Kolozova_Operacionnoe_ischislenie

			1										1									1				1										1
			F(p) =				= -											-							-								+						.
					(p -1)(p +1)3						2(p +1)3										4(p +1)2						8(p +1)									8(p -1)
И по таблице оригиналов и изображений найдем f (t):
					f (t) = -				1	t2e− t -					1		t e− t -						1	e− t +		1		et .
																										8
							4						4									8
	Второй способ нахождения f (t ). Представим f (t )																										как произведение
			1				1						1													1										1
			F(p) =				=					×									,	и т. к.														=&		t2 e− t
				(p -1)(p +1)3				p -1						(p +1)3																(p +1)3							2
и	1		=& et , то пользуясь свойством умножения изображений, получим
		p -1
					t									t																	t
													1													1
			F(p) =& ∫f1 (t)×f2 (t - t)dt = ∫																t2 e			−τ ×et −τ dt =									∫t2 et−2τdt.
																2														2
			0										0													0
Последний интеграл возьмем по частям, полагая
			t2 = u, du = 2τdτ,												dv = et−2τdt,													v = -				1		et−2τ .
																										2

=- 1 t2 e− t 4

	1															1							1
						t2et−				2τ dt =												-					t2 et−2τ
		2 ∫
																2							2
														t
	1					1										1				t
										t −2τ										∫ e			t −2τ
+					-			te							+													dt			=
	2					2											2
														0						0
					= -				1	t	2	e		− t	-		1					t e			− t		-		1	e		− t
									4									4											8

t			t
	+		∫ te			t−2τ			dt			=
0			0
		1					−t			1			−t		1		t−2τ		t
-			t	2	e			-			t e			-		e			=
	4									4					8
																			0

+1 et = f (t).

8

t

∫tet−2τ dt также был взят по частям, при

0
u = t, du = dt, dv = e	t −2τ	dt, v = -	1	e	t −2τ	.
			2

21

Третий способ нахождения

f (t ).

Здесь

Pm (p) = 1,

Qn (p) = (p − 1)(p + 1)3 ,

Q′n (p) = 3(p + 1)2 (p − 1) + (p + 1)3 ,

p1 = 1– простой корень знаменателя,

p2 = −1–

корень кратности

3 (L 2 = 3).

f (t) =

1

1

ept (p + 1)3

²

1

1

ept

²

et

+

lim

=

et +

lim

=

8

3

8

2! p→ −1 (p − 1)(p + 1)

2 p→ −1 p − 1

=

1

+

1

2 e

p t

− 2t

e

p t

+

2e

pt

=

t

e

lim

t

8

2 p→ −1

p

−

1

(p −

1)

(p − 1)

1

1

1

1

1

=

et +

−

t 2e−t −

t e−t −

e

−t

=

8

2

2

2

4

=

1

et −

1

t2e− t −

1

t e− t −

1

e− t .

8

4

4

8

Решение линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений с постоянными коэффициентами

Для того чтобы найти решение x(t) линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

x(n )	+ a1x(n −1)		+ K + a n x = f (t ),								(11)
(где f (t ) – оригинал), удовлетворяющее начальным условиям
x(0) = x0	,	′	′	,	K	, x	(n −1)	(0) = x	(n −1)	,	(12)
		x (0) = x0							0

следует применить к обеим частям этого уравнения преобразование Лапласа, т. е. от уравнения (11) с условиями (12) перейти к операторному уравнению

(pn + a1pn −1 + K + an ) X (p)+ Q(p) = F(p),

где X(p) − изображение искомого решения, F(p) − изображение функции f (t ),

22

а

Q(p) − некоторый многочлен, коэффициенты которого зависят от начальных

данных

x

0

,

x¢

, K , x(n −1)

и который тождественно

равен

нулю,

если

′

0

0

x0

=

K

= x

(n−1)

= 0. Решив операторное уравнение относительно

= x 0

0

X(p) =

F(p) − Q(p)

L(p)

(L(p) = pn + a pn −1 + K + a

n

– характеристический многочлен данного уравнения) и

1

найдя оригинал для X(p),

получим искомое решение

x(t).

Если считать

x

0

, x¢ , K , x(n −1)

произвольными постоянными, то найденное решение

будет

0

0

общим

решением

уравнения

(11). Совершенно аналогично

решаются и систе-

мы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Отличие будет лишь в том, что вместо операторного

уравнения получим сис-

тему таких уравнений, которые будут линейными относительно изображений.

Пример 11.

Найти

частное

решение

дифференциального уравнения

x¢¢ + 4x = -et ,

удовлетворяющее начальным условиям

x(0) = 1, x′(0) = 2.

