Для интервальных рядов с равными интервалами расчёт средней можно производить по упрощенной формуле, используя способ «моментов», т.е.

х

ар = m1i + A ;

(2.6)

m1 = ∑∑x1ff ,

где m1 – момент 1-го порядка;

А – свободное число, вместо которого принимают значение варианты, имеющей наибольшую частоту;

х1 – новые значения вариант, определяемые по выражению

х1 = х−i А.

Расчет средней арифметической по способу моментов иллюстрируется данными табл. 2.4.

Таблица 2.4

Распределение малых предприятий региона по стоимости основных производственных фондов (ОПФ) в 2000 г.

Группы предприятий	Число	Середины	x1	=		x − A		х1 f
по стоимости ОПФ, тыс. руб.	предприятий, f	интервалов, x				i
14–16	2	15			–2			–4
16–18	6	17			–1			–6
18–20	10	19			0			0
20–22	4	21			1			4
22–24	3	22			2			6
Итого	25	―			―			0

Находим момент первого порядка

m1 = ∑∑x1ff = 250 = 0 .

Затем, принимая А = 19 и зная, что i =2, вычисляем хар , тыс. руб.

хар = m1i + A = 0 . 2 + 19=19.

21

2.4.3. Средняя гармоническая

Когда статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам х совокупности, а представлена как их произведение xf, применяется формула средней гармонической взвешенной. Чтобы исчислить среднюю, обозначим х f = w, откуда f = w / х. Теперь преобразуем формулу средней арифметической таким образом, чтобы по имеющимся данным х и w можно было исчислить среднюю. В формулу средней арифметической взвешенной (2.2) вместо хf подставим w, вместо f – отношение w / х и получим формулу средней гармонической взвешенной:

x

=

∑w

=

w1 + w2 +... + wn

гар

w

w

+

w

+... +

w

.

(2.7)

∑

x

1

2

n

x

x

x

2

n

1

Из формулы (2.7) видно, что средняя гармоническая – средняя взвешенная из варьирующих обратных значений признака. Она является преобразованной формулой арифметической средней и тождественна ей. Вместо гармонической, всегда можно рассчитать среднюю арифметическую, но для этого сначала нужно определить веса отдельных значений признака, скрытые в весах средней гармонической.

Таким образом, средняя гармоническая применяется тогда, когда неизвестны действительные веса f, а известно w = х f, т.е. в тех случаях, когда средняя предназначается для расчета сумм слагаемых, обратно пропорциональных величине данного признака, когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные им величины:

1 , 1 ,... 1 . x1 x2 xn

Например, по данным (табл. 2.5) требуется определить среднюю цену 1 кг картофеля.

Таблица 2.5

Цена и выручка от реализации по трем коммерческим магазинам в октябре 2000 г.

	Цена картофеля х,	Выручка	Частота (количество
			реализованных единиц)
Номер магазина		от реализации x,
	руб. / кг	руб.	f=w/x, кг
			300
1–й	8	2400
2–й	10	1500	150
3–й	9	1800	200
			650
Итого	–	5700

22

Расчет средней цены производится следующим образом:

Выручка от реализации, руб Средняя цена, руб. = Количество реализованных единиц, кг

Определяющим показателем здесь является числитель этой логической формулы. Выручка от реализации w известна (числитель), а количество реализованных единиц – неизвестно, но может быть найдено как частное от деления одного показателя на другой, для чего нужно отдельно по каждому магазину разделить выручку на цену.

Тогда средняя цена 1 кг картофеля, руб. по трем коммерческим магазинам может быть исчислена по формуле (2.7) средней гармонической взвешенной:

x

=

∑w

=

2400 +1500

+1800

=

5700

= 8,76.

гар

w

2400

1500

1800

∑

+

+

650

x

8

10

9

Этот же результат получится и по средней арифметической взвешенной, если в качестве весов принять количество проданных единиц (которые необходимо предварительно рассчитать), руб.:

x		=	8 300 +10 150 + 9 200	=	5700	= 8,76.
	гар
		300 +150 + 200		650

Полученная средняя цена 1 кг картофеля является реальной величиной, ее произведение на все количество проданного картофеля дает общий объем реализации, выступающий в качестве определяющего показателя (5700 руб.).

