Гильмундинов-Мельников

первоначально полученного богатства (1 000 000 руб.), и достигнут максимума на конец трудового периода в размере 5 000 000 руб.

(1 000 000 + 20 50 000 + 20 150 000).

Задача 2. Пусть индивидуум при определении величины текущего потребления руководствуется теорией перманентного дохода. Определите величину его текущего потребления и динамику сбережений в случае, если его первоначальное полученное богатство составляет $150 000, текущий доход составляет $10 000.

Функция перманентного дохода YP = 0,5Y + 0,4Y–1 + 0,1Y–2 . Функция потребления C = 0,1WR + 0,6YP, где Y – годовой доход,

WR – накопленное богатство. Определите:

а) величину его перманентного дохода и уровень потребления, если индивидуум только начал работать;

б) краткосрочную и долгосрочную предельные склонности к потреблению дохода;

в) пусть годовой доход увеличивается с каждым годом на $1000. Какими будут потребление и сбережения в первые три года?

Решение задачи 2

а) Так как индивидуум только начал работать, можем принять размеры его дохода в предыдущие периоды времени (Y0 и Y–1) равными нулю. В таком случае имеем

YP1 = 0,5Y1 + 0,4Y0 + 0,1Y–1 = 0,5 · 10 000 долл. + 0,4 · 0 долл. +

+ 0,1 · 0 долл. = 5000 долл.,

С1 = 0,1WR0 + 0,6YP1 = 0,1 · 150 000 долл. + 0,6 · 5000 долл. =

= 18 000 долл.

Таким образом, благодаря первоначально полученному богатству индивидуум при годовом доходе 10 000 долл. и оценке своих будущих доходов в 5000 долл. в год израсходует на потребление 18 000 долл.

б) Краткосрочная предельная склонность к потреблению показывает, на сколько денежных единиц изменится текущее потребление индивидуума при изменении его текущего дохода на одну денежную

51

единицу, и может быть вычислена как производная функции текущего потребления по текущему доходу:

cкр/ср Сt .

Yt

Долгосрочная предельная склонность к потреблению показывает, на сколько денежных единиц изменится текущее потребление при изменении перманентного дохода на одну денежную единицу. Иными словами, данный показатель отражает, как индивидуум меняет свое потребление, если уверен, что данное изменение текущего дохода носит постоянный характер. Долгосрочную предельную склонность к потреблению можно вычислить следующим образом:

cд/ср Сt .

YPt

Краткосрочная предельная склонность к потреблению всегда меньше долгосрочной, что связано с тем, что индивидуум с осторожностью меняет свое текущее потребление при изменении текущих доходов, так как не уверен, что подобное изменение текущего дохода носит постоянный характер.

Таким образом, в нашей задаче имеем

c

Сt

(0,1WRt 1 0,6YPt )

кр/ср

Yt

Yt

(0,1WRt 1 0,6(0,5Yt

0, 4Yt 1 0,1Yt 2 )

0,3 ,

Yt

c

Сt

(0,1WRt 1 0,6YPt )

0,6 .

д/ср

YPt

YPt

Полученный результат означает, что увеличение текущего дохода индивидуума на один доллар приведет к росту потребления в данном году на 0,3 долл. (сбережений, соответственно, на 0,7 долл.). В случае, если индивидуум воспринимает изменение дохода как постоянное, его текущее потребление увеличится на 0,6 долл. (сбережения на 0,4 долл.).

52

в) Решение данного пункта сведено в следующей таблице.

		Накопленное		Перманентный	Текущее	Текущие
		богатство
			Текущий	доход	потребление	сбережения
	t	на конец
			доход (Yt)	(YPt = 0,5Yt +	(Ct = 0,1WRt–1 +	(St =
		периода
				+ 0,4Yt–1 + 0,1Yt–2)	+ 0,6YPt)	= Yt – Ct)
		(WRt = WRt–1+ St)
	0	150 000	0	н/д	н/д	н/д
	1	142 000	10 000	5000	18 000	–8000
	2	133 100	11 000	9500	19 900	–8900
	3	119 750	12 000	11 400	25 250	–13250

Таким образом, потребление индивидуума будет превышать его текущий доход на протяжении первых трех лет, что достигается за счет интенсивного использования первоначально полученного богатства, которое за первые три года снижается на $30 150 или более чем на

20 %.

