Гильмундинов-Мельников

Задачи

Задача 1. Пусть развитие экономики описывается моделью Солоу с

производственной функцией Кобба–Дугласа Yt = 5Kt1/3Lt2/3, норма выбытия капитала ( ) равняется 0,05; норма сбережений (s) составляет 0,25; первоначальный уровень капиталовооруженности (k1) равен 64; численность рабочей силы страны равна 1000 и не меняется во времени. Требуется:

а) определить устойчивый уровень капиталовооруженности и соответствующий ему размер среднедушевого ВВП;

б) определить динамику среднедушевых инвестиций в основной капитал, капиталовооруженности и среднедушевого ВВП в первые два года и проиллюстрировать графически движение к устойчивому уровню капиталовооруженности;

в) найти золотой уровень капиталовооруженности и соответствующий ему уровень ВВП.

Теоретический материал, необходимый для решения задачи 1

Модель Солоу относится к моделям экономического роста с экзогенным научно-техническим прогрессом, что означает, что вклад на- учно-технического прогресса в экономический рост задается извне, а не определяется в самой модели. Как большинство моделей экономического роста, модель Солоу отталкивается от макроэкономической производственной функции, благодаря которой возникает возможность моделировать величину ВВП в зависимости от факторов экономического роста. В случае модели Солоу такой производственной функцией выступает функция типа Кобба–Дугласа:

Yt = AtKt Ltβ,

где Yt – величина ВВП в году t; At – величина фактора, отражающего вклад (мультипликативный) научно-технического прогресса в ВВП, в году t; Kt – объем основного капитала на начало года t; Lt – величина рабочей силы, занятой в экономике в году t; > 0, β > 0 – коэффициенты, отражающие эластичность ВВП по величине основного капитала и рабочей силы соответственно (обычно принимается условие,

что + β =1).

Так как экономический рост принято рассматривать на основе среднедушевых показателей (чтобы исключить влияние изменения численности населения при анализе долгосрочных траекторий эконо-

131

мического развития), то перейдем к показателю «среднедушевой ВВП» (yt), предположим, что + β = 1:

	A K L		A K L1		K
						t		At kt .
yt	t t t		t t t	At
			Lt
	Lt				Lt

где kt – капиталовооруженность труда (отношение величины основного капитала к численности рабочей силы) на начало года t.

Устойчивый уровень капиталовооруженности (kt*) – это такой уровень капиталовооруженности, при котором величина капиталовоору-

женности является неизменной величиной ( k = 0), иными словами, при устойчивом уровне капиталовооруженности величина инвестиций в основной капитал на одного работника полностью компенсирует выбытие основного капитала на одного работника:

k = I/L – k = 0.

Вмодели Солоу мы предполагаем, что государство не вмешивается

вэкономическое развитие страны, а внешняя торговля отсутствует, в таком случае величина инвестиций (I) должна в состоянии равновесия совпадать с величиной сбережений (S):

I= S.

Вто же время сбережения определяются как норма сбережений (s), умноженная на ВВП:

S = sY.

Таким образом, условием для устойчивого уровня капиталовооруженности будет

k = LI – k = sYL – k = sy – k = 0 sy = k.

«Золотое правило накопления» в модели Солоу определяется исходя из критерия максимизации среднедушевого потребления (c) при варьировании нормой сбережения (s). Формально «золотое правило накопления» определяется равенством нормы сбережений (s*) эластичности ВВП по величине основного капитала ():

s* = .

«Золотой» уровень капиталовооруженности (k**) – это такой устойчивый уровень капиталовооруженности, при котором достигается мак-

132

симальное среднедушевое потребление, его величина может быть определена из следующей формулы:

MPK = ,

где MPK – предельная производительность капитала.

Решение задачи 1

А. В нашем случае мы имеем следующую зависимость текущего ВВП от факторов экономического роста:

Yt = 5Kt1/3Lt2/3,

yt = Yt / Lt = 5Kt1/3Lt1/3 / Lt = 5(Kt / Lt)1/3 = 5kt1/3.

Устойчивый уровень капиталовооруженности (k*), как было сказано выше, определяется из следующего соотношения:

sy = k.

Подставляя данное соотношение в условия задачи, получим

0,25y = 0,05k.

Кроме того, мы имеем соотношение, определяющее взаимосвязь

среднедушевого ВВП и капиталовооруженности: y = 5k1/3. Воспользовавшись данными двумя соотношениями, получаем, что

устойчивый уровень капиталовооруженности k* = 125, а соответствующий ему среднедушевой ВВП y* = 25.

Б. Определим значения среднедушевых инвестиций в основной капитал, капиталовооруженности и среднедушевого ВВП в данном и последующем году.

Первый год

Так как задан уровень капиталовооруженности на начало первого года, уровень среднедушевого ВВП находится из производственной функции:

y1 = 5k11/3 = 5(64)1/3 = 20.

