- •Классические ортогональные полиномы
- •Интегралы с полиномами Эрмита
- •Гармонический осциллятор
- •Примеры
- •3. Доказать, что фурье-преобразование не изменяет форму уравнения гармонического осциллятора.
- •Обобщенные полиномы Лагерра
- •Уравнение Лагерра
- •Формула Родрига
- •Полиномиальное представление
- •Полиномы низших степеней
- •Производящая функция
- •Рекуррентные соотношения
- •2. Дифференцируя далее (6.54), получаем
- •Следует
- •Связанные состояния электрона в АтомЕ водорода Характеристики атома протия
- •Решение уравнения методом факторизации
- •Физический смысл параметров
- •Частные случаи
- •Полиномы Лежандра
- •Уравнение Лежандра
- •Метод факторизации
- •Представление в виде полинома
- •Полиномы низших порядков
- •Дифференцируем
- •. (6.132)
- •7. Складываем (6.128) и (6.130)
- •Интегралы с полиномами лежандра
- •Полиномы Чебышева первого рода
- •Уравнение Чебышева
- •Метод факторизации
- •Тригонометрическое представление
- •Полиномы Чебышева второго рода
- •Разложения функции
- •Аппроксимация полиномом
Тригонометрическое представление
В (6.149) заменяем
,
,
получаем
, . (6.150)
Учитывая четность , расширяем область интегрирования до 2π:
, .
Сравниваем с формулой
, . (1.45)
из темы «Преобразование Фурье периодической функции». Поскольку – полином степениn по аргументу , то получаем тригонометрическое представление
,
, . (6.151)
Воспроизводятся результаты
, . (6.148)
Расширение области определения
Выражения (6.151) применимы при , метод факторизации не дает ограничения на область определения.
С учетом
,
из
(6.151)
по формуле Эйлера
,
,
получаем
.
Замена
,
дает
. (6.153)
Формула (6.153) применима при .
Рекуррентные соотношения
1. Используем
,
полагаем , учитываем
, (6.151)
тогда
. (6.151а)
В результате
. (6.156)
2. В (6.156) при используем , получаем
. (6.157)
3. В (6.156) при используем , находим
. (6.158)
Частные значения
Из
,
и (6.157) в виде
при находим
, ,
, .
Следовательно, – порядок полинома.
Из тригонометрического представления
, (6.151)
находим
,
,
,
.
Геометрическое моделирование
Используем
. (6.151)
1. На листе высотой 2 и шириной строим график . На рисунке.
2. Сгибаем лист в полуцилиндр радиусом 1. Ось z, перпендикулярная образующей, становится окружностью.
3. Угловое положение и координатаz на цилиндре
.
4. Рассекаем цилиндр плоскостью, проходящей через ось цилиндра и точку . В плоскости определяем координатуx, перпендикулярную оси цилиндра, тогда
,
.
4. Проекция графика на плоскость осевого сечения цилиндра дает полином Чебышева
.
Полиномы Чебышева второго рода
, ;– порядок полинома
. (6.161)
Тригонометрическое представление
Используем
, (6.151)
,
получаем
. (6.162)
Рекуррентное соотношение
Используем
,
делим на , полагаем, учитываем (6.162), и получаем
. (6.163)
Частные значения
Из
,
и
. (6.161)
находим
, .
Из (6.163)
,
тогда
,
.
Уравнение
Дифференцируем (6.146)
-
,
получаем
.
Используем
-
,
тогда
,
в результате находим
. (6.165)
Метод факторизации
Уравнение гипергеометрического типа
-
.
Сравнение дает
, ,,,,
, ,
,
, ,
, .
Весовая функция
-
,
.
Решение Родрига
дает
.
Полагаем
,
полином Чебышева второго рода
. (6.166)
Условие ортонормированности
-
,
.
Учитываем
,
,
,
тогда
. (6.167)