ДиРУр_Лекции

Пример 2. Функции y (x) x,		y (x) ex являются линейно независимыми
1		1
решениями дифференциального уравнения
y		x	y	1	y 0.
	x 1			x 1

Общим решением этого уравнения на любом отрезке [a,b], не содержащем

1, является линейная комбинация y C1x C2ex , где C1, C2 - произвольные постоянные.

Лемма.Пусть два дифференциальных уравнения

y(n) p1(x)y(n 1) pn(x) 0, y(n) q1(x)y(n 1) qn(x) 0

с непрерывными коэффициентами pi(x) и qi (x) (i 1, ,n) на отрезке

[a,b]имеют общую фундаментальную систему решений. Тогда эти два уравнения совпадают,т.е. pi(x) qi(x) (i 1, ,n)при x [a,b] .

Таким образом, любая система n линейно независимых функций может быть фундаментальной системой только одного линейного однородного дифференциального уравнения n- го порядка. Возникает вопрос о возможности построения линейного однородного дифференциального уравнения n- го порядка по заданной системе n линейно независимых функций.

Так как любое решение yуравнения (11) линейно зависит от реше-

ний y1,y2, ,yn , составляющих фундаментальную систему решений, то опре-

делитель Вронского W[y1,y2, ,yn,y] равен нулю, т.е.

31

y1	y2	yn	y
y1	y2	yn	y
				0.	(13)
y1(n 1)	y2(n 1)	yn(n 1)	y(n 1)
y1(n)	y1(n)	yn(n)	y(n)

Разложив определитель в (13) по элементам последнего столбца, получим линейное однородное дифференциальное уравнение, имеющее заданную фундаментальную систему решений y1,y2, ,yn .

	y1	y2		yn
	y1	y2		yn
W[y1,y2, ,yn ]y(n)					y(n 1) 0	(14)
	y1(n 2)	y2(n 2)	yn(n 2)		.
	y1(n)	y1(n)	yn(n)

Поделив уравнение (14) на определитель Вронского W[y1,y2, ,yn] 0, при-

ходим к уравнению в форме (11), которое имеет заданную фундаментальную систему решений y1,y2, ,yn .

Пример 3. Построить однородное линейное дифференциальное уравнение, фундаментальной системой решений которого являются две линейно независимые функции y1 x, y2 x2 .

Решение. Запишем уравнение вида (13) для данной системы функций

x x2 y

1 2x y 0.

0 2 y

32

Разложив определитель по последнему столбцу, получим требуемое дифференциальное уравнение

x2 y 2xy 2y 0.

Заметим, что определитель при y(n 1) в уравнении (14) равен производной

определителя Вронского W[y1,y2, ,yn ]. Отсюда следует, что p1								(x)	W
											.
									W
Интегрируя					это	дифференциальное	уравнение,	получим
ln		W		p1(x)dx lnC. Откуда следует
						W Ce p1(x)dx .	(15)

При x x0 , получим C W(x0). Следовательно,

W W(x )e p1(x)dx	(16)
0

Формулы (15), (16) называются формулами Остроградского-Лиувилля.

5.3Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение

a0 y(n) a1y(n 1) an y 0,

(1)

где коэффициенты ai i 0, ,n - постоянные величины. Для нахождения общего решения уравнения (1) надо найти n линейно независимых решений этого уравнения, т.е. фундаментальную систему решений.

33

Будем искать частные решения уравнения (1) в виде y ekx , где k - посто-

янная величина, которая может выбираться произвольно. Подставляя в урав-

нение (1) функцию y ekx и ее производные, получим

a0knekx a1kn 1ekx anekx 0.

(2)

После сокращения на множитель ekx получается алгебраическое уравнение n- й степени

a0kn a1kn 1 an 0.

(3)

Уравнение (3) называется характеристическим уравнением. Если все корни k1,k2, ,kn уравнения (3) различны, то это означает, что найдено n линейно

независимых решений ek1 ,ek2 , ,ekn уравнения (1). Это означает, что общее решение уравнения (1) записывается в виде

y c1ek1x c2ek2x cneknx ,

(4)

где ci – произвольные постоянные.

