- •Линейная алгебра.
- •Определение. Назовем число положительных и число отрицательныхкоэффициентов в каноническом виде квадратичной формы соответственноположительными и отрицательными индексами инерции:.
- •14. Унитарные операторы и их свойства.
- •16. Достаточный признак оператора простой структуры. Доказать, что у всякого линейного оператора в вещественном пространстве существует одномерное (двумерное) инвариантное подпространство.
- •17. Основные свойства симметричных операторов.
- •18. Ортогональные операторы и их свойства.
- •22. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями.
- •23. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду с классификацией возможных типов типов в случае δ≠0
- •30. Выбор базиса в корневом подпространстве. Расщепление корневого подпространства на прямую сумму циклических подпространств.
- •31. Теорема о жордановой нормальной форме линейного оператора и основные этапы ее доказательства.
- •32. Λ – матрицы. Элементарные преобразования λ – матриц. Доказать, что всякую λ – матрицу путем элементарных преобразований можно привести к нормальной диагональной форме.
- •33. Доказать, что нормальная диагональная форма λ – матрицы определяется однозначно.
- •34-36. Вычисление функции от матрицы.
Определение. Назовем число положительных и число отрицательныхкоэффициентов в каноническом виде квадратичной формы соответственноположительными и отрицательными индексами инерции:.
Определение. Если, то квадратичная форма называетсяневырожденной. Разность между положительными и отрицательными индексами инерции называется сигнатурой.
Определение и примеры линейных операторов. Действия с линейными операторами. Пространство линейных операторов.
Определение. Пусть Х и У – линейные пространства, заданные на одним и тем же полем F. Правило, по которому каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент, называетсяоператором или преобразованием. Результат применения оператора обозначают.
Определение. Запись значит, что оператор А действует из Х в У илиотображает Х в У. При этом Х называется областью определения оператора А, у – образом элемента х, а х – прообраз у.
Определение. Образ оператора А или область его значений это совокупность всех элементов таких, что:.
Определение. Оператор А с областью определения Х и областью значений У называется линейным оператором, если он линейной комбинацией прообразов ставит в соответствие линейную комбинацию образов..
Определение. Если, то линейный оператор называетсяоператором в Х.
Определение. Операторы А и В называются равными (А=В) тогда и только тогда, когда.
Определение. Суммой операторов А и В называется оператор С=А+В, если (1).
Если.
Эта операция коммутативна и ассоциативна:
;
.
В существует нулевой элемент, который каждомуставит в соответствие. Рассмотрим:
;
Введем операцию умножения оператора на число: (2). Покажем, что оператор С линейный.
Определение. Рассмотрим пространства Х, У и Z, заданные над одним и тем же полем F. Пусть называетсяпроизведением оператора В на А:. Если(3). Произведение линейных операторов также является линейным оператором:
.
Свойства:
;
;
;
;
.
Ядро и образ линейного оператора. Связь между дефектом, рангом и размерностью области определения линейного оператора. Обратный оператор. Невырожденный оператор.
Def: Оператор I WXX называется тождественным (единичным) Оператором, если Ix=x; хХ.
Def: Оператор B WXX называется обратным к А, если AB=BA=I (B=A-1). Любой линейный оператор переводит θ->θ .
Def: R(A) ={y|y=Ax,xX}– образ А - подмножество Y, замкнутое относительно операций -> подпространство.
Def: Ранг оператора rgA = dimR(A)
Def: Множество всех х, для которых Ах=θ называется ядром оператора А. N(A)={x|xХ, Ax=θ}. Ядро есть подпространство в Х.
Def: Размерность ядра называется дефектом nA=dimN(A).
Рассмотрим соотношение между rgA и nA линейного оператора. Пусть А:X->Y. Разложим линейное пространство Х в прямую сумму N(A) + MA, где MA-любое дополнительное подпространство. Значит для х Х справедливо единственное представление вида: x=xn+xm. xn из ядра, xm из доп. подпространства. Тогда y = Ax=A(xn+xm)=Axn+Axm=Axm. То есть любой вектор из R(A) имеет хотя бы один прообраз из MA. На самом деле он единственен. (Доказательство от противного (наличия у двух прообразов).
Таким образом мы установили взаимоднозначное соответствие между MA и R(A). Можно доказать, что оно является изоморфизмом.
dimX=dimN(A)+dimMA=nA-rgA
Def: Линейный оператор А:Х->X называется невырожденным, если его ядро состоит только из θ, в противном случае – оператор вырожденный.
