3.3.4 Алгоритм метода Зейделя

1. Проверяем условие сходимости метода.

|a_ij| >_ij

2. Приводим систему уравнений к нормальному виду: выражаемx_1, x_2, …._,x_n.

3. Организуем итерационный процесс.

4. Задаем начальное приближение.

5. Проверяем точность найденного решения:

,гдезадаваемая точность, если она не задана, значит,инженерная точность.

4. Метод Крамера

3.4.1 Условия применимости метода Крамера

Справедливо следующее утверждение (формулы Крамера).^[1]c.268-269

Если определительD=det A матрицы системы Ax=b отличен от нуля, то система имеет единственное решение x₁, x₂, ..., x_n, определяемое формулами Крамера

x_i=D_i/ D, i=1,2, ..., n,

где D_i - определитель матрицы n -го порядка, полученной из матрицы A системы заменой i -го столбца столбцом правых частей b.

Дана СЛАУ ⁵

Находим определитель СЛАУ. По формуле заменим i-ый столбец матрицы на столбец свободных членов

где i-номер строки,j-номер столбца

Аналогично находим определители для i=1,…,n.И по формуле найдём решения СЛАУ

5. Метод главных элементов

3.5.1 Условия применимости метода главных элементов.

Необходимое условие применения метода главных элементов: определитель системы не равен нулю.

3.5.2 Обоснование и вывод формул

Пусть дана линейная система^[1]c.281-283

Рассмотрим расширенную прямоугольную матрицу, состоящую из коэффициентов системы и ее свободных членов,

M=

Выберем ненулевой, как правило, наибольший по модулю, не принадлежащий к столбцу свободных членов (q≠n+1) элемент a_pq матрицы М, который называется главным элементом, и вычислим множители

,

для всех i≠p.

Строка с номером р матрицы М, содержащая главный элемент, называется главной строкой. Далее, произведем следующую операцию: к каждой неглавной строке прибавим главную строку, умноженную на соответствующий множитель m_iдля этой строки. В результате мы получим новую матрицу, у которой q-й столбец состоит из нулей. Отбрасывая этот столбец и главную р-ю строку, получим новую матрицу с меньшим на единицу числом строк и столбцов. Над этой матрицей повторяем те же операции, после чего получаем новую матрицу и т. д. Таким образом, мы построим последовательность матриц, последняя из которых представляет двучленную матрицу-строку; ее также считаем главной строкой. Для определения неизвестных хг объединяем в систему все главные строки. После надлежащего изменения нумерации неизвестных получается система с треугольной матрицей, из которой легко шаг за шагом найти неизвестные данной системы.

Заметим, что метод Гаусса является частным случаем, метода главных элементов, а схема метода Гаусса получается, если за главный элемент всегда выбирать левый верхний элемент соответствующей матрицы. Запрограммировать метод главных элементов непросто, поэтому чтобы уменьшить вычислительную погрешность, применяют метод Гаусса с выбором главного элемента.

6. Метод квадратных корней

3.6.1 Обоснование и вывод формул

Пусть дана линейная система^[1]c.283-284Ax=B,

где А = [а_ij] — симметрическая матрица, т.е.A' = [a_ji] =A. Тогда матрицу А можно представить в виде произведения двух транспонированных между собой треугольных матриц

A=T’T,

где

и.

Производя перемножение матриц T’ и Т, для определения элементов t_ijматрицы Т получим следующие уравнения:

Отсюда последовательно находим