Рассмотрим расчёт индексов цен Пааше и Ласпейреса по данным табл. 6.2. Агрегатный индекс цен Пааше:

I p =	∑ p1q1			=	7 240 +8 50 +1,8 650	=	3250	=1,069, или 106,9%.
					6,5 240 + 7,5 50 +1,7 650
	∑ p	0	q			3040
			1

Индекс показывает, что в феврале по сравнению с январём цены продуктов на рынке увеличились в среднем на 6,9 %.

	Продажа товаров на рынке (в 2002 г.)							Таблица 6.2
	Количество			Цена за единицу товара,
	проданных товаров,							Индивидуальные
		тыс.				руб.		индексы цен
Товары
	январь		февраль	январь			февраль
	q		q	p	0		p	ip =	p1
	0		1				1		p0
Картофель, кг.	200		240	6,5			7,0	1,077
Молоко, л.	60		50	7,5			8,0	1,067
Яйцо, шт.	800		650	1,7			1,8	1,059

Из-за повышения цен население (покупатели) фактически перерасходова-

ло средств:				∑ p pq = 3250 −3040 = 210 тыс. руб.
Агрегатный индекс цен Ласпейреса:
I p =	∑ p1q0		=	7 200 +8 60 +1,8 800	=	3320	=1,067, или 106,7%.
	∑ p q			6,5 200 +7,5 60 +1,7 800		3110
	0	0

Индекс показывает, что в феврале по сравнению с январём цены на рынке (не на все продукты, а только на январскую группу), повысились в среднем на 6,7 %.

Условный (т. е. только на январскую группу товаров) перерасход средств покупателей от повышения цен составил:

∑ p pq = 3320 −3110 = 210 тыс. руб.

Индекс себестоимости характеризует среднее изменение себестоимости единицы продукции отчётного периода по сопоставимому с базисным периодом кругу продукции. Формула агрегатного индекса себестоимости имеет вид:

Iz =	∑z1q1		,	(6.6)
	∑z q
	0	1

55

где ∑z1q1 – затраты на производство продукции отчётного периода;

∑z0q1 – затраты на производство той же продукции, если бы себестои-

мость единицы продукции оставалась на уровне базисного периода. Рассчитанный по формуле (6.6) индекс себестоимости показывает, во

сколько раз уменьшился (возрос) в среднем уровень себестоимости на продукцию, произведённую в отчётном периоде, или сколько процентов составляет его снижение (рост) в отчётном периоде по сравнению с базисным.

Если из значения индекса себестоимости вычесть 100 %, то разность ( I z −100 ) покажет, на сколько процентов в среднем уменьшился (возрос) уро-

вень себестоимости на продукцию, произведённую в отчётном периоде. Разность между числителем и знаменателем характеризует экономию (–),

перерасход (+) от снижения себестоимости единицы продукции:

∑	zzq = ∑z q	−∑z q .
	1 1	0	1

Для характеристики уровня производительности труда в статистической практике используются два показателя: выработка (в натуральном и стоимостном выражении) и трудоёмкость.

Выработка W характеризует количество продукции, производимой в единицу рабочего времени (или на одного работника). Она является прямым показателем производительности труда – чем больше выработка, тем выше производительность труда.

W = Tq ,

где W – средняя выработка; q – количество произведённой продукции; Т – затраты рабочего времени на производство продукции или численность работников.

Трудоёмкость t отражает затраты труда на производство единицы продукции:

t = Tq .

Трудоёмкость является показателем обратным производительности труда. Снижение трудоёмкости свидетельствует о повышении производительности труда. Динамика производительности труда в статистике изучается с помощью индексов производительности труда. Агрегатный индекс производительности труда по затратам труда на единицу продукции:

I	=	∑t0q1		,	(6.7)
W		∑t q
		1	1

где ∑t0q1 – условная величина, характеризующая затраты труда на продукцию отчётного периода при уровне производительности труда базисного периода; ∑t1q1 – фактические затраты труда на продукцию отчётного периода.