Определение и примеры нахождения матриц линейных операторов. Связь между координатами вектора – образа и вектора – прообраза. Изоморфизм пространства линейных операторов пространству прямоугольных матриц соответствующего размера.
Определение.
Пусть дан линейный оператор А:Х->Y, dimX=n. И некоторым базисом Х является e1,...,en. dimY=m; g1,...,gm – базис Y. x=α1e1+...+αnen . Ax= α1Ae1+...+αnAen. Другими словами, лиейный оператор полностью определяется совокупностью образов Aei базисных векторов е. y L(Ae1,...,Aen). Aej – вектор, содержащийся в Y и значит его можно разложить по базису Y.(*) Aej=a1jg1+...+anjgn. Коэффициенты aij определяют некоторую матрицу, в которой n строчек и n столбцов. Эту матрицу назовем матрицей А в базисах e1,...,en g1,...,gn. Столбцами матрицы оператора служат координаты векторов Ае1,...,Аеn в базисе g. Для того, чтобы определить элемент aij нужно найти образ Aej и взять его i-ую координату.
Связь между координатами образа и прообраза.
Рассмотрим произвольный вектор х Х и его образ Ах.
(1)..
Тогда (2)yg=Agexe
Таким образом, любой линейный оператор при фиксированных базисах пространств Х и Y порождает соотношение 2, связывающее координаты образа yg b прообраза xe.
---------По поводу изоморфизма в лекциях нет, но разбирали на практике-----------
Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах. Эквивалентные и подобные матрицы. Критерий эквивалентности двух матриц.
Пусть А:X->Y, dimX=n, dimY=m. ei – I базис Х, fi – II базис Х. gi- I базис Y, hi – II базис Y. P – матрица перехода от е к f, Q – матрица перехода от g к h. Возьмем произвольный х Х и разложим его по векторам обоих базисов. x=α1e1+...+αnen=β1f1+...+βmfm=β1(p11e1+...+pn1e1)+ ... +βm(p1me1+...+pnme1)=e1(p11β1+...+p1nβn)+...+en(pn1β1+...+pnnβn)..(3)xe=Pxf. матрица Р невырождена, т.к. в противном случае имела бы место линейная зависимость между ее столбцами и следовательно между f1...fn. Пусть (4)yg=Agexe, (5)yn=Ahfxf, Age и Ahf – матрицы оператора А в базисах е,g и f,h соответственно. То есть (6)yg=Qyh, где Q-матрица перехода g->h. yh=Q-1yg; yg=Q-1Agexe=Q-1AgePxf=Ahfxf. (7)=Q-1AgeP. Если А: X->X. Aff=P-1AeeP
Эквивалентные и подобные матрицы.
Def: 2 прямоугольные матрицы А,В одинаковой размерности называются эквивалентными, если 2 невырожденных квадратных матрицы R и S, что B=RAS
Из соотношения 7 |-> две матрицы, соответствующие одному и тому же линейному оператору, эквивалентны между собой. Справедливо и обратное: если А отвечает некоторому оператору А в базисах Х и Y, а матрица В эквивалентна А, то она отвечает тому же линейному опреаторув некоторых других базисах Х и Y.
Теорема. Критерий эквивалентности двух матриц.
Для того, чтобы две прямоугольные матрицы одинаковых размеров были эквивалентными чтобы они имели один и тот же ранг.
Доказательство : -> Ранг произведения двух матриц не превосходит ранга любой из них. При умножении какой-либо матрицы на невырожденную матрицу ранг ее не меняется, поэтому эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг. Можно показать и обратное, что матрицы одинаковых рангов эквивалентны между собой. Мы докажем, что всякая матрица ранга r эквивалентна Ir(единичной матрице размерности r). Пусть дана прямоугольная матрица размера nxm . Она определяет некоторый линейный оператор А, отображающий пространство Х с базисом е в пространство Y с базисом g. Обозначим через r число линейно независимых векторов среди образов векторов базиса Ae1,...,Aen. Не нарушая общности можно считать, что линейно независимыми являются векторы Ae1,...,Aer. Остальные векторы выражаются через них. Определим новый базис следующим образом:. Тогда, если мы возьмем и рассмотрим образi-го базисного вектора f, то Afi=θ для i=r+1,n. Векторы h1...hr – линейно независимы, а это векторы из Y. Дополним их некоторыми векторами hr+1,...,hm До базиса в линейном пространстве Y. И рассмотрим матрицу оператора А в новых базисах f1...fn и h1...hm. Коэффициенты i-го столбца этой матрицы совпадает с коэффициентами вектора Afi в базисе h . Согласно соотношениям матрица А будет совпадать с матрицей Ir. Т.к. А и Ir соответствуют одному и тому же оператору, то они эквивалентны.
