ДиРУр_Лекции

dyi			fi(t,y1, ,yn),
	dt
dy2			f2	(t,y1	, ,yn ),
dt					(1)

dyn fn(t,y1, ,yn ).dt

Система дифференциальных уравнений вида (1) называется системой диф-

ференциальных уравнений в нормальной форме.

Будем говорить, что система (1) задана в области G(t,y1, ,yn ), если в каж-

дой точке этой области функции fi (i 1, ,n) определены.

Общим решением системы (1) на отрезке a t b называется система функций

yi i (t,C1,C2, ,Cn) (i 1, ,n),

где C1,C2, ,Cn - независимые постоянные, такая что при подстановке функ-

ций i в (1), они обращают эти уравнения в тождества.

Частным решением системы (1) на отрезке a t b	называется решение,
которое получается из общего решения, если	придавать постоян-
ным C1,C2, ,Cn определенные числовые значения

Для системы дифференциальных уравнений вида (1) задача Коши формулируется следующим образом: требуется найти решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям

yi(t0) yi0 , (i 1, ,n).

(2)

Достаточные условия существования и единственности решения системы уравнений (1) при заданных начальных условиях (2) даны в теореме Пикара.

Теорема 1 (Пикара). Пусть правые части системы (1) удовлетворяют следующим условиям:

А) функции fi (i 1, ,n)непрерывны по всем своим аргументам в n 1 -

мерном параллелепипеде

41

G t0 a,t0 a y10 b,y10 b yn0 b,yn0 b

и, значит, ограничены в G

fi t,y1,y2, ,yn

M

i 1, ,n ;

Б) для функций fi

(i 1, ,n) выполняются условия Липшица относитель-

но аргументов y1, ,yn

в G, т.е.

K

,

fi t,y1, ,

yn fi t,y1, ,

yn

y1 y2

yn

yn

где K 0 - некоторая константа.

Тогда существует единственное решение системы (1), удовлетворяющее на-

чальным условиям (2), на отрезке t0		h,t0 h , где h min(a,	b	),.
			M
Замечание.	Условие Липшица	будет выполнено, если		функции	fi
(i 1, ,n) непрерывно дифференцируемы по переменным yj				j 1, ,n	в
параллелепипеде G.

6.1. Системы линейных дифференциальных уравнений

Система линейных уравнений первого порядка в нормальной форме имеет вид

	dy	n
	i	aij (t)yj fi(t), i 1,2, ,n .	(3)
	dt
		j 1
Если все fi(t) 0	i 1,2, ,n , то система (3) называется линейной однород-

ной. В некоторых случаях удобно записывать систему вида (3) в векторной форме

dY	AY F ,	(4)
dt

42

dy1

y1(t)

dt

f1

y2(t)

dY

dy2

f2

где Y

,

dt

,

F

- n - мерные вектор-функции;

dt

fn

yn(t)

dyn

dt

a11

a12

a1n

A a21

a22

a2n - n n матричная функция.

a

a

a

2n

21

22

Зададим линейный оператор L: L Y	dY	AY .	Тогда уравнение (4) можно
	dt
записать в виде
L Y F .			(5)

Легко видеть, что оператор L обладает следующими свойствами:

1)L cY cL Y ;

2)L Y1 Y2 L Y1 L Y2 .

i		i		i		i	.
Из свойств 1), 2) следует L k	cY			k	c L Y
i 1				i 1

Теорема 2. Если Y является решением линейной однородной системы

L Y 0, то cY , где c - произвольная постоянная, является решением этой

системы.

Теорема 3. Если Y1 , Y2 являются решениями линейной однородной системы

L Y 0, то сумма Y1 Y2 является решением этой системы.

k

Из теорем 2, 3 следует, что линейная комбинация cYi i решений Y1,Y2, ,Yk

i 1

системы L Y 0 является решением этой системы.

43

Теорема 4. Если линейная однородная система с действительными коэффициентами имеет комплексное решение Y U iV , то действительная и мнимая части U и V являются решениями этой системы.

