо не существует.

f(x₀-0)=∞, либо f(x₀+0)=∞, либо f(x₀-0) или f(x₀+0) не существует.

________________________________________________________________________

27)Непрерывность функции на множестве. Непрерывность элементарных функций.

Опред.1: пусть на мн-ве Е задана ф-я f(x). f(x) назыв. непрерывной на мн-ве Е, если она непрерывна в каждой точке этого мн-ва

Опред.2: ф-я f(x) назыв непрерывной на интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Ф-я f(x) назыв. непрерывной на отрезке [a,b], если она на интервале (фби)б в точкен x=a непрер. справа, а в точке x=и непрер. слева.

Непрерывность элементарных ф-й.

Все элементарные ф-и непрерывны в своей обл-ти опред-я.

1. y=xⁿ (nϵZ), n>0 – непрер. при xϵR

n<0 – непрер. при x≠0

2. y=, (nϵN, n>1), n-четн. – непрер. при x≥0

n-нечетн. – непрер. при xϵR

3. y=a^x, (a>0, a≠1), y=e^x – непрер при xϵR

4. (a>0, a≠1), y=lnx – непрер. при x>0

5. y=sinx, y=cosx – непрер. при xϵR

6. y=tgx – непрер. при x≠+(kϵZ)

7. y=ctgx – непрер. при x≠(kϵZ)

8. y=arcsinx, y=arccosx – непрер. при xϵ[-1, 1]

9. y=arctgx, y=arcctgx – непрер. при xϵR

10. y=shx, y=chx, y=thx – непрер. при xϵR

11. Y=cthx – непрер. при x≠0

________________________________________________________________________