Решение.

Пусть x(t ) =& X(p),

′

тогда

&

x (t ) = p X(p) − 1

x¢¢(t) =& p2 X(p) - p - 2.

Кроме того,

- et =& -

1

.

p

-1

Тогда операторное уравнение имеет вид

p2X(p) - p - 2 + 4 X(p) = -

1

.

p

-1

X(p) =

p2 + p - 3

Отсюда находим

(p -1) (p2 + 4)

.

Разлагая эту дробь на простейшие,

получим

X(p) =

− 1

+

1

×

6p + 11

.

5(p -

1)

5 p2 + 4

Используя свойство линейности преобразования Лапласа и таблицу оригиналов и изображений, находим искомое частное решение дифференциального уравнения:

x(t ) = - 1 et + 6 cos 2 t + 11 sin 2 t .

5

5

10

23

Пример 12. Решить систему дифференциальных уравнений

x′ = z − y,
	−t , x(0) = 0, y(0) = 0,5; z(0) = 0.
y′ = z + 2e
z′ = z − x;

Решение. Пусть x = x(t) =& X(p) = X; y = y(t) =& Y(p) = Y; z = z(t) =& Z(p) = Z.

Находим, что	x	′ &	′ &		z		′ &
		= p X;	y = p Y − 0,5;					= p Z.
Система операторных уравнений принимает вид
			pX + Y - Z = 0,
								2
				pY - Z = 0,5	+
									,
				+ (p -1)Z = 0.		p + 1
			X

Решая эту систему алгебраических уравнений, находим

X(p) = -			p + 5
		2(p +1)(p2 +1)		,
Y(p) =	(p + 5) (p2 - p +1)				,
			2(p4 -1)
Z(p) =			p + 5
			2 (p4 -1).

Переходя от изображений к оригиналам, получаем искомые решения:

X(p) = -

p + 5

= -

1

+

p

-

3

=&

2(p + 1)

(p2 + 1)

2 (p2 + 1)

p + 1

p2 + 1

=& -e−t + cos t -

3

sin t.

2

Y(p) =

(p + 5) (p2 - p + 1)

5

p

1

1

3

1

3

1

2(p4 -1)

=&

×

-

×

-

×

+

×

=&

4

p2 + 1

4

p2 + 1

2

p + 1

4

p -1

24

						5																		1													3				− t				3				t
						=&									cos t -											sin t -													e					+				e			.
																								4													2								4
						4
Z(p) =				p + 5										1							p								5								1								1 1									3 1
	2 (p4 -1)						= -											×										-				×												-					×				+		×		=&
														4						p2 +1										4					p2 +1										2					p +1				4		p -1
						=& -						1				cos t -								5				sin t -									1					− t		+	3						t
																																								e									e			.
												4												4													2								4
Ответ: x(t ) =& -e− t + cos t -																	3		sin t,
														2
y(t ) =&		5		cos t -				1		sin t -											3		e− t					+			3			et ,
	4
						4												2											4
z(t ) =& -				1	cos t -					5			sin t -										1		e− t				+					3		et .
	4					4												2											4

Приведем еще несколько примеров.

Пример 13. Найти изображение данного оригинала

f (t ) = e2t cos2 6t + sin 2t sin4t + 3.

Решение. В силу свойства линейности преобразования Лапласа найдем изображение каждого слагаемого:

cos2 6t =	1 + cos12 t	=	1	+	1	cos12 t =&	1	+	1	×	p	.
							2p				p2 +122
2		2		2				2

Применяя теорему смещения изображения к первому слагаемому, получим

e2 t cos2 6t =&	1	+	1	×	p − 2
						.
	2(p - 2)		2		(p - 2)2 + 144

Изображение первого слагаемого можно было найти также по таблице оригиналов и изображений, используя формулу 9.

Второе слагаемое

sin 2t sin 4t =	1	cos 2t -	1	cos6t =&	1	×		p	-	1	×		p	.
												p2	+ 36
2		2			2 p2			+ 4 2

25

Третье слагаемое

3 =&

3

. Окончательно получаем

p

1

p − 2

p

p

3

f (t ) =&

+

+

−

+

.

2(p − 2)

2(p − 2)2

+ 144

2(p2 + 4)

2(p2 + 36)

p

Пример 14.

Найти изображение данного оригинала

t

+

1

,

t (1, 3)

2

f (t ) = 2

t (1, 3)

0,

Решение.

