16. Достаточный признак оператора простой структуры. Доказать, что у всякого линейного оператора в вещественном пространстве существует одномерное (двумерное) инвариантное подпространство.

Теорема. Достаточный признак оператора простой структуры. Если все корни характеристического уравнения различны, то линейный оператор А имеет простую структуру.

Доказательство. Пусть. Покажем, что системалинейно независима:(1). Подействует линейным оператором:(2). Подействует на (2) линейным оператором:(3). Продолжая процесс вплоть до оператора получим(4). Заметим, что (4) – это результат приложения оператора к исходному уравнению. Из(4) следует. Если к исходному уравнению применить операторможно показать, что. И вообще соответствующим выбором оператора можно добиться, что все. Следовательно,- линейно независимы, а А – оператор простой структуры.

Теорема 1. У всякого линейного оператора в вещественном пространстве существует одномерное (двумерное) инвариантное подпространство.

Доказательство. Выберем в линейном пространстве Х базис. В этом базисе линейному оператору А соответствует матрица, преобразующая координатыв координаты. Рассмотрим условиев координатной форме:

(1)

Тогда ненулевое решение (1) существует, если (2). И пусть - корень уравнения(2). Возможны два случая:

1. - вещественное, тогда существует решение системы(1), определяющее координаты собственного вектора х. х порождает одномерное инвариантное пространство;

- комплексное (). Пусть- это решение системы(1). Подставим эти числа в (1) и отделим вещественную часть от мнимой. (3). Будем считать - координатами некоторого вектора х, а- координатами у, тогда(4). Равенство (4) означает, что линейная оболочка есть двумерное инвариантное подпространство относительное оператора.

17. Основные свойства симметричных операторов.

Определение. Самосопряженный оператор в евклидовом пространстве называется симметричным, если.

Утверждение. Пусть - ортонормированный базис,. Пусть х и у в базисе е имеют координаты:. Тогда. Это утверждение верно только в ортонормированном базисе.

Лемма 1. Для всякого симметричного оператора существует одномерное инвариантное пространство.

Доказательство. Из теоремы 1 (билет 16) следует, что нам нужно доказать существование вещественного корня характеристического уравнения(2). Предположим, что. Построим два вектор х и у такие, что.

Лемма 2. Пусть А – симметричный оператор, а е – его собственный вектор, тогда множество векторов, ортогональных е, образуют (n-1)-мерное инвариантное пространство:.

Доказательство. Пусть.

Теорема 2. Существует ортонормированный базис, в котором матрица симметричного оператора А диагональна.

Доказательство. По лемме 1 линейный оператор А имеет хотя бы один собственный вектор, т.к. - инвариантное относительно линейного оператора А пространство, то всуществует собственный вектор… В итоге мы получимn собственных векторов, ортогональных по построению. Затем пронормируем их.

Теорема 3. Пусть - квадратичная форма вn-мерном евклидовом пространстве, тогда существует ортонормированный базис, в котором эта квадратичная форма имеет вид:, где- собственные значения симметричного оператора.

Доказательство.. Выберем ортонормированный базис е из собственных векторов (существует по теореме 2).