Примеры

1. Для матричного элемента оператора координаты гармонического осциллятора доказать

, (П.4.6)

где – безразмерная, .

Для оператора по определению

.

Устраняем множитель x под интегралом рекуррентным соотношением

, (6.34)

тогда

.

Вычисляем интегралы при помощи условия ортонормированности

. (6.33)

Получаем

, (П.4.6)

В частности

,

,

. (П.4.7)

Матричные элементы вещественные, тогда из

(4)

получаем

.

2. Для оператора импульса найти матричный элемент

,

где

;

; – безразмерная.

В устраняем производную под интегралом, используя рекуррентное соотношение:

. (6.39)

Получаем

Вычисляем интегралы при помощи условия ортонормированности

,

находим

.

Частные результаты:

,

,

.

Матричные элементы импульса:

, (П.4.11)

, ,

, ,

,

среднее значение

. (П.4.12)

3. Доказать, что фурье-преобразование не изменяет форму уравнения гармонического осциллятора.

Фурье-преобразование уравнения

(6.31)

с учетом

, (1.35)

(1.37)

дает

.

Заменяем , получаем

, (П.4.14)

где – безразмерный импульс;

. (П.4.15)

4. Для полиномов Эрмита доказать формулу Мелера

, (П.4.20)

где . Получить формулу при.

Используем интегральное представление полиномов Эрмита

,

. (6.8)

Меняем порядок суммирования и интегрирований

.

Учитываем

,

тогда

.

Используем

(П.2.5)

при

, ,,

и вычисляем внутренний интеграл

,

тогда

. (П.4.20а)

Последний интеграл находим при помощи (П.2.5)

, ,

и получаем (П.4.20).

При последний интеграл дает дельта-функцию

,

где учено

. (2.24)

Из (П.4.20а) получаем условие полноты базиса

. (П.4.21)

Для базиса функций гармонического осциллятора , где

, (6.32)

получаем условие полноты

. (П.4.22)

Обобщенные полиномы Лагерра

, ;– любое число;.

Набор полиномов образует ортонормированный базис на полуоси .

Используются:

• в теории измерительной техники и в теории систем связи;

• в квантовой механике описывают радиальное движение электрона в атоме.

Полиномы исследовал Эдмон Никола Лагерр в 1878 г.

Обобщенные полиномы изучал Николай Яковлевич Сонин в 1880 г., поэтому их называют такжеполиномами Сонина–Лагерра.

Уравнение Лагерра

(6.41)

является гипергеометрическим уравнением.

Формула Родрига

Методом факторизации ранее получена весовая функция

. (П.3.9)

Из (П.3.10) при

находим

. (6.42)

Полиномиальное представление

, (6.44)

где n – высшая степень полинома .

Доказательство (6.44):

Дифференцирование в (6.42) проводим по формуле Лейбница

. (6.45)

Например, при получаем известную формулу

.

В (6.45) полагаем ,и учитываем

.

Соотношение

обобщаем на случай – не целое

.

В результате

.

Подставляем в

, (6.42)

получаем полином порядка n

. (6.44)

Из (6.44)

. (6.47)