Красюк сборник заданий

Решение.

Груз А вместе с тросом движется поступательно вниз. Определим сначала скорость точки D тела, совершающего вращательное движение. Точка D принадлежит нерастяжимой нити, следовательно, на участке нити МD скорость всех точек нити по модулю одинакова и равна скорости точки М барабана 1, в которой точки троса начинают контактировать с барабаном (точка М нити не может перемещаться относительно точки М барабана). Следовательно,

VD VM .

Скорость точки D определена как VD VM R 10 0, 4 4 м/c , век-

тор скорости направлен вверх. Зная скорость точки D, можно определить угловую скорость блока 3, а следовательно, скорость точки Е.

	VD	, V r	VD	r	4	0, 2 2,7 м/с .
3	R3	E 3 3	R3	3	0,3

Скорость точки Е равна скорости троса и соответственно скорости

груза А: VA = VE.

Ускорение точки Е складывается из нормального и касательного ускорений:

aE (aEn )2 (aE )2 ,

aEn

V 2

2,72

36, 4 м/с2 ,

E

r3

0, 2

V

d

D

r3

d ( R)

d

a

dVE

r

R3

r3

Rr3

Rr3

5,3 м/c2 ,

E

dt

3 3

dt

R3

dt

R3

dt R3

a

E

(36, 4)2 (5,3)2

36,8 м/с2 .

Так как точка А движется прямолинейно, то

aA

dVA

dVE

aE

36, 4 м/с2 .

dt

dt

41

2.3. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Задача 3

На рис. 2.4, а показана схема планетарного механизма, состоящего из неподвижного колеса радиусом R, кривошипа (водила) OA, вращающегося вокруг оси колеса 1, и подвижного колеса 2, шарнирно соединенного с кривошипом OA. При вращении кривошип OA заставляет колесо 2 катиться без скольжения по колесу 1. Определить скорость и ускорение точки М.

Дано:	10	c 1,		OA	2	с 2 ,	R 0,2 м , r 0,1 м .
ОА

а		б

в		г

Рис. 2.4

Решение.

Точка М принадлежит колесу 2. Для определения скорости и ускорения этой точки необходимо найти скорость и ускорение какойнибудь другой точки, которая впоследствии будет принята за полюс

42

колеса 2. В качестве полюса следует принять такую точку, скорость и ускорение которой либо известны, либо их нетрудно найти. В данном случае такой точкой является шарнир А. Точка А принадлежит одновременно двум звеньям механизма: колесу 2 и кривошипу ОА.

Определим скорость и ускорение шарнирной точки А. Известны угловая скорость ОА и ОА , поэтому модуль скорости VA и модуль ускорения aA определяются по формулам

VA OAlOA 10 0,3 3 м/с,

anA OA2 lOA 102 0,3 30 м/с2 , aA OAlOA 2 0,3 0,6 м/с2 ,

где lOA R r 0, 2 0,1 0,3 м.

Вектор скорости точки А направлен перпендикулярно прямой АО в сторону вращения кривошипа ОА, т. е. вверх (рис. 2.4, б). Так как

направление OA совпадает с направлением OA , тангенциальная составляющая ускорения aA совпадает с направлением скорости точки

А, а нормальное ускорение anA направлено от точки А к оси вращения.

Определим угловую скорость 2 колеса 2. Последовательность

рассуждения при выборе метода решения такова: закон движения колеса 2 неизвестен, колесо 2 совершает плоское движение, известно положение мгновенного центра скоростей (точка Р на рис. 2.4, б), который находится в точке контакта колес 1 и 2, так как колесо 2 катится без скольжения по неподвижному колесу 1.

	VA		VA			3	30 с 1.
2	lAP			r 0,1
Определим угловое ускорение 2				колеса 2.

Зависимости 2 t и 2 t неизвестны, однако расстояние от точ-

ки А до мгновенного центра скоростей (точки Р) постоянно и равно r , следовательно, можно найти производную по времени от угловой ско-

43

рости

(тангенциальная составляющая ускорения точки А –

a

най-

2

A

дена ранее):

d

d V

A

1

dV

A

a

0,6

2

2

2

A

6 c .

dt

r

0,1

dt r

dt

r

Определим скорости и ускорения точки М колеса 2. Рассуждения при выборе метода решения производятся в такой последовательности: точка принадлежит телу, входящему в состав механизма, однако угло-

вая скорость 2 этого тела и его ускорение 2 известны (определены

ранее), тело совершает плоское движение, причем известны скорость и ускорение точки А (также определены ранее).

