Замечание 1.

Понятие «модель» и «структура» часто используются как понятие «конкретного множества» и «множества с заданными свойствами». Именно в таком контексте мы использовали эти понятия в §§3-5. Это не вступает в противоречие с точными определениями этих понятий, приведенными в этом §6.

4. Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры.

Пусть R(T) - реализация некоторой системы аксиом Т. Рассмотрим подробнее, что означает реализация Rаксиоматической структуры . Согласно определению реализации, данному в предыдущем П.6.3, объектRсодержит:

1. некоторые объекты R_i (M_i), являющиеся реализациями базовых множеств M₁…, M_m так, что существует взаимно-однозначное соответствие x_ir_i(x_i) между элементами x_iM_i и элементами r_iR_i, i = 1,2,…,m;

2. некоторые отношения p_i(r₁,…, r_m), представляющие или отражающие отношения Ð_i(x₁,…,x_m) соответствующих элементов x_ir_i(x_i);

3. некоторые объекты R(T), представляющие или отражающие в виде некоторых отношений утверждения в системе аксиом Т; (обычно R(T) называют реализацией системы аксиом).

Рассмотрим пример.

Пусть R² - арифметическая модель евклидовой плоскости, Тогда базовое множество М₁ - это все точки MR², реализующиеся как упорядоченные числовые пары (x,y). Множество H₂ - это множество всех прямых lR², реализующихся уравнениями вида ax+by+c = 0. Отношение Ð₁(M,l)(Ml) - точка М принадлежит прямой l реализуется свойством P₁: пара (x,y) удовлетворяет уравнению ax+by+c = 0, и т.д.

Вывод 1.

Всякая реализация R(T) системы аксиом Т устанавливает взаимно однозначное соответствие x_ir_i(x_i) между элементами x_i базовых множеств M_i и объектами r_i реализаций R_i(M_i) , базовых множеств. При этом отношения Ð_i(x₁,…,x_m) между элементами x_iM_i, заданные в системе аксиом Т представляются или реализуются некоторыми отношениями P_i(r_i,…, r_m) между соответствующими объектами r_i(x_i).

Вывод 2.

Всякое утверждение А теории Тполучается логическим заключением (выводом) и в реализации R(T) находится соответствующее отношение между объектами, отражающее утверждение А.

Определение.

Система аксиом Т, ее аксиоматическая теория Ти аксиоматическая структура определенные вне какой-либо реализации называются абстрактными или формальными системой аксиом, теорий или структурой соответственно.

Если существует реализация R(T) этой системы, то система Т, теория Т и структурой называются содержательными.

Классическим примером формальной теории является геометрия Лобачевского. Эта мыслимая геометрия долгое время не воспринималась однозначно как аксиоматическая теория, пока не были найдены ее реализации, например, реализация Пуанкаре L₂, построенная в п.6. Таким образом, исторический опыт с геометрией Лобачевского имеет "хороший конец": были найдены реализации и все вопросы были сняты в рамках этих реализаций.

Чтобы использовать реализации R(T) для исследования аксиоматических систем Т введем понятие изоморфизма реализаций (структур).

5. Изоморфизм.

Пусть система аксиом Т имеет две реализации R(T) и R^'(T). Тогда, согласно выводу 1, п.6.4, между объектами R_i и R^'_i реализующими базовые множества М_i, устанавливается взаимно-однозначное соответсвтвие по схеме

(2)

Что можно сказать о соответствии между реализациями соотношений Р_i в R_i и реализациями отношений P^'_i в R^'_i ? Рассмотрим два примера.