Kolozova_Operacionnoe_ischislenie

∞

/

∞

(f (t )× e−p t )/ dt =

∫

f (t )× e

=

∫

F¢(p) =

−p t dt

p

0

p

0

∞

∞

= ∫ f (t )× (- t )e−p t dt = ∫ (- t × f (t ))e−p t dt =& -t × f (t ),

0

0

′

&

т. е.

F (p) = -t × f (t ).

Тогда

F¢¢(p) = (F¢(p))′

=& -t(- t × f (t)) = t2 × f (t),

F¢¢¢(p) =& -t(t2 × f (t)) = -t3 × f (t)

и вообще F(n )(p) =& (-1)n × tn × f (t ).

Пример 5. Найти изображения функций

tn (n Î N), t sin wt, t cos wt .

Решение. Так как

1 =&

1

,

по свойству дифференцирования изображения

p

имеем

- t ×1 =& -

1

.

p2

1

/

2

2!

Далее находим - t 2

=&

= -

,

т. е. t 2 =&

.

3

3

2

p

p

p

p

Продолжая дифференцирование, получим

tn

=&

n!

.

n +1

p

ω

w

/

Так как

sin w t =&

,

=& -t sin w t ,

2

2

2

2

p

+ w

p

+ w

p

2 ω p

2 ω p

т. е.

-

(p2 + w2 )2 =&

-t sin w ,

или

t sin w t =& (p2 + w2 )2 .

t cos w t =&

p2 - w2

.

Аналогично находим

(p2 + w2 )2

11

Интегрирование оригинала

		t	F(p)
Если f (t ) =& F(p),		∫ f (τ)dt =&
	то			, т. е.	интегрирование оригинала от
			p
		0
0 до t соответствует делению его изображения на					p .
Функция ϕ(t ) = ∫t	f (τ) dτ	является оригиналом (проверьте самостоятельно).

0

Пусть j(t ) =& Ф(p). Тогда по свойству дифференцирования оригинала

j′(t ) = p × Ф(p) - j(0) = p × Ф(p)

( j(0) = 0 ).

t

/

′

∫ f (τ) dτ

= f (t ),

F(p) = p × Ф(p).

А так как ϕ (t ) =

0

t

t

F(p)

Ф(p) =

F(p)

∫ f (τ) dτ =&

Отсюда

,

т. е.

.

p

p

0

Интегрирование изображения

∞

∞

f (t )

∫ F(p) =&

Если

f (t) =& F(p) и интеграл

∫ F(p) dp

сходится, то

,

t

p

0

т. е. интегрирование изображения от

p до

∞ соответствует делению его ориги-

нала на

t .

Используя формулу (1)

и изменяя порядок интегрирования, получаем

∞

∞

∞

∞

∞

∫

∫

∫

∫

F(p) dp =

f

(t)e

dp =

∫

(t)dt =

− p t dt

e− p t dp f

p

p

0

0

p

∞

∞

∞

f (t )

f (t )

1

−p t

−p t

&

− t e

t .

= ∫

p f (t )dt = ∫

t

e

dt =

0

0

12

Пример

6. Найти

изображения

функции

sin t

и интегрального

синуса

t

t

τ

∫

sin τ

dt.

0

Решение.

Так как

sin t =&

1

,

функция

p2 +1

∞

p

π

sint

1

sin t

=&

∫

dp =

2 - arctg p,

т. е.

=&

- arctg p = arcctg p.

t

p2 + 1

t

2

p

Применяя свойство интегрирования оригинала, получаем

t

∫

sin t

dt =&

p

-

arctg p

.

t

2p

p

0

Умножение изображений

Если f1 (t) =& F1(p) ,

f2 (t) =& F2 (p) ,

то

t

F1 (p)× F2 (p) =& ∫f1 (t )× f2

(t - t) dt.

0

Интеграл в правой части формулы называется сверткой функций f1(t )

и f2 (t )

и обозначается символом

f1 (t ) * f2 (t )

т. е.

t

f1 (t ) * f2 (t ) = ∫f1 (t)× f2 (t - t) dt.

0

Можно убедиться (положив t − τ = u ),

что свертывание обладает свойством

коммутативности, т. е.

f1 (t ) * f2 (t ) = f2 (t ) * f1 (t ).

