ДиРУр_Лекции

		1
Y et					cos	2t isin		2t .
	i		2

Выделим вещественную и мнимую части этого решения

cos

2t

sin 2t

Y Re(Y) et

,

Y

Im(Y) et

.

1

2sin

2

2cos

2t

2t

Откуда получаем общее решение

C cos

2t C

sin 2t

Y(t) et

1

2

.

C

2sin

2t C

2

2cos

2t

1

Рассмотрим случай, когда характеристическое уравнение имеет кратный корень ks кратности r.

Если для кратного корня ks имеется столько линейно независимых собст-

венных векторов (1), , (r) , какова его кратность, то ему соответствует

решение C1 (1) C2 (2) Cr (r) ekst .

Пример 3. Найти общее решение системы

dy1 3y1, dt

dy2 y1 2y2 y3, dt

dy3 y1 y2 2y3. dt

Найдем корни характеристического уравнения

3-k 0 0

1 2-k -1 (3 k)(k2 4k 3) 0.

1 -1 2-k

Получаем k1,2 3, k3 1.

51

Найдем собственные векторы для кратного корня k1,2 3. Для этого запи-

шем и решим однородную систему уравнений

0		0	0 1					0					1	2 3 0,
	1	-1	-1						0
						2
												1 2 3 0.
	1	-1							0
			-1			3

Очевидно, ранг матрицы системы равен 1, следовательно, число линейно независимых решений этой линейной однородной системы равно

n rank A 3 1 2. В результате решения однородной системы линейных алгебраических уравнений находим два линейно независимых собственных вектора

				1							1
	(1)			1				(2)			0
						,						.
				0							1

Следовательно, кратному корню k1,2 3 соответствует решение Y C1 (1)e3t C2 (2)e3t , где C1, C2 - произвольные постоянные.

Аналогично находим собственный вектор, соответствующий собственному

0

значению k3 1: (3) 1 .

1

Таким образом, общее решение системы дифференциальных уравнений

имеет вид Y C1 (1)e3t C2 (2)e3t C3 (3)et .

Если для корня ks кратности r имеется только m линейно независимых собственных векторов, и m r , то решение, соответствующее этому корню, можно искать в виде произведений многочлена степени r m на ekt , т.е. в виде

y (b			b t b		tr m)ekt,
	1	10	11	1r m		(15)
.......................................................
y	n	(b	b t b			tr m)ekt.
		n0	n1	nr m

Чтобы найти коэффициенты bij надо подставить решение (15) в исходную

систему. Приравняв коэффициенты подобных членов в левой и правой части уравнений, получим систему линейных алгебраических уравнений отно-

52

сительно bij . При этом коэффициенты bij должны зависеть от r произволь-

ных постоянных, где r - кратность корня ks .

Пример 2. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение.

Составим и решим характеристическое уравнение

,

(5)

.

Для простого корня находим собственный вектор , решая систему

находим . Значит собственный вектор есть ,

и - частное решение исходной системы.

Для кратного корня сначала определим число линейно независимых собственных векторов. При из (5) получаем матрицу

.

Ее порядок n=3, а ранг r=2. число линейно независимых собственных векторов равно . Корень имеет кратность k=2. Так как , то решение надо искать в виде произведения многочлена степени на , т.е. в виде

(6)

Чтобы найти коэффициенты a,b,...., подставляем (6) в исходную систему и приравниваем коэффициенты при подобных членах. Получаем систему

53

Общее решение этой системы есть Таким об-

разом, все неизвестные выражены через c и d. Положив , име-

ем

Подставив найденные значения a,b,... в (6), и прибавив частное решение,

умноженное на , получим общее решение исходной системы:

.

Пример 3. Решить систему

dy1 y1 y2, dt

dy2 y1 3y2. dt

Запишем характеристическое уравнение

	1 k	1	0		или		k2 4k 4 0.
	1	3 k
Уравнение имеет кратный корень					k1,2		2. Для определения собственного
вектора составим систему линейных уравнений
	1 1 1				0
						.
	1 1		2			0

Ранг матрицы этой системы равен 1. Число линейно независимых решений

1

равно 1. Собственным вектором является вектор .

1

Следовательно, решение ищем в виде

y1 ( 1 1t)e2t, y2 ( 2 2t)e2t.

После подстановки в первое уравнение системы ДУ и деления на e2t получим

1 1 1t 2 2t.

54

Это равенство будет выполняться, если 2 1 1, 2 1 . Будем считать

1, 1 произвольными постоянными, обозначив их соответственно c1 и c2 .