Def: А называется подобной матрице B если существует такая невырожденная матрица P, что A=P-1BP. 1) Если А подобна В, то В подобна А. 2)Если А подобна В, а В подобна С, то А подобна С. Поскольку признак подобия удовлетворяет условиям рефлексивности, симметричности и транзитивности, он является отношением эквивалентности.
Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Доказать, что в комплексном линейном пространстве всякий линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор.
Def: Подпространство L линейного пространства X называется инвариантным, относительно А, если для xL верно: AxL. Всякий линейный оператор имеет по крайней мере 2 тривиальных инвариантных подпространства: 1) Нулевое подпространство 2) Все пространство Х.
Пусть L1 – одномерное подпространство, порожденное ненулевым вектором Х. Ясно, что для того, чтобы L1 было инвариантным Ax L1. Ax=λx;
Def: Вектор х ≠ θ, удовлетворяющий Ax=λx называется собственным вектором, а соответствующее ему число λ - собственным значением. Все отличные от нуля векторы инвариантного подпространства являются собственными.
Теорема. В комплексном линейном пространстве Х линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор.
Доказательство. Пусть в линейном пространстве Х выбран базис e1,...,en . В этом базисе А соответствует матрица Ае=[aij]. Выберем произвольный х Х. х = α1e1+...+ αnen. А координаты β выражаются формулами:.. Переносим и группируем. Для доказательства теоремы нужо показать, что λ и числа α1,...,αn не все равные нулю, удовлетворяющие системе 2. Условием существования ненулевого решения системы 2 является равенство нулю ее определителя. det(A-λI)=0. Мы получили уравнение n-ой степени, относительно λ. Это уравнение имеет хотя бы один корень (в общем случае комплексный) λ0. Подставив в систему 2 вместо λ λ0 получим однородную СЛАУ с нулевым определителем, имеющую ненулевое решение. Тогда вектор х, удовлетворяющий этому решению будет собственным вектором, соответствующим собственному значению λ0.
Доказать, что а) характеристический многочлен не зависит от выбора базиса; б) система собственных векторов, соответствующих попарно различным собственным значениям, линейно независима; в) собственные векторы линейного оператора, соответствующие одному собственному значению, вместе с нулевым вектором образуют подпространство. Связь между линейными операторами и билинейными формами в унитарном пространстве.
Определение. Многочлен, стоящий в левой части уравнения называетсяхарактеристическим многочленом матрицы оператора А, а само уравнение называет характеристическим или вековым уравнением этой матрицы.
Теорема 2. Характеристический многочлен не зависит от выбора базиса.
Доказательство. Зафиксируем в пространстве Х некоторый базис и обозначим черезматрицу оператора А в этом базисе. Пусть в некотором базисеоператор имеет матрицу. Тогда.
Теорема 3. Если линейный оператор А имеет n линейно независимых векторов (является оператором простой структуры), то, выбрав их в качестве базиса линейного пространства, мы приведем матрицу линейного оператора к диагональной форме. Обратно, если в некотором базисе матрица линейного оператора диагональна, то все векторы этого базиса являются собственными векторами.
Доказательство. Пусть А – линейный оператор, который имеет n линейно независимых векторов, где и пусть- его линейно независимые собственные векторы:. Выберем, как базис Х. В этом базисе матрица оператора будет диагональной, на диагонали будут собственные значения.
Теорема 4. Система собственных векторов, соответствующая попарно различным собственным значениям, линейно независима.
Доказательство. (через математическую индукцию).
n=1. Т.е.. Теорема верна.
Пусть теорема верна для n-1 векторов, т.е. линейно независимы.
Докажем, что теорема верна для n векторов (от противного): (4) - не все коэффициенты в этой линейной комбинации ненулевые. Пусть.. Имеем нулевую комбинацию линейно независимых векторов, а значит и противоречие.
Теорема 5. Если характеристический многочлен линейного оператора А имеет n различных корней, то матрица линейного оператора А может быть приведена к диагональной форме.
Доказательство. Каждому корню характеристического уравнения отвечает хотя один собственный вектор. Т.к. у этих собственных векторов собственные значения различны, то по теореме 4 мы имеемn линейно независимых векторов. Если эти векторы принять за базис, то матрица линейного оператора А в нем будет диагональной.
Теорема 6. Собственные векторы линейного оператора А, соответствующие собственному значению, вместе с нулевым вектором образуют подпространство пространства Х.
