Красюк сборник заданий

31

32

33

34

35

36

37

2. КИНЕМАТИКА

Несмотря на большое разнообразие механизмов и устройств, для которых решаются задачи кинематики, имеется весьма ограниченное число методов решения этих задач. Все эти методы базируются на ограниченном числе теоретических предпосылок, усвоить которые необходимо до начала решения задач.

Кинематика условно делится на два раздела – кинематику точки, т.е. тела, размерами которого можно пренебречь и положение которого можно определять как положение геометрической точки, и кинематику твердого тела.

2.1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Задача 1

Закон движения точки задан уравнениями

x 5sin	t,	y 5cos	t ,
	4		4

где t даны в секундах, а координаты – в метрах.

Определить вид траектории и для момента времени t = 1 с найти

VX , VY , V , aX , aY , a, a , an , .

Решение.

Для определения траектории возведем в квадрат оба уравнения движения и сложим их:

x2 52 sin2 4 t y2 52 cos2 4 t x2 y2 52 .

Это уравнение окружности радиуса R = 5. При t = 1 c x = 5 · 0,707 ≈

3,5; y = 5 · 0,707 ≈ 3,5.

Найдем скорость точки:

VX x 54 cos 4 t ,

38

	V y				5		sin t ,
	Y			4				4
						5
	V V 2		V 2					4,9 м/с.
		X	Y	4

Изобразим полученные векторы скоростей на рис. 2.1. Найдем ускорение точки векторно-координатным способом:

aX VX			x				5 2					sin		t	,
							16						4
a V		y				5 2									,
										cos				t
Y	Y						16						4
									5 2
a		2	a	2										2
	a	X										м/с .
			Y				16

Изобразим полученные векторы ускорений на рис. 2.2. Найдем ускорение точки в естественных координатах:

a

V 2

52 2

5 2

a

dV

0 ,

n

16 5

16

dt

5 2

a

2

a

2

2

a

м/с .

n

16

X

5

X

Vx

–5

V

–5

Vy	5	Y	5	Y

	–5			–5
Рис. 2.1			Рис. 2.2
			39

Ускорения точки, вычисленные разными способами, совпали. Следовательно, решение верно.

Радиус кривизны определяем по формуле V 2 . Таким образом, an

				25 2
		2
	V					16
											5	м.
	a	n				5	2
						16

Это также подтверждает правильность решения.

2.2.КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО

ИВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Задача 2

На рис. 2.3, а показана схема механизма, состоящего из барабана 1, на который наматывается трос, перекинутый через неподвижные блоки 2 и 3. К неподвижному блоку 3 на тросе подвешен груз А.

Дано: 10 с 1 ,	20 с 2 ,	R 0, 4 м ,	R 0,3 м,	r 0, 2 м .
			3	3

Определить: скорость VЕ и ускорение aЕ точки Е и груза А.

а

б

Рис. 2.3

40