Вектор-функции Y1,Y2, ,Yn , где

y1i (t)

y (t) Yi 2i

yni(t)

являются линейно зависимыми на отрезке [a,b], если существуют постоян-

ные, не все равные нулю, такие, что для всех t [a,b]

1Y1 2Y2 nYn 0.

(6)

В противном случае Y1,Y2, ,Yn являются линейно независимыми.

Тождественное равенство вектора нулю означает, что каждая компонента вектора в левой части (6) равна нулю.

Если вектор-функции Y1,Y2, ,Yn			линейно зависимы на отрезке [a,b], то
для всех значений t [a,b] определитель системы уравнений (6)
	y11	y12	y1n
W	y21	y22	y2n			(7)
	yn1	yn2	ynn

должен быть равен нулю. Определитель (7) называется определителем Врон-

ского для системы вектор-функций Y1,Y2, ,Yn .

Теорема 5. Если определитель Вронского W решений Y1,Y2, ,Yn				линейной
однородной		системы L Y 0 с непрерывными коэффициентами aij (t) на
отрезке [a,b]		равен нулю хотя бы в одной точке отрезка [a,b], то решения
Y1,Y2, ,Yn	линейно зависимы на		[a,b], и, следовательно, W 0	для всех
значений	t [a,b].

44

dt

dY AY F .

n

Теорема 6. Линейная комбинация cYi i n линейно независимых решений

i 1

линейной однородной системы L Y 0 с непрерывными на отрезке [a,b]

коэффициентами aij (t) является общим решением этой системы на отрезке

[a,b].

Пример 1. Системе уравнений

		dy1		y y		,
		dt
				1	2
	dy2			y	y		2
		dt		1
удовлетворяют два линейно независимых решения: Y								1	,	Y e2t		1 .
							1			2
								1				1

Общее решение системы уравнений имеет вид Y c	1	c e2t		1 .
1		2
	1			1

Теорема 7. Общее решение на отрезке [a,b] неоднородной системы

L Y F с непрерывными на [a,b]		коэффициентами правыми частями fi t
	n	i
равно сумме общего решения	i
	cY соответствующей однородной системы

i 1

и частного решения Y рассматриваемой неоднородной системы.

Метод вариации постоянных. В некоторых случаях бывает затруднительно определить частное решение линейной неоднородной системы

Для	этой цели можно использовать метод вариации постоянных. Пусть
n	i	dY
i
cY является решением соответствующей однородной системы			AY .
i 1		dt

Для нахождения решения неоднородной системы будем рассматривать коэффициенты ci как функции переменной t, т.е. ищем решение в виде

n

Yci t Yi .

i1

Подставляя это выражение в неоднородное уравнение, получим

45

			n	n	dYi	n
		ci t Yi		ci t		A ci t Yi F .
					dt
			i 1	i 1		i 1
		dYi				n
	В силу того, что		AYi , приходим к векторному уравнению ci t Yi F .
		dt				i 1

Покоординатная запись полученного уравнения дает следующую систему

линейных уравнений относительно ci

n	f1 t ,
ci t y1i
i 1
n		t ,
ci t y2i	f2
i 1		(8)

n

ci t yni fn t .

i 1

Матрица системы (8) является невырожденной на отрезке [a,b], т.к. ее опре-

делитель совпадает с определителем Вронского для n линейно независимых решений однородной системы. Решение системы (8) представляется в виде n

дифференциальных уравнений ci i t , из которых находим функции ci t

ci t i t dt

ci

i 1,2, ,n .

Пример 2. Найти общее решение системы

dy1 y1 y2 1, dt

dy2 y1 y2 t. dt

Общим решением соответствующей однородной системы является семейство

решений c	1	c	e2t	1	. Ищем решение неоднородной системы в виде
1		2
	1			1

46

c (t)	1	c			(t)e2t			1				. Составим систему линейных уравнений для определе-
1		2
	1							1
ния c
	i
													1				e2t					c1										1
															e				2t													,
													1									c2										t
																										t 1											1 t
решением					которой является																										,											.		Интегрируя														полученные
																				c								2						c				2e2t
																				1														2
																t t																								e 2t										1
уравнения,					получаем								c1(t)											1 c1,										c2(t)												t						c2 .						Таким обра-
																				2																						4								2
																2
зом, получаем частное решение неоднородного уравнения
								1						2t 1															t	t						1							e 2t									1			1
		Y c (t)									c (t)e																							1															t										.
					1								2															2				2												4								2
								1												1																1																			1
Общее решение исходной системы имеет вид
							1						2t 1								t			t								1					e 2t									1		1
		Y c						c				e															1															t													.
						1				2										2																	4									2
							1						1											2								1																		1