Исчисление средней гармонической взвешенной по формуле (2.7) освобождает от необходимости предварительного расчета весов, поскольку эта операция заложена в саму формулу.

В тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице (индивидуальные значения обратного признака встречаются по одному разу), применяется средняя гармоническая простая, исчисляемая по формуле:

xгар =

1 +1 +... +1

=

n

,

(2.8)

1

+

1

+

1

∑

1

x1

x2

xn

x

где 1x – отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по одному разу; n – число вариантов.

23

2.4.4. Средняя геометрическая

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня, степени n из произведений отдельных значений – вариантов признака х:

x	= n x x	2	...x	n	= n ∏ x	,	(2.9)
Г	1				i

где n – число вариантов; П – знак произведения; i= 1,2,....n.

Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

2.4.5. Структурные средние

Структурные средние применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана.

Мода (Мо) – значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью, в дискретном вариационном ряду – варианта, имеющая наибольшую частоту.

Например, в табл. 2.1 наибольшей частотой является число 5. Этой частоте соответствует модальное значение признака, т.е. выработка деталей за смену. Мода свидетельствует, что в данном примере чаще всего встречаются рабочие, изготавливающие за смену 20 деталей.

В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода вычисляется по формуле

fMo − fMo−1
Mо = XMo +iMo (fMo − fMo−1 )+(fMo − fMo+1 ),	(2.10)

где XМо – нижняя граница модального интервала; iМо – величина модального интервала;

fMo, fMo–1, fMo+1 – частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалах (соответственно).

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте. По данным табл. 2.4 рассчитаем моду, тыс. руб.:

Mo =18 +2	10 −6
		=18,33.
	(10 −6)+(10 −4)

24

Итак, модальным значением стоимости ОПФ малых предприятий региона является стоимость, равная 18,33 тыс. руб.

Мода широко используется в статистической практике при изучении покупательского спроса, регистрации цен и т.п.

Медиана (Ме) – это варианта, которая находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Чтобы найти медиану, необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда. В ранжированных рядах несгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы.

Пусть ряд состоит из показателей заработной платы 9 рабочих (руб. в ме-

сяц ) в 2000 г.:

2630, 2650, 2680, 2690, 2700, 2710, 2720, 2730, 2750.

Номер медианы для нечетного объема вычисляется по формуле

= n +1

NМе 2 ,

где n – число членов ряда.

Внашем примере номер медианы равен 5, медиана равна 2700 руб. (т.е. одна половина рабочих получила зарплату менее 2700 руб., а другая – более 2700 руб. в месяц).

Вслучае четного объема ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.

Винтервальных рядах распределения медианное значение (поскольку оно делит всю совокупность на две равные по численности части) оказывается в каком-то из интервалов признака х. Этот интервал характерен тем, что его кумулятивная частота (накопленная сумма частот) равна или превышает полусумму всех частот ряда. Значение медианы вычисляется линейной интерполяцией по формуле

	∑f	−SMe−1
Me = X Me +iMe	2
			,	(2.11)
		fMe

где XMe – нижняя граница медианного интервала;

	iMe – величина медианного интервала;
	∑ f	– половина от общего числа наблюдений;
	2

SMe–1 – сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала; fMe – число наблюдений в медианном интервале.

25

Формула (2.11) получена исходя из допущения о равномерности нарастания накоплений частоты внутри интервала и пригодна для любого интервального ряда.

Рассчитаем медиану по данным табл. 2.4. Прежде всего найдем медианный интервал. Таким интервалом очевидно будет интервал стоимости ОПФ малых предприятий (18–20 тыс. руб.), поскольку его кумулятивная частота равна 18 (2+6+10), что превышает половину суммы всех частот (25:2 = 12,5). Нижняя граница интервала 18 млн руб., его частота 10; частота, накопленная до него, равна 8.

Подставив данные в формулу (2.11), получим, тыс. руб.:

		25	−8
Me =18 +2		2		=18,9.
		10

Полученный результат говорит о том, что из 25 малых предприятий региона 12 предприятий имеют стоимость ОПФ менее 18,9 тыс. руб., а 12 предприятий – более этой величины.

