Дифференцируем
,
(6.119)
находим
,
умножаем
результат на
и сравниваем с (6.119). Учитывая
,
,
получаем
.
(6.130)
6. Вычитаем (6.128) из (6.130)
. (6.132)
7. Складываем (6.128) и (6.130)
.
(6.133)
8.
Дифференцируем
раз
,
(6.105)
получаем
.
По формуле Лейбница
,
тогда
.
Результат
умножаем на
и сравниваем с
,
(6.118)
находим
.
(6.134)
9.
Умножаем на
выражение
,
(6.132)
получаем
.
(6.132а)
Умножаем
на
(6.134), тогда
.
(6.134а)
Вычитаем (6.134а) из (6.132а) и находим
.
(6.135)
10.
Исключаем
из (6.135) и из выражения
,
(6.127)
получаем
.
(6.136)
11.
Исключаем
из (6.133), (6.134) и учитываем (6.135). Получаем
соотношение с одинаковыми верхними
индексами
.
(6.137)
12.
Из (6.137) и (6.127) исключаем
и находим
.
(6.140)
Интегралы с полиномами лежандра
1.
.
(П.6.12)
Доказательство:
Упрощаем интеграл, используя рекуррентное соотношение
,
(6.125)
тогда
.
Интегралы вычисляем при помощи условия ортонормированности
.
(6.123)
Тогда
,
где
.
Аналогично
,
где
.
В результате получаем (П.6.12).
2. Доказать условия ортогональности
,
;
(6.123)
,
.
(6.124)
Доказательство:
Используем
уравнение Лежандра (6.115) для
и
:
,
.
Первое
уравнение умножаем на
,
второе – на
.
Взаимно вычитаем результаты.
Первые два слагаемые дают
.
Получаем
.
Интегрируем
по интервалу
.
Первое слагаемое дает нуль, тогда
.
При
,
получаем (6.123),
при
,
получаем (6.124).
3. Доказать условие нормировки полиномов Лежандра
.
(6.112)
Доказательство:
Подстановка в интеграл
(6.96)
дает
.
Интегрируем по частям n раз, свободные слагаемые дают нули. В результате
,
где учтено
.
Используем
,
(П.3.9)
и получаем (6.112).
4. Доказать условие нормировки присоединенных функций Лежандра
.
(6.123)
Доказательство:
В интеграл подставляем
,
(6.117)
,
(6.119)
получаем
.
Интегрируем
по частям
раз, полагая
,
.
Свободные слагаемые дают нули. В результате получаем
.
Интеграл вычислен в предыдущем примере
,
в результате
.
Полиномы Чебышева первого рода
,
;
– порядок полинома.
Имеют
наименьшее отклонение от нуля на
интервале
и максимальное отклонение за пределами
этого интервала по сравнению с другими
полиномами того же порядка.
Используются для приближения и интерполирования функций.
Исследовал Пафнутий Львович Чебышев, нем. Tschebyschew, в 1854 г.
Уравнение Чебышева
.
(6.146)
Метод факторизации
Уравнение гипергеометрического типа
-
.
Сравнение дает
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Весовая функция
-
,
.
Решение Родрига
дает
.
Полагаем
,
полином Чебышева первого рода
.
(6.147)
Из (6.147) находим свойство четности и частные значения
,
,
.
(6.148)
Условие ортонормированности
-
,
.
Учитываем
,
,
,
,
,
находим
.
Область определения решения не определяется из стандартного условия
.
Полагаем
,
и используем
,
.
В результате получаем
(6.149)
Учтено
.