Задача 3. Пусть межвременные предпочтения индивидуума относительно потребления описываются следующей функцией полезности:

u(c1,c2 ) c1c2 . Определите, чему будет равен объем потребления в

данном году (с1) и в последующем (с2), если годовая ставка процента составляет 20 %, доход потребителя в текущем году – 15 000 долл., в последующем – 21 000 долл. Предположим, произошло уменьшение годовой ставки процента до 5 %. Как изменится потребление индивидуума в текущем и последующем годах? Почему произойдет такое изменение?

Решение задачи 3

В модели межвременного выбора Фишера индивидуум определяет, каким образом ему оптимально организовать свое потребление с учетом своих предпочтений относительно текущего и будущего потребления. При этом на выбор индивидуума влияют не только размер его накопленных сбережений и величина трудовых доходов, но и процентная ставка, под которую он может либо взять взаймы, если он хочет сильно увеличить свое текущее потребление при отсутствии достаточных для этого средств, либо положить свои сбережения в банк. Согласно модели Фишера оказывается, что ставка процента сильно влияет на величину потребления и сбережений. Рост процентных ставок заставляет сократить индивидуумом свое текущее потребление по

53

причине удорожания кредитных ресурсов для тех, кто вынужден занимать средства в ожидании более высоких доходов, а также по причине увеличения привлекательности сбережений для тех, кто откладывает деньги для расходования их в будущем.

Для начала запишем модель межвременного выбора Фишера в параметрической постановке.

Переменные модели:

yi – величина трудового дохода индивидуума в период i; ci – величина потребления индивидуума в период i;

si – величина сбережений индивидуума на конец периода i; R – процентная ставка по сбережениям (займам);

i – это номер текущего периода времени (i = 1,..., n, где n – число периодов времени).

Приняты следующие ограничения модели. Выбор индивидуума ограничивается так называемыми бюджетными ограничениями, записываемыми для каждого периода времени и имеющими следующий вид:

(1 + R)si–1 + yi = ci + si, i = 1,…, n.

В левой части данного уравнения записана сумма денежных средств, которыми индивидуум располагает в период i, а в правой части – использование данной суммы на потребление и сбережения.

Используя бюджетные ограничения для каждого периода и выразив текущие сбережения через остальные переменные модели, мы можем записать межвременное бюджетное ограничение:

s (1 R) y

y2

y3

...

yn

0

1

1

R

(1 R)2

(1 R)n 1

c1

c2

c3

...

cn

sn

sn

.

1 R

(1 R)2

(1 R)n 1

(1 R)n 1

Приведем критерий оптимальности.

Каждый индивидуум имеет определенные предпочтения относительно того, как распорядиться своими денежными средствами. Для одних более предпочтительно увеличение в первую очередь текущего потребления, а другие – хотели бы накопить некоторую сумму денег, с тем чтобы увеличить свои потребительские расходы в будущем. Данные предпочтения могут быть заданы функцией полезности, получаемой индивидуумом от потребления благ в текущем и будущих перио-

54

дах времени: u(c1, c2,…, cn). Таким образом, критерием оптимальности в данной задаче выступает максимизация функции полезности индивидуума:

u(c1, c2,…, cn) → max.

Для нашего случая, когда рассматривается принятие индивидуумом решений только в рамках двух периодов времени и с учетом отсутствия начальных сбережений и сбережений по окончании второго периода, данная модель может быть представлена более компактно:

u(c1,c2 ) max,
c		c2	y			y2	.
	1	1 R	1	1		R

Давайте теперь используем исходные данные задачи для определения оптимальных объемов потребительских расходов и текущих сбережений. Подставляя их в приведенную систему уравнений, получаем

	u(c1,c2 ) c1c2 max,
			c2			21 000
				15 000
	c1						.
			1 0, 2			1 0, 2

Выражая с1 через с2 из бюджетного ограничения, подставляя его в функцию полезности и дифференцируя по с2, получим оптимальное решение:

с1* = 16 250 долл., с2* = 19 500 долл.

Таким образом, если процентная ставка составляет 20 %, индивидуум при доходе в текущем году в размере 15 000 долл., а в последующем – 21 000 долл. предпочтет в первом году потратить 16 250 долл., а во втором году – 19 500 долл., что означает, что ему придется занять в первом году 1250 долл., которые он должен будет вернуть во втором году.

