Метод простой итерации
3.2.1 Условия применимости метода простой итерации
|
Рассмотрим систему из 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:
Условие сходимости:
3.2.2 Обоснование и вывод формул |
|
При большом числе неизвестных линейной системы схема метода Гаусса, дающая точное решение, становится весьма сложной. В этих условиях для нахождения корней системы иногда удобнее пользоваться приближенными численными методами. Изложим здесь один из этих методов — метод итерации. [1]c.294-296
Пусть дана линейная система
Введя в рассмотрение матрицы
систему (1) коротко можно записать в виде матричного уравнения Ах = b. (1')
Предполагая, что диагональные коэффициенты
aij≠ 0 (i=1, 2,….,n),
разрешим первое уравнение системы (1) относительно x1, второе — относительно х2и т. д.
Тогда
получим эквивалентную систему
,
где
при
и
приi=j(i,j=1,2,….,n).
Введя матрицы
и
.
систему (2) можем записать в матричной форме
|
x=β+ax |
(2') |
Систему (2) будем решать методом последовательных приближений. За нулевое приближение принимаем, например, столбец свободных членов
х(0)= β
Далее, последовательно строим матрицы-столбцы
Вообще говоря, любое (k+1)-е приближение вычисляют по формуле
|
x(k+1)= β +ax(k) |
(k= 0, 1, 2, ...) |
(3) |
|
|
|
|
Если последовательность приближений x(0),x(1),….,x(k),…. имеет пределx=limk->∞x(k),
то этот предел является решением системы (2). В самом деле, переходя к пределу в равенстве (3), будем иметь:
или
т. е. предельный вектор х является решением системы (2'), а следовательно, и системы (1).
Напишем формулы приближений в развернутом виде:
Заметим, что иногда выгоднее приводить систему (1) к виду (2) так, чтобы коэффициенты аijне были равны нулю. Например, уравнение
для применения метода последовательных приближений естественно записать в виде
x1= 2,7 — 0,02x1+ 0,15x2.
Вообще, имея систему
(k= 1, 2, ... ,n),
можно положить:
где
Тогда данная система эквивалентна
приведенной системе
(i=1,2,…,n),
где
при
Поэтому при дальнейших рассуждениях
мы не будем, вообще говоря, предполагать,
что
.
Метод последовательных приближений, определяемых формулой (3) или (3'), носит название метода итерации. Процесс итерации (3) хорошо сходится, т. е. число приближений, необходимых для получения корней системы (1) с заданной точностью, невелико, если элементы матрицы а малы по абсолютной величине. Иными словами, для успешного применения процесса итерации модули диагональных коэффициентов системы (1) должны быть велики по сравнению с модулями недиагональных коэффициентов этой системы (свободные члены при этом роли не играют).
3.2.3 Алгоритм метода простой итерации
Проверяем условие сходимости метода.
|aij|
>
ij
2. Приводим систему уравнений к нормальному виду: выражаемx1, x2, ….,xn.
3. Организуем итерационный процесс.
4. Задаем начальное приближение.
5. Проверяем точность найденного решения:
,где
задаваемая
точность, если она не задана, значит,
инженерная точность.
Начало
xn+1=ln(xn)
+ 1,8
-
|f‘(x)|
< 1
‘Не удовлетворяет
условию сходимости’
xn:=xn+1
+
xn+1
Конец
Рисунок 2.1 Блок-схема метода итераций