Как мы ранее выяснили, в модели Солоу инвестиции равняются сбережениям, поэтому мы можем записать:

I1 = S1 = sY1 = sy1L1.

Следовательно, I1/L1 = sy1. Откуда получаем, что среднедушевые инвестиции в основной капитал равны I1/L1 = 0,25 20 = 5.

133

Второй год

Для определения всех показателей нам необходимо найти уровень капиталовооруженности на начало второго года (k2):

k2 = k1 + I1/L1 – k1 = 64 + 5 – 0,05 64 = 65,8.

Далее аналогично первому году вычисляем среднедушевой ВВП и среднедушевые инвестиции в основной капитал:

y2 = 5k21/3 = 5(65,8)1/3 = 20,19, I2/L2 = sy2 = 0,25 20,19 = 5,05.

Таким образом, как мы видим, наблюдается рост уровня капиталовооруженности, среднедушевых инвестиций в основной капитал и ВВП, что означает приближение экономики к устойчивому состоянию. Графическая иллюстрация представлена на следующем рисунке.

y
		y = 5k		0,05k
y* = 25
y1 = 20
				0,25y

I1/L1 = 5k1 = 3,2

k

R1 = 64

R* = 125

В. для определения «золотого» уровня капиталовооруженности (k**) воспользуемся «золотым правилом накопления»:

s* = = 1/3.

В таком случае для определения «золотого» уровня капиталовооруженности нам достаточно найти ее устойчивый уровень: sy = k, где

s = 1/3. Подставляя исходные данные, получим 1/3 5k1/3 = 0,05k. Отку-

да k** = 192,45.

Соответствующий золотому правилу накопления ВВП находим из производственной функции:

Y** = 5y**L = 5(k**)1/3L = 5(192,45)1/3 · 1000 = 28 867,5.

134

Задача 2. Пусть экономика первоначально находится в устойчивом состоянии, при этом

Ct = 50 + 0,6Yt–1, It = 250 + 0,5(Yt–1 – Yt–2), G = 200.

А. Определите устойчивый уровень ВВП, потребления и инвестиций. Б. Пусть произошло увеличение государственных закупок на

100 единиц. Определите динамику значений ВВП, потребления и инвестиций в первые два года.

Решение задачи 2

Модель Самуэльсона–Хикса относится к кейнсианскому типу моделей, она предназначена для моделирования циклического развития экономики в рамках детерминистского подхода к анализу деловых циклов. В данной модели учитывается запаздывающая реакция важнейших элементов совокупного спроса (конечного потребления C и частных инвестиций I) на изменение объемов дохода и спроса (Y). Запаздывание потребления за изменением дохода представляет собой лаг Робертсона и формально записывается следующим образом:

Ct = C0 + cYt–1.

Благодаря такой записи функции потребления учитывается эффект мультипликатора, который тем выше, чем больше предельная склонность к потреблению дохода c.

Запаздывание инвестиций за изменением спроса представлено лагом Лундберга

It = I0 + a(Yt–1 – Yt–2),

где первое слагаемое принято называть автономными инвестициями, а второе слагаемое – индуцированными инвестициями, которые вызывают так называемый эффект акселератора, который тем сильнее, чем больше коэффициент a.

Основные соотношения модели представлены базовыми тождествами равновесия на рынке товаров:

AD = C + I + G + Nx = AS = Y.

Приступим к решению задачи.

А. Для определения устойчивого уровня ВВП, потребления и инвестиций приравняем совокупный спрос AD совокупному предложению

AS:

AD = C + I + G + Nx = 50 + 0,6Yt–1 + 250 + 0,5(Yt–1 – Yt–2) + 200 = = 500 + 0,6Yt–1 + 0,5(Yt–1 – Yt–2),

AS = Y.

135

Так как в устойчивом состоянии объемы ВВП предыдущих лет совпадают с объемом ВВП текущего года, можем записать

500 + 0,6Y + 0,5(Y – Y) = Y.

Откуда находим, что Y* = 1250. Следовательно, С* = 800, I* = 250.

Б. Предположим, что государственные закупки товаров и услуг возросли на 100 д. ед. Определим динамику ВВП, потребления и инвестиции в первые два года.

Первый год

Совокупный спрос в первом году увеличился на 100 д. ед. за счет роста государственных закупок:

AD1 = 50 + 0,6Y0 + 250 + 0,5(Y0 – Y–1) + 300 =

= 600 + 0,6Y0 + 0,5(Y0 – Y–1).

Так как ранее экономика находилась в устойчивом состоянии, то Y0 = Y–1 = Y* = 1250. Приравнивая совокупный спрос совокупному предложению, получаем

Y1 = AS1 = AD1 = 600 + 0,6Y0 + 0,5(Y0 – Y–1) = = 600 + 0,6 1250 + 0,5(1250 – 1250) = 1350.