3.ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ И СПОСОБЫ ИХ РАСЧЕТА

3.1ПОНЯТИЕ И ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

Вариация – это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. Например, работники фирмы различаются по доходам, затратам времени на

работу, росту, весу, любимому занятию в свободное время и т.д. Исследование вариации в статистике имеет большое значение, помогает

познать сущность изучаемого явления. Особенно актуально оно в период формирования многоукладной экономики. Измерение вариации, выяснение ее причины, выявление влияния отдельных факторов дает важную информацию (например, о продолжительности жизни людей, доходах и расходах населения, финансовом положении предприятия и т.п.) для принятия научнообоснованных управленческих решений.

Средняя величина дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но она не раскрывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя не показывает, как располагаются около нее варианты осредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее.

Вот почему ограничиваться вычислением одной средней в ряде случаев нельзя. Нужны и другие показатели, характеризующие отклонения отдельных значений от общей средней.

26

Это можно показать на таком примере. Предположим, что одинаковую работу выполняют две бригады, каждая – из трех человек. Пусть количество деталей, шт., изготовленных за смену отдельными рабочими, составляло:

-в первой бригаде – 95, 100, 105 ( x1 = 100 шт.);

-во второй бригаде – 75, 100, 125 ( x2 =100 шт.).

Средняя выработка на одного рабочего в обеих бригадах одинакова и составляет x1 = x2 =100 шт., однако колеблемость выработки отдельных рабочих в первой бригаде значительно меньше, чем во второй. Поэтому возникает необходимость измерять вариацию признака в совокупностях. Для этой цели в статистике применяют ряд обобщающих показателей.

К показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Самым элементарным показателем вариации признака является размах вариации (R), представляющий собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности:

R= xmax – xmin .

Внашем примере размах вариации сменной выработки деталей составля-

ет: в первой бригаде – R1 = 10 шт. (т.е. 105 – 95); во второй бригаде – R2= 50 шт. (т.е. 125 – 75), что а 5 раз больше.

Это свидетельствует о том, что при численном равенстве средняя выработка первой бригады более «устойчива». Размах вариации может служить базой расчета возможных резервов роста выработки. Таких резервов больше у второй бригады, поскольку в случае достижения всеми рабочими максимальной для этой бригады выработки деталей, ею может быть изготовлено 375 шт.,

т.е. (3·125), а в первой только 315 шт., т.е. (3·105).

Однако размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонений всех вариантов в ряду. Колебания варьирующего признака и их обобщенную характеристику дает среднее линейное отклонение.

Среднее линейное отклонение ( Л ) представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической.

Среднее линейное отклонение рассчитывается по формулам: а) для несгруппированных данных:

		∑		x	−
	=					x			,	(3.1)
Л				n

где n – число членов ряда;

27

б) для сгруппированных данных:

Л =	∑x − x f	,	(3.2)
	∑ f

где ∑ f – сумма частот вариационного ряда.

В формулах (3.1) и (3.2) разности в числителе взяты по модулю (иначе в числителе всегда будет ноль – «О» – алгебраическая сумма отклонений вариантов от их средней арифметической). Поэтому среднее линейное отклонение как меру вариации признака применяют в статистической практике редко (только в тех случаях, когда суммирование показателей без учета знаков имеет экономический смысл). С его помощью, например, анализируется состав работающих, ритмичность производства, оборот внешней торговли.

3.2 ДИСПЕРСИЯ И СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ. КОЭФФИЦИЕНТ ВАРИАЦИИ

Дисперсия (σ2) признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, она вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий (в зависимости от исходных данных):

а) простая дисперсия для несгруппированных данных:

σ2 = ∑(x − x)2 ; n

б) взвешенная дисперсия для вариационного ряда:

		∑(x −		)2 f
2	=		x		.
σ		∑f

(3.3)

(3.4)

Формула (3.4) применяется при наличии у вариантов своих весов (или частот вариационного ряда).

Формулу для расчета дисперсии (3.3) можно преобразовать, учитывая, что

∑x = nx :

∑(x −

)2

∑(x2 −2x

+

2 )

∑x2

−2∑x

+∑

2

2

=

x

x

x

=

x

x

σ

n

=

n

n

=

∑x2 −2

∑x +n

2

∑x2

x

x

2

2

2

2

=

=

−2x

− x

n

n

+ x

= x

или

2

=

∑x2

f

∑xf 2

(3.5)

σ

∑ f

−

.