Доказательство. Пусть - два собственных вектора линейного оператора А, соответствующие одному собственному значению. Нужно показать, что- тоже собственный вектор:. Указанное подпространство, порожденное собственным значение, является ядром оператора.
Утверждение. Всякому линейному оператору А в линейном пространстве с определенным скалярным произведением отвечает билинейная форма, задаваемая соотношением:.
Проверка на корректность:
.
Проверка на однозначность:
Утверждение. Каждой билинейной форме в линейном пространстве со скалярным произведением отвечает линейный оператор А такой, что:.
Операция перехода от оператора A к сопряженному. Свойства операции. Нахождение матрицы сопряженного оператора в ортонормированном (ортогональном) базисе.
Нахождение матрицы сопряженного оператора в ортонормированном базисе. Пусть в линейном пространстве Х выбран ортонормированный базис и.
Матрица сопряженного оператора
Теорема 1. Формула (1) устанавливает в линейном пространстве со скалярным произведением взаимно однозначное соответствие между билинейными формами и линейными операторами. Связь между ними можно установить также другим способом. При этом матрица линейного оператораполучается из матрицы оператора А в ортонормированном базисе путем транспонирования и комплексного сопряжения ее элементов.
Определение. Оператор называетсясопряженным к линейному оператору А, если.
Свойства операции:
; Доказательство.
;
;
;
.
Основные свойства самосопряженных операторов.
Определение. Линейный оператор А называется самосопряженным или эрмитовым, если.
Утверждения.
Для того, чтобы линейный оператор А был эрмитовым необходимо и достаточно, чтобы соответствующая ему билинейная форма была эрмитовой:.Доказательство. Необходимость.; Достаточность.
Всякий линейный оператор А может быть записан в виде.
Замечание. Пусть А и В – самосопряженные линейные операторы. Для того, чтобы оператор АВ был самосопряженным необходимо и достаточно, чтобы АВ=ВА, т.е. чтобы линейные операторы А и В были перестановочными.
Лемма 1. Собственные значения самосопряженного линейного оператора вещественные.
Доказательство. Пусть х – собственный вектор линейного оператора А и - его собственное значение:
Лемма 2. – самосопряженный линейный оператор, а е – его собственный вектор. Тогда совокупностьесть (n-1)-мерное подпространство, инвариантное относительно линейного оператора А.
Доказательство. Х, как ортогональное дополнение к есть (n-1)-мерное подпространство в Х. Покажем, что это подпространство инвариантно относительно оператора А:.
Теорема 1. Для любого самосопряженного линейного оператора в n-мерном унитарном пространстве существует n попарно ортогональных собственных векторов, соответствующие им собственные значения вещественны.
Доказательство. В Х существует хотя бы собственный вектор линейного оператора А. По лемме 2 совокупность векторов ортогональныхобразует (n-1)-мерное инвариантное подпространство. Будем рассматривать линейный оператор. Продолжая этот процесс, мы получим в результатеn попарно ортогональных собственных векторов. Согласно лемме 1, соответствующие собственные значения вещественны.
Теорема 2. А – самосопряженный линейный оператор в n-мерном унитарном пространстве, тогда существует ортогональный базис, в котором матрица линейного оператора А диагональна и вещественно. Верно и обратное.
Доказательство.
Необходимость. Выберем в качестве базиса построенные при доказательстве теоремы 1 собственные векторы и пронормируем их. В этом базисе матрица оператора имеет вид:(1).
Достаточность. Пусть матрица оператора А в ортонормированном базисе имеет вид (1). Итак, в ортонормированном базисе матрица получается из матрицы линейного оператора А транспонированием и заменой каждого элемента комплексным сопряжением. Проделав эти операции над матрицей вида(1), где все - вещественные, мы получим ту же матрицу, следовательно А исоответствует одна и та же матрица, т.е..
Теорема 3. Собственные векторы самосопряженного оператора, соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.
Доказательство. Пусть у линейного оператора А имеются
Определение. Матрица называетсяэрмитовой, если.
Теорема 4. Для того, чтобы линейный оператор А был самосопряженным необходимо и достаточно, чтобы его матрица была эрмитовой.
Теорема 5. Пусть в n-мерном унитарном пространстве Х задана эрмитова билинейная форма. Тогда в Х существует ортонормированный базис, в котором соответствующая билинейная квадратичная форма, записывается в виде: - координаты Х.
Доказательство. Пусть - эрмитова билинейная форма, т.е.. Тогда существует самосопряженный линейный оператор А такой, что. Выберем в качестве базиса Х ортонормированную систему собственных векторов самосопряженного линейного оператора А (по теореме 1). Тогда.
.