Красюк сборник заданий

Рис. 3.1 (окончание)

81

Исходные данные

Вариант	тА	тВ		тD	тК
			кг			M , Нм	F, Н
1	4	3		1	-	10	40
2	5	4		1	-	15	10
3	6	5		2	-	8	3
4	7	6		2	-	30	10
5	8	7		2	-	10	5
6	9	8		3	-	5	3
7	10	7		2	-	10	5
8	12	10		2	-	8	15
9	14	12		2	-	5	20
10	15	14		1	-	6	25
11	20	18		1	-	8	5
12	25	20		2	-	10	18
13	20	5		2	-	8	5
14	15	20		2	-	5	3
15	25	15		2	-	3	10
16	30	20		2	-	8	5
17	25	18		2	-	10	20
18	30	15		2	-	8	5
19	25	26		2	-	7	15
20	24	30		1	-	6	9
21	10	20		1	15	9	8
22	15	30		1	20	10	15
23	25	38		2	30	12	5
24	30	22		2	35	14	8
25	35	28		1	40	12	6
26	40	30		2	45	10	15
27	35	20		1	40	8	10
28	30	15		1	35	6	12
29	35	20		2	40	8	10
30	30	25		2	50	6	12

Номер варианта задается преподавателем индивидуально.

4. Связав между собой ускорения всех элементов системы кинематически, выразить их через ускорение одного элемента, например груза А. Составить систему уравнений, где неизвестными будут натяжения нитей, ускорение одного из элементов и сила трения колеса В.

82

5.Решая систему уравнений, найти неизвестные значения и ускорения всех элементов системы. После этого перейти к выполнению второго пункта задания.

6.Записать значения кинетической энергии механической системы

для начального и конечного положений.

7.Составить уравнение, содержащее сумму работ всех внешних сил и моментов сил, действующих на элементы системы.

8.Выразить значения кинетической энергии через скорость груза А ,

асумму работ – через расстояние, пройденное тем же грузом.

9.Приравняв изменение кинетической энергии сумме работ внеш-

них сил и моментов сил, найти скорость груза А .

Примечание. Коэффициент трения скольжения, заданный в условиях задачи, относится только к грузу А , скользящему по наклонной плоскости.

3.5. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

Механическая система (рис. 3.2) из неподвижного состояния под действием приложенных сил и моментов сил приводится в движение.

Массы входящих в систему тел равны mA 2 кг , mD 1 кг , mВ 5 кг . На колесо В, катящееся без скольжения, действуют сила F 15 Н под

углом 30 к горизонту и момент	M 30 Н м . Коэффициент трения
качения fк 0,05RB ; RB 0,9 м ;	rB 0, 6 м; RD 0,3 м . Считая ко-

лесо сплошными однородными дисками, определить:

1) ускорение груза А, натяжение нитей, силу трения, обеспечивающую качение колеса В без скольжения. При этом следует воспользоваться дифференциальными уравнениями движения элементов системы;

Рис. 3.2

83

2) скорость груза А после того, как он пройдет расстояние SA 1,5 м . При этом следует воспользоваться теоремой об изменении кинетической энергии механической системы.

Решение.

Предположим, что груз А движется вверх, шкив D вращается по часовой стрелке, а колесо В катится вправо.

Рассматривая движения каждого из элементов системы в отдельности, напишем дифференциальные уравнения движения для каждого из этих элементов. Для груза А, движущегося поступательно (рис. 3.3), дифференциальное уравнение движения имеет вид

mAxA T1 mA g .

(3.1)

Рис. 3.3	Рис. 3.4	Рис. 3.5

Для шкива D , вращающегося вокруг центра О (рис. 3.4), дифференциальное уравнение вращения представим в форме

JD D T2rD T1rD .

(3.2)

Для колеса В (рис. 3.5), движущегося плоскопараллельно без скольжения (что обусловлено наличием силы трения), дифференциальные уравнения движения имеют вид

mВ xС N mB g F sin ,	(3.3)
mВ yС F cos T2 Fтр ,	(3.4)
JС В М Мтр к Т2rB Fтр RB .	(3.5)
84

Из кинематики известно, что связь между ускорениями системы тел можно выразить соотношениями

D

xA

,

B

xA

, y

xARB

.

(3.6)

rD

RB rB

c

RB rB

Так как движение колеса В в направлении оси х отсутствует, примем хС 0 и из соотношения (3.3) получим значение силы нормального давления:

N mB g F sin .

(3.7)

Тогда момент сил трения качения, действующий на колесо В, будет равен

Мтр к fк N fк (mB g F sin ) .

(3.8)

С учетом соотношений (3.6) и (3.8) дифференциальные уравнения движения всех элементов системы (3.1), (3.2), (3.4) и (3.5) принимают вид

mA xA T1 mA g,
JO xA	T2 T1 rD ,
rD
								(3.9)
mB xARB				F cos T	F	,
RB rB			2		тр
JC xA
			M fК (mB g F sin ) T2rB Fтр RB .
RB rB

Систему уравнений (3.9) можно решить относительно неизвестных

параметров xA , T1, T2 и Fтр . Из первого уравнения получим
T1 mAxA mAg.	(3.10)

Из второго уравнения системы (3.9) с учетом равенства (3.10) находим

T		JO xA	m	A	x	A	m	A	g.	(3.11)
2		r 2
		D
		85

Из третьего уравнения системы (3.9) с учетом соотношения (3.11) определим значение силы трения:

F

mB xARB

F cos

JO xA

m

A

x

A

m

A

g .