Приняв точку А за полюс, получим

VM VA VMA ,

где VMA 2lMA 30 0,1 3м/с .

Спроектировав уравнение на оси Ox и Oy (рис. 2.4, г), получим

VMx VMA 3 м/c; VMy VA 3 м/c;

V V 2

V 2

32

32 4, 24 м/c .

M

Mx

My

Согласно теореме об ускорении точки при плоском движении

a a n

a a n

a

,

M

A

A

MA

MA

где an

2l

302 0,1 90

м/c2 , a

l

MA

6 0,1 0,6 м/c2 .

MA

2 MA

MA

2

Спроектировав уравнение на оси координат, получим

a

an

a

30 0,6 30,6 м/с2 ,

Mx

A

MA

a

a

an

0,6 90 89, 4 м/с2 ;

My

A

MA

30,6 2

89, 4 2

aM

aMx2

aMy2

94,5 м/с2 .

44

Задача 4

На рис. 2.5 показана кинематическая схема механизма, состоящего из кривошипа AB, вращающегося с заданной угловой скоростью

AB 20 c 1 const , шатуна BC и коромысла СD. Все звенья соедине-

ны между собой и стойкой при помощи плоских шарниров. Требуется определить скорость и ускорение шарнира C в указанном на рис. 2.5 положении механизма. Длины звеньев указаны на рисунке в метрах.

Рис. 2.5

Решение.

Точка C принадлежит коромыслу CD, совершающему вращательное движение. Следовательно, вектор VC направлен перпендикулярно отрезку CD и равен по модулю:

VC CDlCD .

Так как угловая скорость CD неизвестна, то из этой формулы не-

возможно определить модуль вектора VC . С другой стороны, точка C

принадлежит и телу CB, совершающему плоское движение, поэтому, приняв точку B за полюс, можно записать следующее векторное уравнение:

VC VB VCB .							(2.1)
45

Вектор VCB					направлен перпендикулярно прямой BC (рис. 2.5),
а скорость VB					точки B, принадлежащей одновременно вращающемуся

телу AB, направлена перпендикулярно отрезку AB и равна по модулю:

VB ABlAB 20 0,01 0, 2 м/c .

Таким образом, вектор VB известен полностью, а остальные два векто-

ра – только по направлению. Спроектировав уравнение (2.1) на оси Dx и Dy , получим систему алгебраических уравнений:

VC cos 30 VB cos 30 0,
										(2.2)
V		cos 60 V cos 60 V .
	C					B	CB
Из первого уравнения системы (2.2) находим, что модуль искомой
скорости VC VB 0,05 м/c . Направление вектора VC										указано на ри-
сунке верно, так как в результате решения оказалось, что VC 0 .
Для определения угловых скоростей звеньев CD и										BC воспользу-
емся формулой
				VC		0, 2	5 c 1 .
	CD			lCD	0,04

Угловая скорость CD направлена против часовой стрелки (направле-

ние вращения вектора V C вокруг оси D ).

Так как при плоском движении VCB BClBC , то из второго уравнения системы (2.2) находим

VCB VB VC cos 60 0, 2 0, 2 cos 60 0, 2 м/c

BC VCB 0, 2 4 c 1 . lBC 0,05

Угловая скорость BC направлена против часовой стрелки (направление вращения вектора V CB вокруг полюса В).

46

Определение ускорений

Так как точка С принадлежит звену СD, совершающему враща-

тельное движение, то
			a	a n a	,		(2.3)
			C	C C
где an	2 l	52	0,04 1 м/c , а вектор			a	известен только по на-
C	CD CD					C

правлению (рис. 2.6), так как aC CBlCD и CD неизвестно.

Рис. 2.6

Поскольку точка C принадлежит одновременно звену BC, совершающему плоское движение, то

a

a

a n

a

,

(2.4)

C

B

CB

CB

где

an

2 l

42 0,05 0,8 м/c2

и

a

l

CD

(известен только

CB

BC CB

C

CB

по направлению, так как значение CB неизвестно). Из системы уравнений (2.3) и (2.4) получаем

				a n	a a a n		a .		(2.5)
				C C B CB CB
	Поскольку			точка В	принадлежит		вращающемуся телу		АВ и
a		l	0	, так как	AB	const , то	AB	0 .
B		AB AB
						47

В уравнении (2.5) векторы a n ,	a	B	и a n	известны как по моду-
C			CB
лю, так и по направлению, а векторы a			и a	– только по направле-
		C	CB