∑ f

28

Таким образом, дисперсия равна разности средней из квадратов вариантов и квадрата их средней.

Техника вычисления дисперсии по формулам (3.3), (3.4) достаточно сложна, а при больших значениях вариантов и частот может быть громоздкой. Расчет можно упростить, используя свойства дисперсии (доказываемые в математической статистике).

Приведем два из них: первое – если все значения признака уменьшить или увеличить на одну и ту же постоянную величину А, то дисперсия от этого не изменится; второе – если все значения признака уменьшить или увеличить в одно и то же число раз (i раз), то дисперсия соответственно уменьшится или увеличится в i2 раз.

Используя второе свойство дисперсии, разделив все варианты на величину интервала, получим следующую формулу вычисления дисперсии в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов:

σ 2 =i2 (m

2

−m2 =i2 ∑x12 f

− ∑x1 f

2

,

(3.6)

1

∑f

∑f

где σ2 – дисперсия, исчисленная по способу моментов;

i – величина интервала;

m

=

∑x12

f

– момент второго порядка;

2

∑ f

m

2

= (

∑x1

f )2 – квадрат момента первого порядка.

1

∑ f

Расчет дисперсии по формуле (3.6) менее трудоемок.

Среднее квадратическое отклонение (σ) равно корню квадратному из дисперсии:

а) для несгруппированных данных

σ =

б) для вариационного ряда

σ =

∑(x − x)2 ; n

∑(x − x)2 f .

∑f

(3.7)

(3.8)

Среднее квадратическое отклонение (σ) – это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения.

В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариаций различных признаков, например, вариаций возраста рабочих и их ква-

29

лификации, стажа работы и размера заработной платы, себестоимости и прибыли, стажа работы и производительности труда и т.д. Для подобных сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков непригодны: нельзя сравнивать колеблемость стажа работы, выраженного в годах, с вариацией заработной платы, выраженной в рублях.

Для осуществления такого рода сравнений, а также сравнений колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различным средним арифметическим используют относительный показатель вариации – коэффициент вариации. Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

	v =	σ		100.	(3.9)
		х

Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации единиц совокупности, но и как характеристику однородности совокупности. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %.

Коэффициент вариации является также критерием типичности средней.

4.ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ

4.1.ПОНЯТИЕ О ВЫБОРОЧНОМ НАБЛЮДЕНИИ. ВИДЫ, МЕТОДЫ И СПОСОБЫ ФОРМИРОВАНИЯ ВЫБОРОЧНОЙ СОВОКУПНОСТИ

Статистическая методология исследования массовых явлений различает, как известно, два способа наблюдения в зависимости от полноты охвата объекта: сплошное и несплошное. Разновидностью несплошного наблюдения является выборочное.

Под выборочным наблюдением понимается такое несплошное наблюдение, при котором статистическому обследованию (наблюдению) подвергаются единицы изучаемой совокупности, отобранные случайным способом. Выборочное наблюдение ставит перед собой задачу – по обследуемой части дать характеристику всей совокупности единиц при условии соблюдения всех правил и принципов проведения статистического наблюдения и научно организованной работы по отбору единиц.

Совокупность отобранных для обследования единиц в статистике принято называть выборочной, а совокупность единиц, из которой производится отбор, – генеральной.

В процессе проведения выборочного наблюдения, как и вообще при анализе данных любого обследования, статистика выделяет два вида ошибок: регистрации и репрезентативности. Ошибки регистрации могут иметь случай-

30

ный (непреднамеренный) или систематический (тенденциозный) характер. Их можно избежать при правильной организации и проведении наблюдения. Ошибки репрезентативности органически присущи выборочному наблюдению и возникают в силу того, что выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную.

Избежать ошибок репрезентативности нельзя, однако, пользуясь методами теории вероятностей, основанными на использовании предельных теорем закона больших чисел, эти ошибки можно свести к минимальным значениям.

Для каждого конкретного выборочного наблюдения значение ошибки репрезентативности может быть определено по соответствующим формулам, которые зависят от вида, метода и способа формирования выборочной совокупности.

По виду различают индивидуальный, групповой и комбинированный отборы. При индивидуальном отборе в выборочную совокупность отбираются отдельные единицы генеральной совокупности; при групповом отборе – качественно однородные группы или серии изучаемых единиц; комбинированный отбор предполагает сочетание первого и второго видов.