Поскольку потребление и инвестиции запаздывают на изменения экономической ситуации, их значения останутся на прошлом уровне:

C1 = 800, I1 = 250.

Второй год

Имеем Y2 = AS2 = AD2 = 600 + 0,6Y1 + 0,5(Y1 – Y0) = 600 + 0,6 1350 + + 0,5(1350 – 1250) = 1460.

Подставляя значения Y1 в функции потребления и инвестиций, получим

C2 = 50 + 0,6Y1 = 50 + 0,6 1350 = 860,

I2 = 250 + 0,5(Y1 – Y0) = 250 + 0,5(1350 – 1250) = 300.

Таким образом, мы видим, что совокупный спрос хоть и с запаздыванием, но начал возрастать вслед за увеличением объемов ВВП, обусловленных первоначальным ростом государственных закупок товаров и услуг.

136

Литература

1.Баранов А.О. Лекции по макроэкономике. – Новосибирск: Изд-во Сиб. отд-ния РАН, 2007. (Разд. 16)

2.Макроэкономика / В.М. Гальперин, П.И. Гребенников, А.И. Леусский, Л.С. Тарасевич. – СПб., 1997. (Гл. 14)

3.Мэнкью Н. Г. Макроэкономика. – М.: Изд-во МГУ, 1994. (Гл. 4)

4.Сакс Д., Ларрен Ф.Б. Макроэкономика. Глобальный подход. – М.: Де-

ло, 1999. (Гл. 18)

5.Дорнбуш Р., Фишер С. Макроэкономика. – М.: Изд-во МГУ, 1997. (Гл. 19)

137

Список литературы

1.Агапова Т.А., Серегина С.Ф. Макроэкономика: учебник / Под общ. ред. А.В. Сидоровича. – М.: Дело и сервис, 2001.

2.Баранов А.О. Лекции по макроэкономике. – Новосибирск: Изд-во Сиб. отд-ния РАН, 2007.

3.Баранов А.О., Гильмундинов В.М., Тагаева Т.О. Макроэкономи-

ка I. Планы семинарских занятий. Программа курса. Ч. 1, 2. – Новосибирск: НГУ, 2008.

4.Вечканов Г.С. Макроэкономика. – СПб.: Питер, 2006.

5.Макроэкономика: учебник / В.М. Гальперин, П.И. Гребенников, А.И. Леусский, Л.С. Тарасевич / Под ред. Л.С. Тарасевича. – СПб.: Изд-во Санкт-Петербург. ГУЭФ, 1999.

6.Гребенников П.И. Макроэкономика. Сборник задач и тестов. – СПб.: Эконом. школа, 1995.

7.Долан Э., Линдсей Д. Макроэкономика. – СПб.: Литера плюс,

1994.

8.Дорнбуш Р., Фишер С. Макроэкономика. – М.: Изд-во МГУ, 1997.

9.Ивашковский С.Н. Макроэкономика: учебник. – М.: Дело, 2002.

10.Киселева Е.А. Макроэкономика. – М.: Эксмо, 2005.

11.Макконнелл К.Р., Брю С.Л. Экономикс: принципы, проблемы и политика: Пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 2004.

12.Матвеева Т.Ю. Введение в макроэкономику: учеб. пособие. – М.: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2006.

13.Микро-, макроэкономика. Практикум / Под ред. Ю.А. Огибина. – СПб.: Литера плюс, 1997.

14.Мэнкью Н. Грегори. Макроэкономика. – М.: Изд-во МГУ, 1994.

15.Российский статистический ежегодник: Стат. сб. – М.: ФСГС РФ,

2007.

138

16.Сакс Д., Ларрен Ф.Б. Макроэкономика. Глобальный подход. – М.:

Дело, 1999.

17.Станковская И.К., Стрелец И.А. Экономическая теория для биз- нес-школ: учебник. – М.: Эксмо, 2005.

18.Филатов А. Математическая экономика. Задачи по микро- и мак-

роэкономике. Режим доступа: [http://polnolunie.baikal.ru/me/mat_ec.htm. – 21.11.2008].

19.Фишер C., Дорнбуш Р., Шмалензи Р. Экономика. – М.: Дело, 1993.

20.Экономическая теория. Задачи, логические схемы, методические материалы / Под ред. А.И. Добрынина, Л.С. Тарасевича: учебник. – СПб.: Питер, 1999.

139

Гильмундинов Вадим Манавирович Мельников Владимир Васильевич

МАКРОЭКОНОМИКА

Сборник забач

Редактор Т.П. Петроченко

Выпускающий редактор И.П. Брованова Корректор Л.Н. Киншт

Дизайн обложки А.В. Ладыжская Компьютерная верстка С.И. Ткачева

Подписано в печать 28.04.2009. Формат 60 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 500 экз. Уч.-изд. л. 8,13. Печ. л. 8,75. Изд. № 326. Заказ № . Цена договорная

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета

630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20