Глава 8. Элементы квантовой механики

• Соотношения неопределенностей Гейзенберга:

- для координаты и импульса частицы

,

где - неопределенность проекции импульса на ось ;- неопределенность ее координаты;

- для энергии и времени

,

где - неопределенность энергии данного квантового состояния;- время пребывания системы в этом состоянии.

• Общее уравнение Шредингера.

,

где -оператор Лапласа;

- функция, характеризующая силовое поле, в котором частица движется, - имеет смысл потенциальной энергии.

Если силовое поле не зависит от времени, то -функцию можно представить сомножителями

.

Независимую от времени функцию можно найти, решаястационарное уравнение Шредингера:

,

где - постоянная, которая, как можно показать, имеет смысл полной энергии частицы.

• Свободное движение микрочастицы.

- потенциальная функция микрочастицы;

- уравнение Шредингера (стационарное);

- решение стационарного уравнения Шредингера ;

- полное уравнение Шредингера: ;

- решение полного уравнения Шредингера: .

• Движение микрочастицы вблизи потенциального барьера ступенчатой формы:

- коэффициент прозрачности для прямоугольного потенциального барьера конечной ширины:

,

где - высота барьера;- его ширина.

- коэффициент прозрачности для непрямоугольного барьера:

,

где .

• Микрочастица в прямоугольной потенциальной яме:

- стационарное уравнение Шредингера для области внутри ямы:

или ;

- решение уравнения Шредингера для этой области:

,

где ;

- длина волны де Бройля в области ямы: , откуда, то есть числосоответствует числу полуволн де Бройля, укладывающихся на ширине ямы;

- импульс и энергия частицы в яме имеют дискретные спектры:

; ;

- расстояние между соседними уровнями:

.

• Квантовый (одномерный) гармонический осциллятор:

- потенциальная функция:

,

где - собственная частота колебаний осциллятора;

- стационарное уравнение Шредингера:

;

- собственные функции (решения, удовлетворяющие требованиям, предъявляемым к -функции) имеют вид

,

где - полиномы-ой степени;;

-

_- -функция наиболее низкого энергетического состояния при;

- энергия наиболее низкого состояния: _.

Энергия следующих состояний возрастает на величину , то есть энергетический спектр гармонического осциллятора также дискретен

,

где .

Глава 9. Элементы атомной физики

9.1. Атом водорода по теории Бора

• Постулаты Бора:

1.Существуют некоторые устойчивые («стационарные») состояния атома, в которых он вопреки классической физике не излучает. Эти стационарные состояния соответствуют движению электронов в атоме по некоторым «разрешенным» орбитам, на которых момент импульса электрона имеет дискретные значения, отвечающие условию

,

где - целое положительное число, (), названное квантовым числом, которое можно рассматривать как номер разрешенной орбиты;- радиус орбиты с номером;- скорость электрона на этой орбите.

2.При переходе электрона с одной разрешенной орбиты на другую атом излучает или поглощает квант электромагнитной энергии, равный

,

где - энергия электрона на орбите с номером (квантовым числом),- энергия электрона на орбите с номером;- частота электромагнитного излучения.

• Квантование энергии электрона в атоме водорода:

.

Энергия основного состояния атома водорода равна

Дж = эВ.

При этом радиус первой орбиты составляет .

• Сериальная формула Бальмера

или ,

где - длина волны, соответствующая каждой спектральной линии,- постоянная Ридберга;м^-1. Соответственно, для серии Лаймана ,; для серии Бальмера,; для серии Пашена,.