56

Рассчитанный по формуле (6.7) индекс производительности труда, показывает, во сколько раз возрос (уменьшился) в среднем общий уровень трудоёмкости в отчётном периоде по сравнению с базисным.

Если из значения индекса производительности труда вычесть 100 %, то разность ( IW −100 ) покажет, на сколько процентов в среднем возрос (умень-

шился) за это время уровень трудоёмкости.

Разность между числителем и знаменателем индекса показывает абсолютный размер экономии времени (+) в связи с ростом производительности труда.

Особенность этого индекса в том, что t0 находится в числителе, а t1 – в

знаменателе. Объясняется это тем, что индексируются затраты труда на единицу продукции, т. е. величины обратные производительности труда

(индивидуальный индекс производительности труда: iW = 1 : 1 = t0 ). t1 t0 t1

Общие индексы могут быть построены как средние взвешенные из индивидуальных, тождественные агрегатным.

Покажем преобразование агрегатного индекса качественного показателя в средний гармонический и средний арифметический на примере индекса цен.

В тех случаях, когда неизвестны отдельные значения p1 и q1 , но дано их

	произведение p1 q1			(товарооборот			текущего			периода) и индивидуальные
	индексы цен ip =	p1	, применяется средний гармонический индекс цен.
		p0
					p1
	Из формулы ip		=			определяем	p0 =	p1	,	подставляем его в знаменатель
					p0			ip

агрегатной формулы (6.4) и получаем средний гармонический индекс цен, который тождественен формуле Пааше:

I p =	∑ p1q1		=		∑ p1q1			.	(6.8)
	∑ p0q1				∑	p1q1
						ip
Из индивидуального индекса цен ip =			p1		выразим цену отчётного периода
			p0

p1 = ip p0 и подставим в числитель агрегатного индекса цен (6.5), получим

средний арифметический индекс цен, тождественный агрегатному индексу Ласпейреса:

I p =	∑ p1q0		=	∑ip p0q0		.	(6.9)
	∑ p q			∑ p q
	0	0		0	0

57

6.4. ИНДЕКСЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН

На динамику качественных показателей, уровни которых выражены средними величинами, оказывает влияние изменение структуры изучаемого явления. Под изменением структуры явления здесь понимают изменение доли отдельных единиц совокупности, из которых формируются средние, в общей их численности. Так, например, на среднюю себестоимость какого–либо изделия А может влиять не только изменение себестоимости этого изделия на предприятиях отрасли, но и изменение удельного веса (доли) предприятий с разной себестоимостью в общем выпуске этого изделия. Динамика среднего душевого дохода населения зависит от изменения среднего дохода каждого человека и от изменения количества людей с более высокими (низкими) доходами в общей численности населения.

Следовательно, на изменение среднего значения показателя могут оказывать воздействия одновременно два фактора: изменение значений осредняемого показателя и изменение структуры явления.

Таким образом, задача состоит в определении степени влияния двух факторов на общую динамику средней.

Эта задача решается с помощью индексного метода, т. е. путём построения системы взаимосвязанных индексов, в которую включаются три индекса: переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов.

Изучение совместного действия этих двух факторов на общую динамику среднего уровня осуществляется в статистике с помощью индекса переменного состава.

Индекс переменного состава представляет собой отношение двух взвешенных средних с изменяющимися (переменными) весами, показывающее изменение индексируемой средней величины.

Для любых качественных показателей х индекс переменного состава можно записать в общем виде:

	I	x	=		x1			=	∑x1 f1 :	∑x0 f0 ,	(6.10)
					x0
									∑ f1	∑ f0

где x1, x0 – уровни осредняемого показателя в отчётном и базисном периодах соответственно; f1 , f0 – веса (частоты) осредняемого показателя в отчётном и

базисном периодах соответственно.