Рассмотрим, как изменится поведение индивидуума, если процентная ставка снизится до 5 %. В таком случае получаем соотношения модели межвременного выбора:

	u(c1,c2 ) c1c2				max,
			c2			21 000
					15 000
	c1									.
			1 0,05			1			0,05
					55

с1* = 17 500 долл., с2* = 18 375 долл.

Как видим, снижение ставки процента привело к дополнительному росту потребления в первом году вследствие удешевления заимствования. Индивидуум предпочитает при ставке процента 5 % занять уже не 1250 долл., а 2500 долл. в счет своих будущих доходов.

Задача 4. Пусть величина требуемого капитала (K*) определяется уравнением K* = Y / rс в предположении, что коэффициент = 0,3, ВВП (Y) равен 5 трлн руб., издержки использования капитала (rc) составляют 0,15 руб. на единицу капитала, величина капитала на конец предыдущего периода составляет 8 трлн руб. Динамика инвестиций в основной капитал определяется моделью гибкого акселератора: I = (K* – (1 – )K–1), в которой значение коэффициента равно 0,5, а норма выбытия капитала ( ) равна 0,1.

Определите:

а) требуемую величину основного капитала K* на текущий год, а также величину инвестиций в основной капитал и норму инвестирования;

б) при предположении, что объем ВВП (Y) и издержки использования капитала остаются неизменными, динамику инвестиций в основной капитал и норму инвестирования в следующие два года.

Решение задачи 4

а) Величина требуемого капитала – это оптимальный уровень основного капитала, который хотят иметь производители продукции при данных стоимости и эффективности использования факторов производства и объеме выпускаемой продукции. В решаемой задаче величина требуемого капитала определяется довольно простой зависимостью K* = Y / rс, подставляя в которую известные нам данные, получаем,

что K* = 0,3 · 5 / 0,15 = 10 трлн руб.

По ряду причин производители, как правило, не могут нарастить объем капитала до величины требуемого в течение одного года, поэтому динамика инвестиций в основной капитал обычно меньше разницы между величиной требуемого и имеющегося капитала. Наиболее известной моделью, описывающей зависимость между инвестициями в основной капитал и величиной требуемого капитала, является модель гибкого акселератора инвестиций в основной капитал: I = (K* – (1 – )K–1). Подставляя в эту формулу известные нам дан-

56

ные, получим, что величина инвестиций в основной капитал в текущем году равна:

I1 = 0,5(10 – (1 – 0,1)8) = 1,4.

Норма инвестирования – это коэффициент, показывающий долю инвестиций в основной капитал в ВВП. Таким образом, норма инвестирования равняется 1,4 / 5 · 100 % = 28 %.

б) Так как по условию задачи ВВП в рассматриваемый период и издержки использования капитала не меняются, получаем, что величина требуемого капитала также меняться не будет. Таким образом, K* = 10 трлн руб.

Для того чтобы определить уровень инвестиций во второй год, нам необходимо определить величину основного капитала на конец первого года. Для этого воспользуемся следующей формулой: K = I +

+ (1 – )K–1, подставляя в нее найденное значение инвестиций в основной капитал в первом году из пункта а), получим (I1):

K1 = I1 + (1 – )K0 = 1,4 + (1 – 0,1)8 = 8,6 трлн руб.

В таком случае I2 = 0,5(10 – (1 – 0,1)8,6) = 1,13 трлн руб., а норма инвестирования во втором году составляет 1,13 / 5 · 100 % = 22,6 %.

Аналогично можем найти величину инвестиций в основной капитал и норму инвестирования в третьем году:

K2 = I2 + (1 – )K1 = 1,13 + (1 – 0,1)8,6 = 8,87 трлн руб.;

I3 = 0,5(10 – (1 – 0,1)8,87) = 1,0085 трлн руб.,

а норма инвестирования в третьем году составляет 1,13 / 5 · 100 % = = 20,17 %.

Задача 5. Ниже приведены данные о затратах и доходах по инвестиционному проекту (млн руб.).