Из рисунка 8 видно, что

f (t ) = f1(t )− f2 (t );

f 1 (t ) = f3 (t − 1);

f2 = f4 (t − 3).

f (t )																	f (t )											f (t )													f2 (t )
								f (t )														f1 (t )
2																	2											2
1															t		1											1
0			1				2					3					0				1			2		3	t	0					1				2				3			4 t
																										f (t )
			f (t )									f3 (t )																			f4 (t )
			2																							3
																										2
			1																							1
			0				1					2			3			t								0		1					2				3

f3	(t ) =	t	+ 1	f4	(t ) =	t	+ 2
	2				2

Рисунок 8

26

Так как f

(t ) =&

1

+

1

;

f

(t ) =&

1

+

2

,

по свойству запаздывания оригинала

3

2p2

p

4

2p2

p

f (t ) =&

1

1

1

2

получаем

+

e

− p −

+

e

−3p .

2

2

2p

p

2p

p

Образцы решения типовых заданий представлены примерами №№ 10 – 14.

	Варианты типовых заданий
Задание 1. Найти изображения данных оригиналов				f (t )
1.	f (t) = t et + 1	2.	f (t ) = e2t sin 3t + 2
3.	f (t) = et cos2 3t − 3	4.	f (t ) = 2sin2tcos 4t + 1
5.	f (t ) = 2 + sh 3t	6.	f (t ) = 3 + 2sin (3t + 5)
7.	f (t ) = 3 + t2 + e4t sin 2t	8.	f (t) = e−3 t cos 4t − 1
9.	f (t ) = e4tsin23t − 6	10.	f (t ) = 4 cos 3t cos 5t − 2
11.	f (t ) = 1 − 2ch 4t	12.	f (t ) = 2 + 4 cos (2t + 3)
13.	f (t ) = 1 + t + et sin 2t	14.	f (t) = t3e4 t − 1
15.	f (t) = e4t sin 5t − 7	16.	f (t) = e− t / 2 cos2 3t + 10
17.	f (t ) = 6sin 5t sin 7t + 3	18.	f (t ) = 3 + et sh 2t
19.	f (t ) = t + 3sin (4t + 7)	20.	f (t ) = 7 cos 3t sin 7t + 3
21.	f (t ) = t4e−3t + 5	22.	f (t ) = e−5 t cos 6t − 1/ 2
23.	f (t) = e−2 t sin2 5t + 5	24.	f (t ) = t6 e− t + 2
25.	f (t) = t2 + 2 cos (3t + 1)	26.	f (t) = t + e2t ch 3t
27.	f (t) = t2 e−2 t + 3	28.	f (t ) = 2 + 4t + e2t cos 3t
29.	f (x) = e7 t sin 4t − 4	30.	f (t) = e5t cos2	7t + 9

27

Задание 2. Используя различные свойства преобразования Лапласа, найти изображения следующих оригиналов:`

а) дифференцирование изображения

1. f (t ) = t sin 2t

2.

f (t ) = t cos 3t

3.

f (t ) = t sh 4t

4.

f (t ) = t ch 5t

5. f (t) = t2 e2 t

6.

f (t) = t2 sin 4t

б) интегрирование изображения

7.

f (t ) =

e3t − et

8.

f (t ) =

sin 2 t sin 4t

9.

f (t ) =

cos3 t − cos 5t

t

t

t

10.

f (t ) =

sin2 2 t

11.

f (t ) =

cos2 4 t

12.

f (t) =

1 − e− 4 t

t

t

t

в) интегрирование оригинала

t

t

13.

f (t ) = ∫ sin 2x cos 4x dx

14.

f (t ) = ∫ sin 2

2x dx

0

0

t

t

15.

f (t ) = ∫ cos2

4x dx

16.

f (t ) = ∫ cos 3x cos 5x dx

0

0

t

t

17.

f (t ) = ∫ e2x sin 4x dx

18.

f (t ) = ∫ e3x cos 6x dx

0

0

г)

запаздывание оригинала

19.

f (t ) = t − 1,

t (1, 3)

20.

f (t ) = 2t − 2,

t

(1, 2)

0,

t (1,

3)

0,

t (1, 2)

21.

f (t ) = t,

t (2, 4)

22.

f (t ) = 2t + 1,

t (2, 3)

t (2, 4)

t (2, 3)

0,

0,

23.

f (t ) = 2 − t,

t (1, 3)

24.

f (t ) = 3 − t,

t (1, 4)

t (1, 3)

t (1, 4)

0,

0,

28

д) найти оригиналы следующих изображений, используя свойство умножения изображений:

F(p) =

1

F(p) =

p

25.

(p2 +1) (p2 + 4)

26.