Итак, умножение изображений соответствует свертке их оригиналов

F1(p)× F2 (p) =& f1 (t ) * f2 (t ).

		1
Пример 7. Найти оригинал функции		F(p) =	(p2 + w2 )2	.
	1	1
Решение. Так как	F(p) = (p2 + w2 )× (p2 + w2 ) и

13

t

1

1

1

1

=&

× sin w t ,

F(p) =& ∫

× sin w t ×

× sin w(t

- t) dt =

p2 + w2

w

w

w

0

1

t

=

× ∫(cos w(2t - t ) - cos w t ) dt =

2w

2

0

=

1

1

× sin w (2t - t )

t

- cos w t × t

t

=

2w2

2w

0

0

1

1

1

(sin w t - w t × cos w t ),

=

sin

w t - t cos w t

=

2 w3

2 w2 w

т.е.

1

=&

1

(sin

w t - w t × cos w t).

(p2 + w2 )2

2 w3

Следствие.

Если

f

1

* f

2

=& F (p)× F (p)

и

f

/ (t ) также является оригиналом, то

1

2

1

t

p × F1 (p)× F2 (p) =& ∫f1/ (t)×f2 (t - t)dt + f1 (0)×f2 (t ).

(8)

0

Запишем произведение

p × F1 (p)× F2 (p)

в виде

p × F1 (p)× F2 (p) = p × F1 (p)× F2 (p) - f1 (0)× F2 (p) + f1(0)× F2 (p)

или p × F1(p)× F2 (p) = (p × F1(p)- f1(0))× F2 (p)+ f1 (0)× F2 (p).

Первое слагаемое в правой части есть произведение изображений, соответству-

щих оригиналам

f / (t )

(f / (t ) =& p × F (p) - f

(0))

и

f

2

(t ). Поэтому на основании

1

1

1

1

свойства умножения изображений и линейности можно записать

p × F (p)× F (p) =&

f

/ (t )* f

2

(t ) + f

(0)× f

2

(t )

1

2

1

1

p × F1 (p)× F2 (p)

t

(t)× f2 (t - t) dt + f1 (0)× f2

(t ).

или

=& ∫f /1

0

Формула (8)

называется формулой Дюамеля.

14

На основании свойства коммутативности свертки формулу Дюамеля можно записать в виде

t

p × F1 (p)× F2 (p) =& ∫f2 (t)× f1¢(t - t) dt + f2 (t )× f1 (0).

0

Формулу Дюамеля можно применять для определения оригиналов по известным изображениям.

Пример 8. Найти оригинал, соответствующий изображению

F(p) =

2 p2

Решение: Так как

(p2 +1)2

.

2 p2

1

p

1

=& sin t,

p

=&

= 2 p ×

×

и

cos t ,

(p2 +1)2

p2 +1

p2 +1

p2 +1

p2 +1

на основании формулы Дюамеля (8)

1

p

t

2p ×

×

=& 2

∫ cos t × cos (t - t) dt + 0 = t × cos t + sin t .

p

2

p

2

+1

+1

0

Умножение оригиналов

Если f1(t ) =& F1(p)

и

f2 (t ) =& F2 (p), то

σ

γ + i ∞

1

γ+i ∞

f1 (t )× f2 (t ) =&

∫ F1 (z)× F2 (p - z) dz,

γ

2p i

γ−i ∞

s

0

–

0

s

где путь

интегрирования

вертикальная

γ − i ∞

прямая

Re z = γ > s0

(рис. 6).

Рисунок 6

Изображение периодического оригинала с периодом, равным T, имеет вид

1

T

F(p) =

∫ f (t )e

−p t dt.

1 - e

−T p

0

Оно определено в полуплоскости

Re p = s > 0.

15

Пример 9.

Найти изображение периодической функции

f (t ),

заданной гра-

фически (рис. 7).

f (t )

1

0

1

2

3

4 t

Рисунок 7

Решение.

Зададим f (t ) аналитически

f (t ) = t

при

0 ≤ t ≤ 1,

учтем, что T = 2 , получим

2 − t

при

1 < t ≤ 2,

1

2

F(p) =

1

t e−p t dt +

∫

(2 − t )e−p t dt

=

1 − e−p

.