Чтобы элиминировать влияние изменения структуры совокупности на динамику средней величины, берут отношение средних взвешенных с одними и теми же весами (как правило, на уровне отчётного периода). Индекс, характеризующий динамику средней величины при одной и той же фиксированной структуре совокупности, носит название индекса постоянного (фиксированного) состава и исчисляется в общем виде:

58

Ix =	∑x1 f1	:	∑x0 f1	.	(6.11)
	∑ f		∑ f
	1		1

После сокращения на ∑ f1 формула принимает вид формулы агрегатного индекса качественного показателя:

Ix = ∑x1 f1 .

∑x0 f1

Индекс постоянного состава показывает, как в отчётном периоде по сравнению с базисным изменилось среднее значение показателя по какой–либо однородной совокупности за счёт изменения только самой индексируемой величины, т. е. когда влияние структурного фактора устранено.

Для измерения влияния только структурных изменений на исследуемый средний показатель исчисляют индекс структурных сдвигов, как отношение среднего уровня индексируемого показателя базисного периода, рассчитанного на отчётную структуру, к фактической средней этого показателя в базисном периоде:

Iстр =	∑x0 f1	÷	∑x0 f0		.	(6.12)
	∑ f		∑ f	0
	1

В качестве весов (частот) индексов средних величин х наряду с абсолютными показателями f могут использоваться и относительные показатели (частоты, доли) d. В последнем случае упомянутые индексы для любых качественных показателей х можно выразить в общем виде следующими формулами:

I x =	∑x1d1			,	I x =	∑x1d1		,	Iстр =	∑x0d1			,
	∑x	d	0			∑x d				∑d	x	0
	0					0	1			0

где d1, d0 – доли единиц с определённым значением признака в общей сово-

купности в отчётном и базисном периодах, соответственно ∑d =1.

Эти три индекса (формулы 6.10, 6.11, 6.12) взаимосвязаны между собой: индекс переменного состава равен произведению индекса постоянного и индекса структурных сдвигов, т. е.

Ix = I xIстр

6.5.БАЗИСНЫЕ И ЦЕПНЫЕ ИНДЕКСЫ

Часто в ходе экономического анализа изменение индексируемых величин изучают не за два, а за ряд последовательных периодов. Следовательно, возникает необходимость построения индексов за ряд последовательных периодов, которые образуют индексные системы.

59

Взависимости от базы сравнения системы индексов бывают базисными и цепными.

Всистеме базисных индексов сравнения уровней индексируемого показателя в каждом индексе производят с уровнем базисного периода, а в системе цепных индексов уровни индексируемого показателя сопоставляются с уровнем предыдущего периода.

Цепные и базисные индексы могут быть как индивидуальные, так и общие.

Ряды индивидуальных индексов стоимости продукции, физического объёма продукции, цен просты по построению. Так, например, обозначив четыре последовательных периода подстрочными индексами 0,1,2,3, исчислим базисные и цепные индивидуальные индексы цен:

- базисные индексы:

ip10

=

p1

;

ip20

=

p2

;

ip30

=

p3

;

p

p

p

0

0

0

- цепные индексы:

ip10

=

p1

;

ip21

=

p2

;

ip32

=

p3

.

p

p

p

2

0

1

Между цепными и базисными индивидуальными индексами существует взаимосвязь, позволяющая переходить от одних индексов к другим, – произведение последовательных цепных индивидуальных индексов даёт базисный индекс последнего периода:

ip30	= ip10 ip21 ip32	=	p1		p2		p3	=	p3
										.
			p		p		p		p
			0		1		2		0

Отношение базисного индекса отчётного периода к базисному индексу предшествующего периода даёт цепной индекс отчётного периода:

ip	= ip		: ip	; ip	=	p3	:	p2	=	p3		.
		30
32				20	32	p p				p	2
						0		0

Это правило позволяет применять так называемый цепной метод, т. е. находить неизвестный ряд базисных индексов по известным цепным и наоборот.

Рассмотрим возможность применения цепного метода исчисления для агрегатных индексов.

Как известно, в каждом отдельном индексе веса в числителе и знаменателе обязательно фиксируются на одном и том же уровне.

