ДиРУр_Лекции

Дифференциальные уравнения вида

f1(x) f2(y)dx g1(x)g2(y)dy

(4)

называются уравнениями с разделяющимися переменными. Предполагая,

что g1(x) f2(y) 0, разделим уравнение (4) на g1(x) f2(y) и затем проинтег-

рируем. В результате получим уравнение

	f1(x)	dx	g	2	(y)	dy C,	(5)
	g (x)		f	2	(y)
1

где C- произвольная постоянная.

Любое решение уравнения (5) является решением уравнения (4), но при этом следует помнить, что уравнение (5) имеет смысл только при условии

g1(x) f2(y) 0. Поэтому для получения всех решений уравнения (4) надо ис-

следовать нули функций f2 и g1 .

Замечание. При решении некоторых задач неопределенные интегралы в уравнении (5) невозможно будет выразить в элементарных функциях. Несмотря на это, в таких случаях задачу интегрирования дифференциального уравнения принято считать выполненной в том смысле, что эта задача сведена к более простой задаче вычисления неопределенных интегралов. В таких случаях говорят, что решение получено в квадратурах, т.е. в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них.

Пример 1. Требуется решить уравнение

ex2 dx dy.

Решение. Интегрируя это уравнение, получаем

ex2 dx dy C .

Откуда y C ex2 dx. Интеграл ex2 dx не берется в элементарных функциях.

Тем не менее, задача считается решенной, т.к. она доведена до квадратур.

11

Пример 2.Решить уравнение

dydx xy1.

Решение. Разделим уравнение на y ( y 0), умножим на dx и затем проин-

тегрируем

	dy		dx
				.
	y		x 1

Из последнего равенства получим

ln y ln C(x 1) .

Потенцируя, получим y C x 1 . Уравнение y C x 1 , где C 0 эквива-

лентно уравнению y C1(x 1), где C1 может принимать как положитель-

ные, так и отрицательные значения. Но C1 0, т.к. предполагалось, что y не обращается в ноль.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что y 0 является решени-

ем. В этом случае можно считать, что в решении y C1(x 1) константа C1

принимает значение ноль.

Частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию, находится путем определения константы C1. Например, при x0 1, y0 5 полу-

5

чим C1 1 1 2.5.

2.3.Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Существуют дифференциальные уравнения, которые можно привести к уравнениям с разделяющимися переменными путем замены переменных.

Такими уравнениями являются уравнения вида

12

z ax by.

dydx f (ax by),

где a и b - некоторые константы. Для приведения таких уравнений к уравнениям с разделяющимися переменными используется замена Действительно, переходя к переменным x и z, имеем

dz	a b	dy	или	dz	a bf (z).
dx				dx
		dx

Затем разделяем переменные

dz dx. a bf (z)

Интегрируя последнее равенство, получим

x a dzbf (z) C.

Пример 3. Пусть требуется проинтегрировать уравнение

dydx 3x 4y.

Решение. Вводим замену переменных z 3x 4y. Имеем dz 3 4dy . Раз- dx dx

делив переменные с последующим интегрированием, получим

13

dz dx, ln 3 4z 4x lnC (C 0),

3 4z

3 4z Ce4x или 3 4z Ce4x , где C 0.
1			1
Здесь мы предполагаем, что 3 4z 0.
В результате имеем z(x)	1	C1e4x 3	или y(x)	1	C1e4x 3	3	x.
4			16		4

Теперь рассмотрим случай, когда 3 4z 0. Для этого случая необходимо

потребовать, чтобы C1 0. Тогда z 3 и с учетом введенной замены полу-

4

чим потерянное решение y 3 x 3 .

4 16

Однородные уравнения.Дифференциальное уравнение первого порядка

	dy	x,y	(6)
	dx

называется однородным, если имеет место тождество

tx,ty x,y .

(7)

Однородные уравнения также могут быть записаны в виде

M(x,y)dx N(x,y)dy 0,

где M(x,y), N(x,y) - однородные функции одной и той же степени.

Функция g(x,y) называется однородной степени m, если для всех t 0вы-

полняется равенство g(tx,ty) tmg(x,y).

14

Полагая t 1 в равенстве (7), получим тождество

x
	y
x,y 1,		.
	x

Таким образом, правая часть уравнения (6) может быть представлена как

	y		y			y
функция		. Обозначив f			1,			,приходим куравнению
	x
			x			x

dy			y
		f		.
dx
		x

Однородные уравнения приводятся к уравнениям с разделяющимися пере-

менными путем введения замены переменных z y . Действительно, диф-

x

ференцируя равенство y zx, имеем

dy

x

dz

z,

dx

dx

x

dz

z f (z) или

dz

dx.

f (z) z

dx

x

Интегрируя последнее равенство, получим

dz

x

lnC,

x Ce

dz

f (z) z

ln

.

f (z) z

Пример 4. Требуется проинтегрировать уравнение

dy x y. dx x

Это уравнение является однородным. Делаем подстановку y zx. В резуль-

тате приходим к уравнению

15

z x

dz

1 z

или x

dz

1 2z.

dx

dx

Теперь можно разделить переменные и проинтегрировать

dz

dx

,

ln

x

1

ln

1 2z

lnC ,

x

C

C 0 ,

1 2z

x

2

1 2z

Возведем последнее равенство в квадрат

x2

C

Cx

C 0 или x

C

.