нию. Спроектировав уравнение (2.5) на оси координат, получим два

уравнения для нахождения модулей векторов a							и a		. Для решения
					C			CB
поставленной задачи достаточно найти только a							,	поэтому, спроекти-
					C
ровав уравнение (2.5) на ось Dx , получим
		an cos 60 a cos 30 a cos 60 an ,
		C	C		B			CB
откуда
a		aCn aB cos 60 aCBn			(1 4)0,5 0,8			1,96 м/c2 .
C			cos 30		cos 30

Теперь в правой части уравнения (2.3) оба вектора известны и по модулю и по направлению. Спроектировав это уравнение на оси координат,

найдем проекции искомого вектора на неподвижные оси Dy и Dx . Спроектировав уравнение (2.5) на ось Dy , можно определить мо-

дуль вектора a , что, в свою очередь, позволяет при необходимости
CB
найти угловое ускорение звена BC , так как
			a				l			,
			CB			CB CB
an cos 30 a					cos 60 a cos 30
c			C							B
1cos 30 1,96cos 60 4cos 30 1,62 м/с2 .
Знак «–» означает, что вектор a									имеет направление, противопо-
						CB
ложное тому, которое показано на рис. 2.6.
Угловое ускорение шатуна СВ равно
			а			1,62
СВ			СВ						32, 4 с 2
			lCB
					0,05

инаправлено по часовой стрелке.

Вполном объеме теоретические основы кинематики изложены в учебниках (см. список литературы).

48

Рис. 2.7

2.3. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

Задача 5

Точка М движется вдоль трубки OD, наклоненной под углом α = 30 к оси Oz, ОМ = 2t2. Трубка OD и ось Ox1 вращаются вокруг оси z с постоянной угловой скоростью = 2 с–1. Требуется определить скорость и ускорение точки M в неподвижной системе координат Оxyz в момент времени t = 1 c. В этом случае движение точки удобно представить как сложное, состоящее из двух простых движений: прямолинейного относительного движения вдоль оси Ox1 и переносного движения, т. е. вращательного движения вместе с трубкой OD.

Абсолютным движением будет движение точки относительно системы координат, принятой в качестве неподвижной (Оxyz).

Относительным движением считаем движение точки относительно подвижной системы координат: движение точки по трубке OD.

Правило. Для определения относительной скорости и ускорения следует мысленно остановить переносное движение, а для определения переносной скорости и ускорения следует мысленно остановить относительное движение.

Относительное движение точки М прямолинейное, поэтому от-

носительная	скорость
Vот x1 4t	, при t = 1c
Vот 4 м/с.	Относительное уско-

рение аот x1 4 м/с. Скорость и ускорение направлены вдоль оси

Ох1.

Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной: вращение трубки OD относительно оси z. Переносная скорость

точки M – это скорость той точки трубки OD, которая совпадает в данный момент с движущейся точкой M. Так как трубка OD совершает вращательное движение, то переносная скорость и переносное ускорение определяют как скорость, так и ускорение точки М вращающегося тела. То есть переносная скорость направлена параллельно оси Ох (или

49

перпендикулярно плоскости	уОz),	Vпер h ,	h OM sin или
V 2t2 sin 30 . При t = 1 c	V 2	м/с.
пер	пер

Поскольку переносная и относительная скорости взаимно перпен-

дикулярны, то Vабс Vот2 Vпер2 .

Переносное ускорение точки М как ускорение точки вращающегося тела раскладывается на два вектора: aпер , который направлен па-

раллельно оси Ох, и аперn , который направлен от точки М к оси вращения Oz.

aпер h 0 , так как угловая скорость постоянная и ε = 0.

aперn 2 h при t = 1 c,	aперn	2		при h 4 м/с2.
								м/с2. Вектор a
Кориолисово ускорение	a	2				V	sin 8
	к		пер			от		к

направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы и Vот , в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение с Vот видно

происходящим против часовой стрелки. Модуль абсолютного ускорения определяется как геометрическая сумма проекций векторов ускорений на координатные оси:

			( aкор )2 aперn	aот sin 2 (aот cos )2
aабс	ax2 a2y az2				8, 4.

2.4. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ПО КИНЕМАТИКЕ

Номер варианта задания определяется преподавателем.

В задаче 1 необходимо по заданным уравнениям движения установить вид траектории движения материальной точки и в заданный момент времени найти положение точки на траектории, определить ее скорость, ускорение (координатным и естественным способами задания движения точки), а также радиус кривизны траектории.

Взадачах 2–4 необходимо найти скорости и ускорения всех точек, указанных на рисунке.

Взадаче 5 необходимо найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение мочки М.

Решение задач оформляется на листах формата А4. Пример оформления титульного листа приведен в конце настоящего пособия.

50