6.2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Линейной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами называется линейная система уравнений

	dy	n
	i	aij yj fi (t)	i 1,2, ,n .	(9)
	dy
		j 1

Векторная форма записи системы (9) имеет вид

dY AY F , dt

где A aij - матрица с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим решение однородной системы с постоянными коэффициентами

47

	dy	n
	i	aij yj	i 1,2, ,n .	(10)
	dt
		j 1

Очевидно, что система (10) имеет тривиальное решение y1 0, ,yn 0.

Будем искать ненулевое решение системы (10) в виде

y	ekt , y	2		2	ekt	y	n		n	ekt ,	(11)
1	1

где j , j 1,2, ,n - постоянные величины. После подстановки (11) в (10) и

сокращения на ekt приходим к системе линейных однородных уравнений относительно j

a11 k 1 a12 2 a1n n 0,

a21 1 a22 k 2 a2n n 0, (12)

an1 1 an2 2 ann k a1n n 0.

Для того, чтобы эта система n линейных уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю, т.е.

			a11 k	a12	a1n
			a21	a22 k	a2n	0.	(13)
			an1	an2	ann k
Векторная запись уравнений (12) и (13) имеет вид, соответственно
		A kE 0,			det A kE 0,
1
	2
где		, E - единичная матрица размера n n. Уравнение (13) называет-
	n

ся характеристическим. Корни уравнения (13) называются собственными числами матрицы A, а соответствующие этим собственным числам решения системы (12) – собственными векторами матрицы A.

48

(i) n

(i) 2

Характеристическое уравнение имеет n корней. Если все собственные числа

ki i 1,2, ,n вещественны и различны,		то получаем n линейно независи-
мых решений системы (12)
X1 (1)ek1t ,	X2 (2)ek2t ,	, Xn (n)eknt ,

1(i)

где (i)

, (i 1, ,n) - собственные векторы, соответствующие собст-

венным числам ki .

Пример 1. Решить систему

dy1 3y1 y2, dt

dy2 5y1 y2. dt

Найдем корни характеристического уравнения

3 k	1	0,	k2 2k 8 0, k 4, k		2.
				2
5	1 k		1

Корни вещественные и различные. Запишем уравнение для определения собственного вектора, соответствующего корню k1 4,

1 2 0.

Положим 1 1, тогда собственным вектором является	(1)	1	Аналогич-
		.
		1

но, подставляя k2 2 в систему уравнений для определения соответствую-

щего собственного вектора, получим уравнение

5 1 2 0.

В результате, получаем собственный вектор (2)		1
		5	.
49

Общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид

Y(t) C e4t 1		C	e 2t 1 .
1		2		5
	1

Рассмотрим случай, когда некоторые корни характеристического уравнения (13) являются комплексными. Комплексному корню уравнения (13) (собст-

венному числу матрицы A) kj	i	соответствует комплексное решение
Yj	( j)ekjt .	(14)

Среди корней уравнения (13) должен быть и комплексно сопряженный, т.е. kj 1 i , которому соответствует комплексно сопряженное решение к

решению (14). Если все коэффициенты aij вещественны, то эти два ком-

плексно сопряженных решения можно заменить двумя вещественными решениями, каждое из которых представляет собой вещественную и мнимую части решения (14).

Пример 2. Решить систему

dy1 y1 y2 dt

.

dy2 2y1 y2 dt

Найдем корни характеристического уравнения

	1 k	1
			0, k2 2k 3 0,	k 1 i	2 , k		2	1 i 2.
	2	1 k		1

Уравнение для определения собственного вектора, соответствующего k1 1 i2 имеет вид

i2 1 2 0.

Положим 1 1, тогда 2 i2. В результате, получаем комплексное реше-

ние

50