Общее решение системы имеет вид

y1 (c1 c2t)e2t , y2 (c1 c2 c2t)e2t.

7.Разностные уравнения

Вданном разделе рассматриваются числовые функции, заданные на дискретном множестве точек {ti} R. Дискретное множество значений аргумен-

та {ti}принято называть сеткой, а значения ti - узлами. Функции, заданные на сетке, называют сеточными функциями. Будем считать, что узлы сетки упорядочены в порядке возрастания и для всех i ti 1 ti h 0. Путем мас-

штабирования аргумента можно задать сетку так, чтобы расстояние между соседними узлами было равно единице.

В дальнейшем всегда будем считать, что h 1, и все рассматриваемые сеточные функции определены на множестве целых чисел. В некоторых случаях значения целочисленного аргумента будем обозначать нижним индексом у обозначения функции, например, yt есть то же самое, что и y(t).

Пусть дана функция y дискретного аргумента t. Правой разностью первого порядка функции y в точке t называется величина

55

yt

y(t 1) - y(t),

(1)

В практике также используют левую разность первого порядка, определяемую как

yt y(t) - y(t 1) yt

В численном анализе также используются разности порядков выше первого: правые разности:

2 y y

- y

t

y(t 2) 2y(t 1) y(t)

t

t 1

(2)

r

r yt

r 1yt 1

- r 1yt

( 1)jCrj y(t r j)

j 0

и левые разности:

r y

r-1y

-

r-1y

r y

.

t

t

t 1

t r

Разностным уравнением порядка n называется уравнение вида

G(t,y(t),y(t 1), ,y(t n)) 0 .

(3)

Разностное уравнением порядка n можно представить как соотношение, свя-

зывающее yt и разности i yt или i yt вплоть до порядка n.

Решением разностного уравнения (3) называется функция y(t), которая об-

ращает это уравнение в тождество.

Если записать уравнение (3) в виде
y(t n) G1 t,y(t), ,y(t n 1) ,		(4)
то, задавая при t t0 начальные значения
y(t0) y0 , y(t0 1) y1	y(t0 n 1) yn 1,
получим значение y(t0 n) и, следовательно, при любом целом t		значение

y(t0 t). Таким образом, решение разностного уравнения n - го порядка за-

висит от n начальных значений, и его можно представить в виде

y(t) F t,y0,y1, ,yn 1 .

56

С другой стороны, если имеется функция y(t) целочисленного аргумента,

которая является представителем	семейства	y(t) F t,C1, ,Cn ,
то из уравнений
y(t) F t,C1, ,Cn ,
y(t 1) F t 1,C1, ,Cn ,
y(t n 1) F t n 1,C1, ,Cn
можно выразить константы C1, ,Cn	через y(t),y(t 1), ,y(t n 1). После

подстановки этих выражений в уравнение y(t n) F t n,C1, ,Cn придем к разностному уравнению n - го порядка.

7.1.Линейные разностные уравнения. Линейным разностным уравнением порядка n называется уравнение вида

n yt a1(t) n 1yt an(t)yt

f (t).

(5)

Если f (t) 0, то уравнение (3) называется однородным линейным разност-

ным уравнением. Применяя формулы определения конечных разностей (1), (2), можно переписать уравнение (5) в виде

y(t n) p1(t)y(t n 1) pn(t)y(t) f (t).							(6)
Рассмотрим свойства решений линейного однородного уравнения
y(t n) p1(t)y(t n 1) pn(t)y(t) 0.							(7)
Теорема 1. Если y1(t),y2(t), ,yn(t) - решения уравнения (7), то функция
C1y1(t) C2 y2(t) Cn yn(t), где Ci			(i 1, ,n) - постоянные, тоже являет-
ся решением уравнения (7).
Теорема 2. Пусть y1(t),y2(t), ,yn(t)			- решения уравнения (7), при этом оп-
ределитель
	y1(0)	y2 (0)		yn (0)
D[y1(0), , yn(0)]	y1(1)	y2(1)		yn (1)			(8)
	y1(n-1) y2(n-1) yn (n-1)
		57

не равен нулю, то общее решение уравнения (7) имеет вид

y(t) C1y1(t) C2 y2(t) Cn yn(t).

Теорема 3. Общее решение неоднородного линейного уравнения

y(t n) p1(t)y(t n 1) pn(t)y(t) f (t)

выражается в виде суммы его частного решения y(t) и общего решения со-

n

ответствующего однородного уравнения, т.е. y(t) y(t) Ci yi(t), где yi (t)

i 1

(i 1, ,n) - частные решения однородного уравнения такие, что

D[y1(0), ,yn(0)] 0.