1 2

y

x 2y

x 2y

x

Выразив y через x, получим решение y

x2

C

C 0 . При делении на

2x

1 2z было потеряно решение y 1 x, которое проверяется непосредствен-

2

ной подстановкой в исходное уравнение. Также при делении на xбыло по-

теряно решение x 0	уравнения	dx		x	, которое является обратным к
		dy		x y

исходному уравнению.

Уравнения вида

	dy		a1x b1y c1
		f			(8)
	dx
		a2x b2 y c2

преобразуются в однородные уравнения путем переноса начала координат в точку x*,y* , которая является пересечением прямых a1x b1y c1 0 и

a2x b2 y c2 0. Действительно, после введения новых координат x x x*, y y y* уравнение (8) преобразуется к виду

dy					b1y
		f	a1x
dx
		a2x b2 y

16

a

b

y

dy

1

1

x

или

f

,

y

dx

a2

b2

x

которое является однородным.

Этот метод не работает в случае, когда прямые a1x b1y c1 0 и

a2x b2 y c2

0 параллельны. Но в этом случае коэффициенты этих прямых

при x и y пропорциональны,т.е.

a2

b2

r. Тогда уравнение (8) можнопереписать в виде

a1

b1

dy

a x b y c

f

1

1

1

a1x b1y ,

dx

r a x b y c

2

1

1

и, как было указано ранее, замена переменных z a1x b1y приводит его к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 5.
		dy		x 2y 1	.	(9)
		dx 2x y 2
Решением системы уравнений
		x 2y 1,
		2x y 2
является x* 1,	y* 0. Вводим новые переменные					x	x x* ,	y	y y* и

делаем подстановку в уравнении (9) x x 1, y y. В результате приходим к уравнению

dy			1 2		y
					x				,	(10)
dx			2		y

x

которое является однородным. Делая замену переменных z y , получим x

17

уравнение с разделяющимися переменными

z	x		dz		1 2z	или	2 z	dz	dx	.
							1 4z z2
			dx		2 z				x

Проинтегрировав последнее равенство, будем иметь

ln x 1ln1 4z z2 1lnC 0 .
2	2

Умножим последнее равенство на 2 и после потенцирования получим

x2 1 4z z2 C или x2 4xy y2 C.

Затем делаем переход к исходным переменным

x2 4xy y2 2x 4y 1 C .

3. Линейные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение вида
	dy	a(x)y f (x)	(1)
	dx

называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Бу-

дем предполагать, что функции a(x), f (x) непрерывны на интервале измене-

ния переменной x, на котором требуется найти решение уравнения (1). Если f (x) 0, то уравнение (1) называется линейным однородным. В линейном однородном уравнении переменные разделяются:

dy	a(x)dx.	(2)
y

Из уравнения (2) получим

ln y a(x)dx lnC1 (C1 0),

y Ce a(x)dx	(C 0) .	(3)
	18

При делении на y было потеряно решение y 0. Это решение может быть включено в полученное общее решение, если допустить, что C может принимать значение 0.

Для интегрирования неоднородного линейного уравнения (1) применяется так называемый метод вариации постоянной. Суть этого метода заключается в обобщении формулы общего решения однородного уравнения (3) на случай неоднородного уравнения. В (3) полагают, что Cесть некоторая функция x, определить которую можно путем подстановки

y C(x)e a(x)dx

(4)

в исходное уравнение (1) . Дифференцируя уравнение (4) и подставляя в уравнение (1)

	dy dC				a(x)dx		a(x)dx	a(x)dx
					e	C(x)a(x)e		C(x)a(x)e	f (x),
	dx dx
получаем дифференциальное уравнение для определения C(x)
						dC	f (x)e a(x)dx .		(5)
						dx
Интегрируя уравнение (5), получаем
						C(x) f (x)e a(x)dxdx C1 ,
и, окончательно
					y Ce a(x)dx e a(x)dx			f (x)e a(x)dxdx.	(6)
					1

Таким образом, общее решение неоднородного линейного уравнения (1) есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, которое получается из (6) при C1 0.

Пример 1.

dy		2y		1	.
dx x				x2 1

19

В данном уравнении a(x)

2

, f (x)

1

. Найдем e a(x)dx , f (x)e a(x)dxdx

x

2

x

1

и подставим в формулу (6)

a(x)dx

2

dx

ln x 2

1

a(x)dx

2

dx

ln x2

2

x

x

e

e

e

,

e

e

e

x

,

x2

f (x)e

a(x)dx

x2

1

dx

dx

1

dx x arc tg x. По формуле общего

x

2

1

x

2

1

решения (6) получаем

1

y x2 C1 x arc tg x .

Покажем, что если имеется некоторое частное решение линейного неоднородного уравнения, то его можно привести к однородному уравнению.

Пусть y1 - некоторое частное решение уравнения (1). Введем функцию

z y y1 и подставим в уравнение (1) вместо функции y ее выражение через z и y1

	dz		dy1		a(x)z a(x)y f (x).
	dx dx						1
В результате получим однородное уравнение
				dz		a(x)z 0.
				dx

Уравнение Бернулли. Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение вида

dy	a(x)y f (x)yn ,	n 1 .	(7)
dx

Покажем, что уравнение Бернулли сводится к линейному уравнению. Заметим, что y 0 является решением уравнения (7). Будем искать другие реше-

ния. Разделим уравнение (7) на yn

20