Пример 1. Найти общее решение уравнения y 5y 6y 0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k2 5k 6 0, его кор-

нями являются	k1 3,	k2 2. Следовательно, общее решение рассматри-
ваемого уравнения записывается в виде y ce3x c				e2x .
		1	2

Если среди корней характеристического уравнения (3) оказываются комплексные, то они входят во множество корней парами комплексно сопряженных чисел. Паре комплексно сопряженных корней k1 i , k2 i со-

ответствуют два решения уравнения (1) : e i x и e i x . Согласно формуле Эйлера для комплексной экспоненты запишем эти решения в виде

e i x e x cos x isin x ,

e i x e x cos x isin x .

Как известно, если однородное дифференциальное уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексное решение, то действительная и мнимая части этого решения также являются решениями этого уравнения.

34

Следовательно, паре комплексных корней k1 i и k2 i соответст-

вуют два действительных решения: e x cos x и e x sin x.

Пример 2. Найти общее решение уравнения y 3y y 5y 0.

Решение. Корнями характеристического уравнения k3 3k2 k 5 0 явля-

ются k1 1,	k2 2 i,	k3 2 i.	Общее решение данного дифференциаль-
ного уравнения имеет вид y cex			c e 2x cosx c e 2x sinx.
		1	2	3

Рассмотрим случай, когда среди корней характеристического уравнения имеются кратные. Если среди корней характеристического уравнения имеется кратный корень, то справедливо следующее утверждение.

Утверждение. Пусть kj		- корень характеристического уравнения, соот-
ветствующего уравнению		(1), имеет кратность rj . Тогда функции ekjx ,
xekjx	xkj 1ekjx являются частными решениями уравнения (1).

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда характеристическое урав-

нение имеет корень kj 0 кратности	rj . В этом случае левая часть характе-
ристического уравнения a0kn a1kn 1	an 0 имеет множитель krj . Сле-

довательно, все коэффициенты, которые умножаются на k в степени меньшей чем rj , равны нулю, т.е. an rj 1 an rj 2 an 0. В этом случае соответствующее однородное дифференциальное уравнение имеет вид

a0 y(n) a1y(n 1) an rj y(rj ) 0,

и легко проверяется, что функции 1,x, ,xrj 1 являются решениями этого уравнения.

Пусть характеристическое уравнение имеет корень kj	0 кратности rj . В
этом случае сделаем замену переменных
y ekjxz.	(5)

Замена (5) приводит уравнение (1) к однородному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами. Действительно, выражение произ-

водной y(p) через производные функции z имеет вид

35

p
y(p) ekjx Clpkljz(p l) .	(6)

l 0

После подстановки в уравнение (1) выражений производных функции y че-

рез производные функции z (6) и деления на множитель ekjx	получим урав-
нение вида (1) для функции z
b0z(n) b1z(n 1) bn 0.	(7)

Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (7) имеет вид

b0qn bq1

n 1 bn 0.

(8)

Корни характеристических уравнений (2) и (8) связаны между собой равенством k q kj , т.к. решения уравнений (1) и (7) связаны между собой соот-

ношением (5), т.е. ekx ekjxeqx . Поэтому корню уравнения (2) kj кратности rj

соответствует корень уравнения (8) pj 0, имеющий кратность rj .

Корню pj 0 кратности rj соответствуют частные решения уравнения (7)

z 1,z x, ,z xrj 1	. Следовательно, т.к. y ekjxz, корню kj	уравнения (2)
кратности rj будут соответствовать частные решения уравнения (1)
	y ekjx,y xekjx, ,y xrj 1ekjx .	(9)

Частные решения (9) являются линейно независимыми. Это можно легко до-

казать, используя линейную независимость функций 1,x,x2, ,xkj 1 .

Пример 3. Найти общее решение уравнения y y 8y 12y 0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k3 k2 8k 12 0, его

корнями являются	k1 k2 2, k3 3. Следовательно, общее решение рас-
сматриваемого уравнения записывается в виде y ce2x c			xe2x c e 3x .
	1	2	3

36

Если характеристическое уравнение имеет комплексный корень kj pj iqj

кратности rj , то этому корню соответствуют 2rj линейно независимых дей-

ствительных решений:

epjx cosqjx, xepjx cosqjx, ,xrj 1epjx cosqjx,

epjx sinqjx, xepjx sinqjx, ,xrj 1epjx sinqjx.

Пример 4. Найти общее решение уравнения

yIV 4y 8y 8y 4y 0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k4 4k3 8k2 8k 4 0, его корнями являются k1 k2 1 i, k3 k4 1 i. Следовательно, общее решение рассматриваемого уравнения записывается в виде y ex c1 cosx c2xcosx c3 sinx c4xsinx .