Функции y1(t),y2(t), ,yn(t) называются линейно зависимыми, если суще-

ствуют постоянные C1, ,Cn , не равные нулю одновременно, такие, что при

всех t 0 имеет место
C1y1(t) C2 y2(t) Cn yn(t) 0.	(9)
Если равенство (9) может выполняться для всех t 0	только, когда Ci 0,

i 1, ,n,тофункции y1(t),y2(t), ,yn(t) являются линейно независимыми.

Пример 1. Функции y1(t) 2t , y2(t) 3t являются линейно независимыми.

Функции y1(t) sin2 t, y2(t) cos2 t , y3(t) 1являются линейно зависимыми.

Лемма. Пусть y1(t),y2(t), ,yn(t) линейно независимые решения однород-

ного уравнения n - го порядка, тогда определитель

	y1(t)	y2(t)	yn(t)
D[y1(t), , yn (t)]	y1(t 1)	y2(t 1)		yn (t 1)
	y1(t n-1)	y2(t n-1)		yn (t n-1)

не может быть тождественно равным нулю.

Метод вариации постоянных для решения неоднородного уравнения

Предположим, что известны y1(t),y2(t), ,yn(t) - n линейно независимые ре-

шения линейного однородного уравнения

58

y(t n) p1(t)y(t n 1) pn(t)y(t) 0,

и нам требуется найти частное решение неоднородного уравнения

y(t n) p1(t)y(t n 1) pn(t)y(t) f (t)

при t 0. Общее решение однородного уравнения, как известно, имеет вид

n

Ci yi(t), где Ci (i 1, ,n) - произвольные постоянные. Решение неодно-

i 1

n

родного уравнения ищем в виде Ci(t)yi(t) путем выбора функций Ci(t).

				i 1
Обозначим Cit Ci(t 1) Ci(t)				(i 1, ,n). Составляется система уравнений
для определения Cit .
C1t y1(t 1) C2t y2(t 1) Cnt yn(t 1) 0,
	C1t y1(t 2) C2t y2(t 2) Cnt yn(t 2) 0,
							(10)
C y (t n) C			y	(t n) C	y	(t n) f (t).
	1t 1	2t	2	nt	n

После определения разностей при любом t 0 можно определить Ci(t), если задать начальные значения C1(0) C10 , C2(0) C20 ,…, Cn(0) Cn0 .

7.2.Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Для решения неоднородного линейного разностного уравнения надо найти линейно независимую систему решений соответствующего однородного уравнения. Для случая уравнения с постоянными коэффициентами ниже дается способ нахождения системы линейно независимых решений.

Однородные линейные уравнения. Пусть дано линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами

y(t n) a1y(t n 1) an y(t) 0.

(11)

Решение уравнения (1) будем искать в виде y(t) qt . Послеподстановки в уравнение (1) получим уравнение для определения q

59

qt n a1qt n 1 anqt 0.

(12)

Т.к. очевидное нулевое решение нас не интересует, будем считать, что q 0.

Поделив уравнение (12) на qt , получим

qn a1qn 1 an 0.

(13)

Уравнение (13) называется характеристическим для уравнения (11). Рассмотрим всевозможные типы корней характеристического уравнения.

А) Все корни характеристического уравнения q1,q2, ,qn вещественные и различные. В этом случае уравнение (11) имеет n решений

y1 q1t, y2 q2t , , yn qnt .

(14)

Покажем, что эти линейно независимы. Составим для этой цели определитель

	q1t			q2t		qnt
			t 1	t 1		t 1
D[q1t, ,qnt ]	q1			q2		qn	.		(15)
	q1t n-1			q2t n-1	qnt n-1
Вынесем за знак определителя из каждого столбца в (15) qt
								i
			1	1		1
D[q1t, ,qnt ] q1tq2t qnt			q1	q2		qn		.	(16)
			qn-1	qn-1		qn-1
			1	2		n

Считаем, что все qi отличны от нуля, т.к. в противном случае коэффициент an был бы равен нулю, и мы бы тогда рассматривали уравнение меньшего порядка. Определитель в правой части (16) есть определитель Вандермонда и он равен (qj qi) и отличен от нуля, поскольку все корни характеристиче-

j i

ского уравнения различны. Следовательно, решения y1 q1t, y2 q2t , , yn qnt

- линейно независимы, и общее решение однородного разностного уравнения

(7) имеет вид

60