Если же строится ряд индексов, то веса в нём могут быть либо постоянными для всех индексов ряда, либо переменными. Рассмотрим построение базисных и цепных индексов на примере агрегатных индексов цен и физического объёма продукции.

60

Базисные индексы: - индексы цен Пааше:

Ip10	=	∑p1q1	; Ip2 0	=	∑p2 q2	; ..., Ipn 0	=	∑pn qn	;
		∑p0 q1			∑p0 q2			∑p0 qn

- индексы цен Ласпейреса:

Ip10	=	∑p1q0	; Ip2 0	=	∑p2 q0	; ..., Ipn 0	=	∑pn q0	;
		∑p0 q0			∑p0 q0			∑p0 q0

- индексы физического объёма:

Iq

=

∑q1 p0

; Iq

=

∑q2 p0

; ..., Iq

=

∑qn p0

.

10

∑q0 p0

2 0

∑q0 p0

n

∑q0 p0

0

Цепные индексы:

- индексы цен Пааше:

Ip10	=	∑p1q1	;
		∑p0 q1

Ip21	=	∑p2 q2	; ...,	Ip n (n−1)	=	∑pn qn	;
		∑p1q2
						∑pn−1qn

- индексы цен Ласпейреса:

Ip

=

∑p1q0

; Ip

=

∑p2q0

; ..., Ip

=

∑pnq0

.

10

∑p0q0

21

∑p1q0

n

∑pn−1q0

(n−1)

-индексы физического объёма:

Iq

=

∑q1 p0

; Iq

=

∑q2 p0

; ..., Iq

=

∑qn p0

.

10

∑q0 p0

21

∑q1 p0

n

∑qn−1 p0

(n−1)

Итак, в базисных агрегатных индексах все отчётные данные сопоставляются только с базисными (закрепленными) данными, а в цепных – с предыдущими (в данном случае – смежными) данными.

Период весов во всех индексах цен Пааше взят текущий (индексы с переменными весами), в индексах физического объёма и индексах цен Ласпейреса

– закреплённый (индексы с постоянными весами).

Постоянные веса (не меняющиеся при переходе от одного индекса к другому) позволяют исключить влияние изменения структуры на значение индекса.

Ряды агрегатных индексов с постоянными весами имеют преимущество – сохраняется взаимосвязь между цепными и базисными индексами, например, в ряду агрегатных индексов физического объёма:

	∑q1 p0	∑q2 p0 ∑q3 p0	=	∑q3 p0
	∑q0 p0	∑q1 p0 ∑q2 p0		∑q0 p0

61

или в ряду агрегатных индексов цен Ласпейреса:

∑p1q0	∑p2 q0 ∑p3q0	=	∑p3q0
∑p0 q0	∑p1q0 ∑p2 q0		∑p0 q0 .

Таким образом, использование постоянных весов в течение ряда лет позволяет переходить от цепных общих индексов к базисным и наоборот.

Врядах агрегатных индексов качественных показателей, которые строятся

спеременными весами (например, ряд цен Пааше), перемножение цепных индексов не даёт базисный:

	∑p1q1	∑p2 q2	∑p3q3	≠	∑p3q1	.
	∑p0 q1	∑p1q2	∑p2 q3		∑p0 q1

Для таких индексов переход от цепных индексов к базисным (и наоборот) невозможен.

62

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2000.

2.Гусаров В.М. Статистика: Учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ, 2002.

3.Ефимова М.Р., Петрова Е.В. Общая теория статистики: Учебник. – М.:

ИНФРА - М, 2000.

4.Харченко Л.П. Статистика: Курс лекций. – М.: ИНФРА - М, 2000.

5.Ефимова М.Р. Общая теория статистики. – М.: ИНФРА - М, 2002.

6.Борисова С.А. Статистика. Общая теория статистики. – М.: ЮНИТА 1, 2002.

7.Едронова В.Н., Едронова М.В. Общая теория статистики: Учебник. – М.: Юристъ, 2001.

63