(3.12)

тр

R

r

r 2

B

B

D

Подставив значение силы трения из уравнения (3.12) и натяжение нити из соотношения (3.11) в четвертое уравнение системы (3.9), полу-

чим уравнение с одним неизвестным относительно xA :

xA

M fR (mB g F sin ) mA g(RB rB ) F cos RB

J

C

J

O

m R2

(R

r ) m

A

(R r )

B B

R r

r

2

B

B

B

B

R

r

B

B

D

B

B

30 0,05 0,9(5 9,81 15 0,5)

5 0,92

1 0,32 (0,9 0,6)

2(0,9 0,6)

2 0,32

2 9,8(0,9 0,6) 15 0,866 0,9

1,3

м/с2 .

(3.13)

2(0,9 0,6)

5 0,92

0,9

0,6

С учетом полученного результата из соотношений (3.10)–(3.12) определим значения усилий натяжения нитей и силы трения:

T1 mAxA mAg 2 1,3 2 9,8 22,3 H,

(3.14)

T

JO xA

m

A

x

A

m

A

g

1 0,32

1,3 2 1,3 2 9,8 22,94 Н,

(3.15)

2

r

2

2 0,32

D

F

mB xARB

F cos

JO xA

m

A

x

A

m

A

g

5 1,3 0,9

TP

R

r

r

2

0,9 0,6

B

B

D

15 0,866

1 0,32 1,3

2 1,3 2 9,8 13,9 Н.

(3.16)

2 0,32

86

Чтобы колесо В катилось без скольжения, коэффициент трения скольжения должен быть не менее величины

		f	FTP		13,9				0,3.	(3.17)
					5 9,8 15,1
			N
Таким образом, в результате расчетов получено
х	A	1,3 м/с2 , Т	22,3 Н, Т			2	22,9 Н,			F 13,9 H .
		1								тр

Для выполнения второго пункта задания необходимо воспользоваться теоремой об изменении кинетической энергии системы:

		T T		A(е) ,		(3.18)
		O
где ТO –	кинетическая энергия в начальный момент времени, когда
система	находилась	в покое			и, следовательно,	ТО 0 ;
Т Т А ТВ ТD – значение кинетической энергии системы в конечный
момент	времени, когда	груз	A		пройдет расстояние	SA 1,5 м ,

А(е) АА АD АВ – работа внешних сил и моментов, действующих

на механическую систему.

Кинетическая энергия элементов системы равна: для груза А , движущегося поступательно,

		m V 2
	Т А	A A	;	(3.19)
		2

для шкива D , движущегося вращательно,

	ТD	JO 2D	;	(3.20)
		2

для колеса B , движущегося плоскопараллельно,

ТB	mBVC2			JC 2B	.	(3.21)
2				2
87

Кинематическая связь скоростей и частот вращения элементов системы между собой может быть выражена соотношениями

D

VA

,

B

VA

, V

R

VARB

.

(3.22)

rD

RB rB

C

R

B

RB rB

Тогда с учетом соотношений (3.19)–(3.22) полная кинетическая энергия системы будет равна

								m V 2					J		2						m V 2					J		2
				Т А					A A					O		D						B C					C B
									2					2								2						2
		V 2								m r2						m R2										m R2
				A		mA				D D								B B										B B
			2						2													2									2
														(RB				rB )						2 RB rB
										2rD
	VA2						1			5 0,92												5 0,92							2				2
					2																									2,6VA .				(3.23)
																2												2
	2						2			(0,9 0,6)										2(0,9 0,6)

Полагая, что груз А движется вверх, а колесо В вправо, вычислим работу внешних сил и моментов.

Для груза А работа равна

AA mAgSA .	(3.24)
Для шкива D работа равна нулю
AD 0 .	(3.25)
Для колеса В
AB M B Мтр к В SC F cos .	(3.26)

Кинематическую связь между перемещениями элементов системы можно выразить соотношениями

S	SARB	,		B		SA	.	(3.27)
C	RB rB					RB rB

88

Работа внешних сил и моментов, действующих на систему, с учетом равенств (3.24)–(3.27) равна

AA mA gSA (M B Мтр к В ) B SC F cos

		mA g		M fK RB (mB g F sin )			F cos		RB
	SA
				RB rB				RB
										rB
	2 9,81		30 0, 05 0,9(5 9,8 15 0,5)				15 0,866			0,9
1,5
				0,9 0, 6					0,9 0, 6
				10, 4	Н м .											(3.28)

Приравняв изменение кинетической энергии сумме работ внешних сил и моментов, получим значение скорости груза А в момент времени,

когда он пройдет путь SA 1,5 м :

	2,6VA2 10, 4 VA	10, 4		2,0 м/с.	(3.29)
		2,6

Таким образом, в результате расчетов получим

Т1 22,3 Н, Т2 22,9 Н,

хА 1,3 м/с,

VA 2,0 м/с.

3.6. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫПОЛНЕННЫХ РАСЧЕТОВ

После выполнения данного задания следует проанализировать полученные результаты. Для этого необходимо узнать, в какую сторону и как движется механическая система. Следует объяснить такие возможные случаи, как, например, отрицательное значение некоторых результатов расчетов. Кроме того, необходимо сопоставить между собой результаты расчетов, выполненных различными способами. Допустимое расхождение результатов должно быть не более 2 %.

89

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: учеб. для втузов / С.М. Тарг.– 19-е изд. – М.: Высш. шк., 2009. – 416 с.

2.Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: учеб. пособие для техн. вузов / А.А. Яблонский, С.С. Норейко,

С.А. Вольфсон; под ред. А.А. Яблонского. – 16-е изд. – М.: Высш. шк., 2008. –

384с..

3.Мещерский И.В. Задачи по теоретической механике: учеб. пособие для

студ. высш. учеб. заведений / И.В. Мещерский. – 49-е изд. – М.: Лань, 2008. –

448с.

4.Бать М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах: В 3-х т.:

учеб. пособие для втузов / М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон . – 8-е изд., перераб. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.

90