Показатель	1-й год	2-й год	3-й год	4-й год
Инвестиции	100	150	29	0
Прибыль	0	40	150	200

Будет ли фирма реализовывать этот проект, если:

а) годовая ставка дисконтирования составляет 10 %; б) годовая ставка дисконтирования составляет 25 %?

57

Решение задачи 5

Фирма, рассматривающая возможность реализации инвестиционного проекта, должна сопоставить ожидаемые результаты от его реализации и возможности альтернативного использования финансовых ресурсов (вложения в иные проекты или ценные бумаги). Так как инвестирование средств и получение дохода распределены во времени, а стоимость денег в текущий момент времени и в будущий могут существенно различаться, фирма должна привести все денежные потоки к единому моменту времени. Данная операция называется дисконтированием денежных потоков и основывается на понятии чистой текущей стоимости проекта (NPV), вычисляемой по следующей формуле:

NPV CF		CF2			CF3	...,
1	1		d		(1 d )2

где CFt – величина чистого денежного потока (доходы минус расходы) в году t, а d – ставка дисконтирования. Если чистая текущая стоимость проекта оказывается положительной, то это означает, что реализация данного проекта принесет бо´льшую прибыль, чем альтернативные проекты.

Используя данную формулу, мы можем вычислить чистую текущую стоимость для различных вариантов ставки дисконтирования:

а) NPV 100	40 150			150 29		200	50, 26 .
10%	1	0,1		(1 0,1)2		(1 0,1)3

Таким образом, реализация проекта при ставке дисконтирования в 10 % может быть признана оправданной, так как проект принесет прибыль бо´ льшую, чем альтернативные проекты.

б)	NPV 100	40 150			150 29		200	8,16 .
	25%	1	0, 25		(1 0, 25)2		(1 0, 25)3

Как видим, повышение ставки дисконтирования с 10 до 25 %, что может быть вызвано повышением рисков реализации данного проекта или повышением стоимости привлекаемого капитала, привело к утрате эффективности рассматриваемого проекта, поэтому фирме следует отказаться от его реализации.

58

Литература

1.Баранов А.О. Лекции по макроэкономике. – Новосибирск: Изд-во Сиб. отд-ния РАН, 2007. (Разд. 3, 4)

2.Дорнбуш Р., Фишер С. Макроэкономика. – М.: Изд-во МГУ, 1997.

(Гл. 8, 9)

3. Мэнкью Н. Г. Макроэкономика. – М.: Изд-во МГУ, 1994. (Гл. 10, 15,

17)

4.Сакс Д., Ларрен Ф.Б. Макроэкономика. Глобальный подход. – М.: Де-

ло, 1996. (Гл. 5)

5.Фишер С., Дорнбуш Р., Шмалензи Р. Экономика. – М.: Дело, 1993. (Гл. 17, 25)

59

Раздел 6. Равновесие на товарном рынке.

Анализ без рассмотрения цен (модель «Кейнсианского креста»)

Основные понятия:

теория абсолютного дохода, потребительские расходы, автономное потребление, предельная склонность к потреблению, функция потребления, чистые налоги, сбережения, предельная склонность к сбережению, функция сбережений, автономные инвестиции, дисконтирование, предельная эффективность капитала, индуцированные инвестиции, функция инвестиций, плановые и неплановые инвестиции, кривая фактических расходов, кривая планируемых расходов, инфляционный разрыв, рецессионный разрыв, предельная склонность к импортированию, мультипликатор, подоходные и аккордные налоги, мультипликатор налогов, мультипликатор трансфертов, мультипликатор автономных расходов, мультипликатор инвестиций, парадокс сбережений.

Задания для самостоятельного решения

Тестовые вопросы для самостоятельного решения

1. При изменении реального национального дохода с 500 до 560 млрд д. ед. сбережения выросли на 12 млрд д. ед. Значение мультипликатора потребительских расходов равно:

а) 1,25; б) 0,8; в) 4; г) 5.

2. Если люди не тратят весь свой доход на потребление и помещают неизрасходованную сумму в банк, то можно сказать (используя терминологию национального счета дохода и продукта), что они:

а) сберегают, но не инвестируют; б) инвестируют, но не сберегают; в) не сберегают и не инвестируют; г) и сберегают, и инвестируют;

д) сберегают, но инвестируют часть сбережений, которая используется для покупки ценных бумаг.

60