−2 p

2

(1

−p

)

1 − e

+ e

∫

p

0

1

Кратко перечислим рассмотренные свойства преобразования Лапласа

1. Линейность: c1 × f1(t) + c2 × f2 (t) =& c1 × F1(p)+ c2 × F(p).

2.	Подобие: f (lt ) =&	1	× F	p	, l > 0.
		l
			l
3.	Смещение: eα t × f (t) =& F(p - a).
4.	Запаздывание: f (t - t) =& e− p τ × F(p), t > 0.

5. Дифференцирование оригинала:

f ′(t) =& p × F(p) - f (0),

f ¢¢(t) =& p2 × F(p) - p × f (0) - f ¢(0),

f ¢¢¢(t) =& p3 × F(p) - p2 × f (0) - p × f ¢(0) - f ¢¢(0),

16

6.	Дифференцирование изображения
	′	&
	F (p) = -t × f (t),
	F¢¢(p) =& (-1)2 × t2 × f (t),
	K K K K K K
		t		F(p)
7. Интегрирование оригинала: ∫f (t) dt =&
						.
				p
		0
		∞						(t )
	Интегрирование изображения: ∫ F(p) dp =&						f
8.									.
								t
		p
					t
9.	Умножение изображений:	F1 (p)× F2 (p) =& ∫f1						(t)× f2 (t - t)dt = f1 * f2 .
			0
			1				γ+i ∞
10. Умножение оригиналов:		f1 (t )× f2 (t ) =&					∫ F1 (z)× F2 (p - z)dz.
			2pi
							γ−i∞

Приведем таблицу часто встречающихся оригиналов и их изображений:

Оригинал f (t )

Изображение

F(p) = ∞∫ f (t )e− pt dt

0

1.

1

1/ p

2.

e a t

1

p - a

3.

t

1

p2

4.

sin ω t

ω

p2

+ w2

5.

cos ω t

p

p2

+ w2

6.

sh ω t

ω

p2

+ w2

7.

ch ω t

p

p2

- w2

8.

e

a t

× sin w t

ω

(p - a )2 + w2

17

Оригинал f (t )

Изображение F(p) = ∞∫ f (t )e− pt dt

0

9.

e

a t

× cos w t

p − a

(p - a )2 + w2

10.

e

a t

×sh w t

ω

(p - a )2 - w2

11.

e

a t

× ch w t

p − a

(p - a )2 - w2

12.

n

(n ÎN)

n!

t

pn +1

13.

e

at

× t

n

n!

(p - a)n +1

14.

t ×sin w t

2ω p

(p2 + w2 )2

15.

t × cos w t

p2 - w2

(p2 + w2 )2

16.

t × sh w t

2ω p

(p2 - w2 )2

17.

t × ch w t

p2 + w2

(p2 - w2 )2

18.

2ω (p − a )

e

a t

t × sin w t

((p - a )2 + w2 )2

19.

ea t t × cos w t

(p - a )2 - w2

((p - a )2 + w2 )2

1

(sin w t - w t cos w t )

1

20.

(p2 + w2 )2

2w3

1

(w t ch w t - sh w t )

1

21.

(p2 - w2 )2

3

2w

22.

sin (ω t ± ϕ)

w cos j ± p × sin j

p2 + w2

23.

cos (ω t ± ϕ)

p cos j M w × sin j

p2 + w2

18

Re p = s0 .

Формула обращения. Теоремы разложения

Если функция действительной переменной f (t ) является оригиналом, то связь

между нею и ее изображением взаимно однозначна:

+∞

из равенства F(p) = ∫e−p t f (t ) dt

0

			s+i ∞
следует формула обращения	f (t ) =	1	∫ ep t F(p) dp
		2πi
			s−i ∞

(формула Меллина или обратное преобразование Лапласа).

В этой формуле путь интегрирования – любая прямая Re p = s, параллельная мнимой оси, лежащая правее прямой

Замечание. Во всякой точке t0 , являющейся точкой разрыва функции f (t ),

правая часть формулы Меллина равна

1

(f (t0 − 0)+ f (t0 + 0)).

Теорема 3

2

F(p),

аналитическая в полуплоскости Re p > s0 , удовлетворя-

Если функция

ет условиям

− π , π

а)

F(p)

→ 0

при

p

→ ∞ равномерно относительно arg p

,

2 2

б

19