5.4. Неоднородные линейные уравнения
Рассмотрим неоднородное линейное уравнение вида
L[y] y(n) p1(x)y(n 1) pn(x)y f (x).	(10)
Будем предполагать, что решение уравнения (10) ищется	на интервале
x [a,b] и на этом интервале функции pi(x) (i 1, ,n), f (x)	непрерывны. В

этом случае уравнение (10) имеет единственное решение, удовлетворяющее при некотором заданном x0 [a,b] условиям

y(p)(x0) yp0 (p 0, ,n 1),

где yp0 - любые действительные числа.

Теорема 1. Общее решение на отрезке [a,b] уравнения L[y] f (x) равно

сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какогонибудь частного решения y неоднородного уравнения.

n

Доказательство. Общее решение однородного уравнения имеет вид ci yi ,

i 1

где ci (i 1, ,n)- произвольные константы; yi (i 1, ,n) - линейно незави-

37

симые решения однородного уравнения. Покажем, что общим решением неоднородного уравнения является сумма

n
ci yi	y	.	(11)
i 1

Для этого достаточно показать, что подбором констант ci выражение (11)

может удовлетворять произвольно заданным начальным условиям.

y(p)(x0) yp0

(p 0, ,n 1).

(12)

Записывая начальные условия для функции (11), получим систему n уравнений для определения коэффициентов ci

n
ci yi(p)(x0)	y	(p)(x0) yp0	(p 0, ,n 1).	(13)
i 1
Система (13) имеет единственное решение, поскольку для любого				x0 [a,b]

определитель Вронского W[y1,y2, ,yn ] отличен от нуля в силу линейной не-

зависимости yi (i 1, ,n). Теорема доказана.

Таким образом, если найдено частное решение неоднородного уравнения, то для определения общего решения этого уравнения достаточно найти фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения.

Метод вариации постоянных. В случае, если не удается найти частное решение неоднородного уравнения, а общее решение соответствующего одно-

n

родного уравнения ci yi найдено, то для определения общего решения не-

i 1

однородного уравнения можно применить так называемый метод вариации постоянных.

При использовании этого метода решение неоднородного уравнения ищет-

n

ся в виде y ci(x)yi (x), т.е. нахождение неизвестной функции y(x) сво-

i 1

дится к нахождению n неизвестных функций ci(x). Для определения функ-

ций ci(x) предлагается решать систему n линейных уравнений

38

	n
	ci(x)yi 0,
	i 1
	n
	ci(x)yi 0,
	i 1
		(14)

n

ci(x)yi(n 2) 0,

i 1

n

ci (x)yi(n 1) f (x).

i 1

Система (14) однозначно разрешима относительно ci , т.к. матрицей этой сис-

темы является фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения, соответствующего исходному неоднородному уравнению.

В результате решения системы уравнений (14) получим дифференциальные уравнения для определения ci(x) вида ci(x) i(x), которые решаются в

квадратурах
ci(x) (x)dx	ci .
			y 2xe	x	на отрезке
Пример 5. Найти общее решение уравнения y		2y
x [1,2].

Решение. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Запишем характеристическое уравнение: k2 2k 1 0. Характеристическое уравнение имеет кратный корень k1 k2 1. Следовательно,

общее решение однородного уравнения имеет вид c1e x c2xe x . Для опреде-

ления частного решения неоднородного уравнения применим метод вариации постоянных. В соответствии с этим методом частное решение неодно-

родного уравнения ищем в виде c (x)e x

c (x)xe x . Составим систему урав-

1

,

2

(x)

(x)

нений вида (14) для определения c1

c2

x

x

0,

c1(x)e

c2(x)xe

(x)e

x

(x)(e

x

xe

x

) 2xe

x

.

c1

c2

39

Находим c1(x) 2x2 , c2(x) 2x, откуда

c1(x) 2x2dx			c1 ,		c2(x) 2xdx					c2 .
Итак, c (x)	2	x3			c	, c (x) x2			c	.
1	3				1		2	2

Общее решение исходного уравнения имеет вид

		2		3		x	x	2	C2 xe	x
y(x)			x		C1 e						.
		3

6. Системы дифференциальных уравнений

В общем случае система дифференциальных уравнений представляет собой систему уравнений вида

Fi t,y1,y1, y1(m1), ,yn,yn, yn(mn ) 0 i 1, ,n .

Мы будем рассматривать системы дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенные относительно производных

40