- •Оглавление.
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Вопрос.
- •Глава I Математический формализм
- •О понятии действительных чисел
- •Формализм натуральных чисел.
- •Операции, определяющие формирование множества рациональных чисел.
- •Вывод 1.
- •Вывод 2.
- •Аксиома связи сложения и умножения.
- •Задача 2.
- •Вывод 3.
- •Аксиоматизация множества действительных чисел.
- •Аксиома непрерывности Кантора.
- •Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
- •О“Началах” Евклида.
- •Аксиоматика д. Гильберта(1862-1943)
- •Группа 1. Аксиомы соединения.
- •Теорема 1.
- •Теорема 2.
- •Теорема 3.
- •Группа 2. Аксиомы порядка.
- •Определение.
- •Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.
- •Теорема (о внешнем угле треугольника).
- •Определение движения.
- •Замечание 1.
- •Вывод 1.
- •Вывод 2.
- •Группа 4. Аксиомы непрерывности.
- •Замечание 2.
- •Замечание 3.
- •Вывод 3.
- •Группа 5. Аксиома параллельности.
- •Замечание 4.
- •Два недостатка аксиоматики д. Гильберта.
- •Структура векторного пространства.
- •Модель направленных отрезков.
- •Сложение обладает свойствами:
- •Свойства операции умножения:
- •Определение.
- •Арифметическая модель векторного пространства.
- •Теорема размерности.
- •Вывод 1.
- •Вывод 2.
- •Вывод 3.
- •Аксиомы скалярного произведения векторов.
- •Следствие.
- •Следствие.
- •Вывод 4.
- •Определение.
- •Модель Вейля евклидовой геометрии.
- •Арифметизация трехмерного евклидова пространства.
- •Свойства операции откладывания вектора.
- •Определение.
- •Вывод 1.
- •Вывод 2.
- •Многомерное арифметическое евклидово пространство.
- •Вывод 3.
- •Замечание.
- •Следствие 1.
- •Основные факты в планиметрии Лобачевского.
- •1. Сумма углов многоугольника в плоскости l2.
- •Следствие 2.
- •Вывод 3.
- •Главаii Свойства аксиоматических систем.
- •Математические структуры и аксиоматические теории.
- •Понятие отношений между объектами.
- •Следствие 1.
- •Пример 1.
- •Определение.
- •Следствие 2.
- •Понятие математической структуры.
- •Определение.
- •Замечание 1.
- •Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры.
- •Рассмотрим пример.
- •Вывод 1.
- •Вывод 2.
- •Определение.
- •Изоморфизм.
- •Пример 1.
- •Пример 2.
- •Определение изоморфизма.
- •Вывод 3.
- •Вывод 1.
- •Независимость аксиоматической системы.
- •Независимость аксиомы параллельности.
- •Замечание 1.
- •Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом.
- •Определение (дедуктивной полноты).
- •Определение (категоричности).
- •Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.
- •Анализ текстовых парадоксов.
- •Языковые свойства имен объектов.
- •Пример 1.
- •Пример 2.
- •Пример 3.
- •Проблема выразимости.
- •Понятие искусственного языка.
- •Понятие парадокса.
- •“Ахиллес и черепаха”.
- •Парадокс пустого множества.
- •Парадокс достижимости в натуральном ряде.
- •“Одно и то же, но по-разному”
- •Пример 1.
- •Пример 2.
- •Заключение.
- •Обозначения.
- •Литература
Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.
Группы аксиом 1-3 позволяют доказать основные свойства отношения конгруэнтности между геометрическими фигурами, определить понятие движения в геометрии и установить признаки конгруэнтности геометрических фигур. Первая аксиома этой группы содержит два требования, а четвертая три.
13. Пусть дан отрезок АВ а также прямая а/ и точка .точкас заданной стороны относительно точкитакая, что отрезок АВ конгруэнтен отрезку(обозначим это АВ=АВ), требуется также, чтобы АВ=ВА.
14.
15. Пусть АВ и ВС – отрезки на прямой , АВВС=В, тогдаилежит междуи.
16. Пусть есть угол с вершиной О. Для любой точки и любого выходящего из нее лучаможно построить в заданной плоскости, инцидентной, по любую сторону отодин и только один, второй луч такой, что .
Требуется также, чтобы (угол конгруэнтен самому себе) и
17. Пусть даны два треугольника АВС и таких, что,, тогда.
На основании аксиом конгруэнтности вводятся понятия прямого угла, смежных и вертикальных конгруэнтных углов, операции сравнения углов и отрезков. Отрезок АВ больше отрезка СD, обозначается АВ>СD, если при совмещении точек А и С и откладывании точек В и D по одну сторону от точки А на некоторой прямой, точка D будет лежать между А и С.
В этой группе аксиом доказываются три признака конгруэнтности треугольников, свойства равнобедренных и равносторонних треугольников и т.д. Справедлива также теорема о внешнем угле треугольника в слабом варианте (известная еще Евклиду).
Теорема (о внешнем угле треугольника).
Внешний угол треугольника больше любого не смежного с ним угла треугольника.
Аксиомы 13-17 позволяют ввести операцию движения в геометрии.
Определение движения.
Взаимно-однозначное соответствие точек плоскости называется движением, если соответствующим парам точек ,соответствуют конгруэнтные отрезки
Замечание 1.
В этой группе вместо аксиом 13-17 можно аксиоматически задать движение и некоторые его свойства. Тогда аксиомы 13-17 будут являться теоремами, которые доказываются на основании аксиом движения.
Вывод 1.
Аксиомы 1-17 первых трех групп позволяют построить геометрию, в которой на прямой существует последовательность примыкающих друг к другу конгруэнтных отрезков, пронумерованных натуральным рядом. В этой геометрии есть конгруэнтные и правильные фигуры, определено понятие движения, совмещающего конгруэнтные фигуры и т. д.
Но в этой геометрии еще нет понятия параллельного переноса, не определено соответствие между действительными числами и точками прямой. Отсутствуют понятия длины отрезка, площади и объема геометрических фигур. Следовательно, в этой геометрии еще нет понятия расстояния и понятий «близости» и «непрерывности», связанных со свойствами расстояния между точками. Хотя абстрактные понятия близости и непрерывности уже можно вести на языке шаровых окрестностей.
Действительно, шаром В (O, OА) с центром в точке О и радиусом ОА назовем все точки М такие, что ОМ<ОА. Далее, шар В(О,ОА1) B(О,ОА2), если ОА1<ОА2, таким образом, множество окрестностей точки О есть множество всех шаров В(О, ОРк ), k, где Рк- любая точка пространства. Определим последовательность точек МкВ(О,ОРк), k условиями а) и b):
а) ОР1>ОР2>…>ОРк>…, что означает, что мы имеем последовательность вложенных шаров В(О,ОР1)В(О,ОР2)… В(О,ОРк) …;
b) МкВк+1 кN , что означает, что каждая последующая точка выбирается в следующем вложенном шаре.