(p2

+ 9) (p2 + 16)

F(p) =

p2

F(p) =

1

27.

(p2

+1) (p2

+ 9)

28.

p2

(p + 3)

F(p) =

p

F(p) =

1

29.

(p

+ 2) (p2

+ 9)

30.

(p -1) (p2 + 4)

Задание 3. Найти оригиналы по данным изображениям

F(p) =

1

F(p) =

4 p3 + 75p -17 p2 - 36

1.

p(p -1) (p2 + 4)

2.

p (p - 2) (p2 + 9)

3.

F(p) = 2 ×

3p3 + 10 p + 4 p2 + 120

4.

F(p) =

5p3 +14 p - 34 p2 + 98

p × (p + 5 ) (p2 + 16)

p (p + 2) (p2 + 49)

5.

F(p) =

p3

+ 85p - 22 p2 - 300

6.

F(p) =

11p3 - 6 p + 68p2 + 648

p (p - 6) (p2 + 25)

p (p + 8) (p2 + 9)

7.

F(p) =

9 p3 + 80 p + 9 p2 + 300

8. F(p) = - (2 p3 -112p -11p2 - 49)

p (p + 3) (p2 + 25)

p (p +1) (p2 + 49)

9.

F(p) =

4 p3 - 6 p + 7 p2 +18

10.

F(p) = 2 ×

7 p3 +192 p -17 p 2 - 252

p (p - 2) (p2 + 36)

p (p + 2)

(p2 + 9)

F(p) =

2 ×

2 p3 +13p2 + 24 p - 75

F(p) =

- (p3 + 65p -12 p2 - 78)

11.

p (p - 2) (p2 + 6 p + 25)

12.

p (p + 3) (p2 - 4 p +13)

F(p) =

3p2 +19 p + 50

F(p) =

2 ×

p2 - 6 p +12

13.

p (p2 + 6 p + 25)

14.

p (p2 - 4 p + 8)

F(p) =

-11p2 +16 + 3p3 +12 p

F(p) =

- 7 p2 -196 + 80 p

15.

(p - 2)2 (p2 +16)

16.

(p - 5)2 (p2 + 4)

29

17.

F(p) =

3p3 -12 p + p2 - 6

18.

F(p) =

4 p3 + 3p + 6p2 + 3

p (p +1)2 (p - 3)

p (p + 3) (p2 +1)

F(p) =

p2 + 3p3 - 4

F(p) =

-10 p2 - p - 6 + 2p3

19.

(p2 + 4)p2

20.

p2 (p + 2) (p - 3)

F(p) =

p3 - 3p2 + 7 p - 3

F(p) =

6 p3 - p2 + 17 p + 4

21.

22.

(p2 + 4)(p + 1) (p - 3)

p2 (p -1)2

F(p) =

2 (p3 + 16 p + 6 p2 + 54)

F(p) =

2 p2 + 50 + 3p3

23.

(p2 + 9) (p2 + 16)

24.

(p2 + 25) p2

F(p) =

2 ×

2 p2 + 34 - 9 p

F(p) =

6 p3 + 55p + 100

25.

(p - 3)(p2 + 16)

26.

p (p + 2)(p2 + 25)

27.

F(p) =

p3 - p2 - 4 p + 8

28.

F(p) = 4

p3 + 20 p + p2 + 24

p (p + 2) (p2 + 16)

p2 (p - 2)2

29.

F(p) =

3p2 -19 p + 20 + 4 p3

30.

F(p) =

5p2 + 30 -12 p

(p - 2)2 (p2 + 9)

p3 (p - 5)

Задание 4. Решить данные дифференциальные уравнения при заданных начальных условиях:

− t

′

1.

x¢¢ + 2x¢ - 3x = e ,

x(0) = 0, x (0) = 1.

2.

x

′′′

+ x

′

= 1,

′

′′

x(0) = x

(0) = x

(0) = 0

3.

x

′′

+ 2x

′

= t sin t,

x(0) = 0,

′

x (0) = 0.

4.

x

′′

+ 2x

′

+ x

= sin t,

x(0) = 0,

′

x (0) = −1.

5.

x

′′′

− x

′′

= sin t,

′

′′

x(0) = x

(0) = x

(0) = 0.

6 .

x

′′′

+ x

′

= t,

′

′′

x(0) = 0, x (0) = −1, x

(0) = 0.

8.

x

′′′

+ 2x

′′

+ 5x

′

= 0,

′

′′

x(0) = −1, x (0) = 2, x

(0) = 0.

9.

x

′′

− 2x

′

+ 2x = 1,

′

x(0) = x

(0) = 0.

30