- •Оглавление.
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Вопрос.
- •Глава I Математический формализм
- •О понятии действительных чисел
- •Формализм натуральных чисел.
- •Операции, определяющие формирование множества рациональных чисел.
- •Вывод 1.
- •Вывод 2.
- •Аксиома связи сложения и умножения.
- •Задача 2.
- •Вывод 3.
- •Аксиоматизация множества действительных чисел.
- •Аксиома непрерывности Кантора.
- •Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
- •О“Началах” Евклида.
- •Аксиоматика д. Гильберта(1862-1943)
- •Группа 1. Аксиомы соединения.
- •Теорема 1.
- •Теорема 2.
- •Теорема 3.
- •Группа 2. Аксиомы порядка.
- •Определение.
- •Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.
- •Теорема (о внешнем угле треугольника).
- •Определение движения.
- •Замечание 1.
- •Вывод 1.
- •Вывод 2.
- •Группа 4. Аксиомы непрерывности.
- •Замечание 2.
- •Замечание 3.
- •Вывод 3.
- •Группа 5. Аксиома параллельности.
- •Замечание 4.
- •Два недостатка аксиоматики д. Гильберта.
- •Структура векторного пространства.
- •Модель направленных отрезков.
- •Сложение обладает свойствами:
- •Свойства операции умножения:
- •Определение.
- •Арифметическая модель векторного пространства.
- •Теорема размерности.
- •Вывод 1.
- •Вывод 2.
- •Вывод 3.
- •Аксиомы скалярного произведения векторов.
- •Следствие.
- •Следствие.
- •Вывод 4.
- •Определение.
- •Модель Вейля евклидовой геометрии.
- •Арифметизация трехмерного евклидова пространства.
- •Свойства операции откладывания вектора.
- •Определение.
- •Вывод 1.
- •Вывод 2.
- •Многомерное арифметическое евклидово пространство.
- •Вывод 3.
- •Замечание.
- •Следствие 1.
- •Основные факты в планиметрии Лобачевского.
- •1. Сумма углов многоугольника в плоскости l2.
- •Следствие 2.
- •Вывод 3.
- •Главаii Свойства аксиоматических систем.
- •Математические структуры и аксиоматические теории.
- •Понятие отношений между объектами.
- •Следствие 1.
- •Пример 1.
- •Определение.
- •Следствие 2.
- •Понятие математической структуры.
- •Определение.
- •Замечание 1.
- •Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры.
- •Рассмотрим пример.
- •Вывод 1.
- •Вывод 2.
- •Определение.
- •Изоморфизм.
- •Пример 1.
- •Пример 2.
- •Определение изоморфизма.
- •Вывод 3.
- •Вывод 1.
- •Независимость аксиоматической системы.
- •Независимость аксиомы параллельности.
- •Замечание 1.
- •Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом.
- •Определение (дедуктивной полноты).
- •Определение (категоричности).
- •Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.
- •Анализ текстовых парадоксов.
- •Языковые свойства имен объектов.
- •Пример 1.
- •Пример 2.
- •Пример 3.
- •Проблема выразимости.
- •Понятие искусственного языка.
- •Понятие парадокса.
- •“Ахиллес и черепаха”.
- •Парадокс пустого множества.
- •Парадокс достижимости в натуральном ряде.
- •“Одно и то же, но по-разному”
- •Пример 1.
- •Пример 2.
- •Заключение.
- •Обозначения.
- •Литература
Обозначения.
В тексте используются следующие общепринятые обозначения:
– знак логического следствия “отсюда следует, что”;
– знак эквивалентности утверждений “тогда и только тогда, когда”;
– знак пересечения множеств;
– знак объединения множеств;
аА, (аА) – знак принадлежности (не принадлежности) элемента “а” множеству А;
– знак конъюнкции “и”;
– знак дизъюнкции “или”;
х, у(Р(х,у)) – для всякого х, для всякого у, обладающих свойством Р(х,у);
z(Р(z)) – существует z со свойством Р(z);
х у Р(х,у) Q(х,у)) – для всякого х существует у такое, что из свойства Р(х,у) следует Q(х,у);
– знак взаимно-однозначного соответствия;
а, АВ – векторы;
L( ) – изоморфизм;
а (х1, ...,хn) – координаты вектора;
Еn, (n=1,2,3) – арифметическая модель n-мерного векторного пространства;
Rn – арифметическая модель n-мерного евклидова пространства;
n – геометрическая модель n-мерного евклидова пространства;
L2 - модель Пуанкаре плоскости Лобачевского;
|| – знак параллельности;
– знак отношения эквивалентности;
– пустое множество;
Т – аксиоматическая теория;
т – аксиоматическая структура;
Т – система аксиом;
R(Т) – реализация системы аксиом Т.
Литература
Клайн М. Математика. Утрата определенности. – М.: Мир, 1988.
Орлов Ю.К. Невидимая гармония. Число и мысль. – М.: 1980. Вып.3 с.73.
Квантитативная лингвистика и семантика. Сборник научных трудов, вып.1, – Новосибирск, изд-во НГТУ,1999. – 168 с.
Бухштаб А.А. Теория чисел. – М.:1960. – 575 с.
Гильберт Д., Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. – М.: Наука, 1981.
Хинчин А.Я. Ценные дроби. – М.: ФМ, 1961. – 112 с.
Ефимов Н.В. Высшая геометрия. – М.: Наука, 1978.
Пуанкаре А. О науке. – М.: Наука, 1983.
Александров А.Д. Основание геометрии. – М.: Наука, 1987.
Биркгофф Г. математика и психология. – М.: “Советское радио”, 1977.
Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. – М.: МГУ, 1982.
Мандельброт. Б. Теория информации и психолингвистика: теория частот слов. «Математические методы в социальных науках». – М.: Прогресс, 1973, с.316-337.