По методу отбора различают повторную и бесповторную выборки.

При повторной выборке общая численность единиц генеральной совокупности в процессе выборки остается неизменной. Ту или иную единицу, попавшую в выборку, после регистрации снова возвращают в генеральную совокупность, и она сохраняет равную возможность со всеми прочими единицами при повторном отборе единиц вновь попасть в выборку («отбор по схеме возвращенного шара»). Повторная выборка в социально – экономической жизни встречается редко. Обычно выборку организуют по схеме бесповторной выборки.

При бесповторной выборке единица совокупности, попавшая в выборку, в генеральную совокупность не возвращается и в дальнейшем в выборке не участвует, т.е. последующую выборку делают из генеральной совокупности уже без отобранных ранее единиц («отбор по схеме невозвращенного шара»). Таким образом, при бесповторной выборке численность единиц генеральной совокупности сокращается в процессе исследования.

Способом отбора определяется конкретный механизм или процедура выборки единиц из генеральной совокупности.

По степени охвата единиц совокупности различают большие и малые (n<30) выборки.

В практике выборочных исследований наибольшее распространение получили следующие виды выборки: собственнослучайная, механическая, типическая, серийная, комбинированная.

К собственнослучайной выборке относится отбор единиц из всей генеральной совокупности (без предварительного расчленения ее ни какие-либо группы) посредством жеребьевки (преимущественно) или какого-либо иного подобного способа, например, с помощью таблицы случайных чисел. Случайный отбор – это отбор не беспорядочный. Принцип случайности предполагает, что на включение или исключение объекта из выборки не может повлиять

31

какой-либо фактор, кроме случая. Примером собственнослучайного отбора могут служить тиражи выигрышей: из общего количества выпущенных билетов наугад отбирается определенная часть номеров, на которые приходятся выигрыши. Причем всем номерам обеспечивается равная возможность попадания в выборку. При этом количество отобранных в выборочную совокупность единиц обычно определяется исходя из принятой доли выборки.

Так при 5 %-ной выборке из партии деталей в 1000 ед. объем выборки n составляет 50 ед., а при 10%-ной выборке – 100 ед. и т.д. При правильной научной организации выборки ошибки репрезентативности можно свести к минимальным значениям, в результате – выборочное наблюдение становится достаточно точным.

Собственнослучайный отбор «в чистом виде» применяется в практике выборочного наблюдения редко, но он является исходным среди всех других видов отбора, в нем заключаются и реализуются основные принципы выборочного наблюдения.

Механическая выборка состоит в том, что отбор единиц в выборочную совокупность из генеральной, разбитой по нейтральному признаку на равные интервалы (группы), производится таким образом, что из каждой такой группы в выборку отбирается лишь одна единица. Чтобы избежать систематической ошибки, отбираться должна единица, которая находится в середине каждой группы.

При организации механического отбора единицы совокупности предварительно располагают (обычно в списке) в определенном порядке (например, по алфавиту, местоположению, в порядке возрастания или убывания значений какого-либо показателя, не связанного с изучаемым свойством, и т.д.), после чего отбирают заданное число единиц механически, через определенный интервал. При этом размер интервала в генеральной совокупности равен обратному значению доли выборки. Так, при 2%-ной выборке отбирается и проверяется каждая 50-я единица (1 : 0,02), при 5%-ной выборке – каждая 20-я единица (1 : 0,05), например, сходящая со станка деталь.

Типическая выборка используется в тех случаях, когда все единицы генеральной совокупности можно разбить на несколько качественно однородных, однотипных групп по признакам, от которых зависят изучаемые показатели. Она применяется для отбора единиц из неоднородной совокупности.

При обследовании предприятий такими группами могут быть, например, отрасль и подотрасль, формы собственности. Затем из каждой типической группы собственнослучайной или механической выборкой производится индивидуальный отбор единиц в выборочную совокупность.

Типическая выборка обычно применяется при изучении сложных статистических совокупностей. Например, при выборочном обследовании семейных бюджетов рабочих и служащих в отдельных отраслях экономики, производительности труда рабочих предприятия, представленных отдельными группами по квалификации.

Серийная выборка предполагает случайный отбор из генеральной совокупности не отдельных единиц, а их равновеликих групп (гнезд, серий) с тем,

32