14. Унитарные операторы и их свойства.

Определение. Линейный оператор U называется унитарным, если.

Утверждения.

1. Всякий унитарный оператор U в унитарном пространстве сохраняет скалярное произведение. Всякий линейный оператор U, сохраняющий скалярное произведение, унитарен. Доказательство. Необходимость.. Достаточность.

2. Унитарный оператор не меняет длину векторов. Доказательство. Заменим условие унитарности линейного оператора в матричном виде: выберем ортогональный базис в Х и построим линейный операторU в этом базисе: (1). (2). Вывод. (3). Условие эквивалентно ортонормированности строк матрицы унитарного оператора. Условие(4) эквивалентно ортонормированности строк матрицы унитарного оператора.

3. В ортонормированном базисе строки и столбцы матрицы унитарного оператора U ортонормированные.

4. Рассмотрим скалярное произведение. Следовательно, для того, чтобы линейный операторU был унитарным необходимо и достаточно, чтобы он переводил какой-либо ортонормированный базим в ортонормированный базис.

Определение. Матрица с элементами, удовлетворяющая условиям(3, 4), называется унитарной матрицей.

Замечание. Т.к. переход от одного ортонормированного базиса к другому осуществляется унитарным оператором, матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому такому же является унитарной.

Лемма 1. Собственные значение унитарного оператора по модулю равны 1 (лежат на окружности единичного радиуса).

Доказательство. Пусть х – собственный вектор унитарного оператора U и - соответствующее собственное значение:. Рассмотрим

Лемма 2. Пусть унитарный оператор U, действующий в n-мерном пространстве Х, а е – его собственный вектор. Тогда (n-1)-мерное пространство, состоящее из векторовинвариантно относительноU.

Доказательство. пространствоинвариантно.

Теорема 1. Для любого унитарного оператора в n-мерном пространстве существует n попарно ортогональных собственных векторов, соответствующие им собственные значения по модулю равны 1.

Доказательство. Унитарный оператор U имеет в Х хотя бы один собственный вектор, обозначим его через. По лемме 2 (n-1)-мерное подпространство, состоящее из всех векторов пространства Х ортогональных к, инвариантно относительно унитарного оператораU. Продолжая это процесс, мы получим n попарно ортогональных собственных векторов унитарного оператораU. По лемме 1 собственные значения, соответствующие собственным векторам, по модулю равны 1.

Теорема 2. Для любого унитарного оператора U в n-мерном пространстве Х существует ортонормированный базис, в котором матрица этого оператора диагональна: (5).

Доказательство. Пусть U – унитарный оператор, тогда по теореме 1 существует ортонормированный базис пространства Х из собственных векторов унитарного оператора U:. В этом базисе матрицаU имеет вид (5), а числа в силу леммы 1.

15. Спектральная характеристика нормального оператора. Критерий простоты структуры линейного оператора.

Определение. Линейный оператор называетсянормальным, если.

Замечание. Унитарные и самосопряженный линейные операторы являются частными случаями нормальных операторов.

Теорема. Спектральная характеристика нормального оператора. Для того, чтобы существовал ортонормированный базис, в котором линейный оператор приводится к диагональной форме, необходимо и достаточно, чтобы.

Доказательство.

Необходимость. Пусть в некотором ортонормированном базисе матрица оператора А диагональна, т.к. базис ортонормированный, то матрица операторабудет(транспонирование, сопряжение). Следовательно,.

Достаточность. Пусть. Покажем, что у операторов А исуществует общий собственный вектор:

Линейная оболочка будет одномерным инвариантным подпространством, абудет также инвариантным подпространством. Докажем это:

Пусть.также будет принадлежать, т.к.. Рассмотрим теперь действие оператора А из()… Продолжая этот процесс, получим ортогональный базис из собственных векторов, нормируем его – нормированный.

Определение. называетсяоператором простой структуры, если А имеет n линейно независимых собственных векторов.

Теорема. Критерий простоты структуры линейного оператора. Для того, чтобы линейный оператор А имел простую структуру необходимо и достаточно, чтобы для любого корня характеристического уравнения кратностиранг.

Доказательство.

Необходимость. А – оператор простой структуры. Следовательно, существуют n линейно независимых векторов, выбирая которые в качестве базиса L, получим, что матрица линейного оператора в базисе имеет вид:. Причем средимогут быть одинаковые. Если через А обозначить матрицу линейного оператора в некотором произвольном базисе, то, где Р – матрица перехода от базиса е из собственных векторов к базисуf. Следовательно, т.е.иподобны и имеют одинаковый ранг..числу отличных от нуля ее диагональных элементов, т.е. числу корней характеристического уравнения неравных, т.о..

Достаточность. Пусть - различные собственные значения оператора А. Собственные векторы, отвечающие собственному значению, образуют подпространство вL размерностью. Следовательно, линейный оператор А имеетлинейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению. Т.о. мы имеемсобственных векторов. Покажем, что они линейно независимы в совокупности (от противного). Пусть это не так и равенство нулю линейной комбинациивозможно при ненулевых коэффициентах. Следовательно, пусть. Введем линейный оператор.