Лекция 6. Комплексные числа и действия над ними. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Элементарные функции комплексного переменного и действия над ними

Комплексные числа и действия над ними были определены ранее (см. лекцию 4). Напомним их. Комплексными числаминазывают числа видагдеи– действительные числа,мнимая единица (). При этом числоназываетсядействительной частью, а число–мнимой частью комплексного числа. Числоназываетсясопряженнымк числуа неотрицательное числоназываетсямодулемчисла. Множество всех комплексных чисел обозначают буквойКаждому комплексному числусоответствует единственная точка. При этом ось называется действительной осью, с ось – мнимой осью. Сама плоскостьназывается комплексной плоскостью; ее тоже обозначают буквойУголназывается аргументом}комплексного числа. Ясно, что аргумент определяется неоднозначно. Главным значением аргумента называется уголлежащий в пределах(или в пределах). Главное значение аргумента обозначается так:. Из рис. 1 видно, чтоЗначит, комплексное число можно записать еще в видеЭта форма называется тригонометрической формой числа, а его первоначальная форма--алгебраической формой комплексного числа. Если воспользоваться формулой Эйлерато можно получить еще одну форму комплексного числаназываемуюпоказательной формой числа. Понятие комплексной экспоненты и связанная с ней формула Эйлера будут даны немного позднее.

Два комплексных числа называются равными, если равны одновременно порознь действительные и мнимые части этих чисел, т.е.

Действия над комплексными числами определяются равенствами:

Умножение комплексных чисел (и их деление) лучше производить в тригонометрической форме:

(эти формулы легко получить, используя равенства 1-2). Отсюда вытекает следующее равенство

Действительно, применяя первую из предыдущих формул раз, будем иметь

1. Извлечение корня й степени из комплексного числа. Множества в комплексной плоскости

Равенство (1) называется формулой Муавра. Используя его, можно вывести формулу извлечения корняй степени из комплексного числа. Однако для этого надо ввести сначала понятие корня.

Определение 1.Корнемй степени из комплексного числаназывается такое комплексное числоя степень которого равнаОбозначение:Таким образом,

Пусть Имеем (при )

Значит, Изменяя здесьвидим, что различные значения корняй степени получаются приДальнейшее изменениепривело бы к уже полученным значениямЕсли жето, очевидно,Мы доказали следующий результат.

Теорема 1.Если то кореньимеет ровноразличных значений:Еслитоимеет только одно значение, равное нулю.

Например,

Приведем примеры простейших множеств точек на комплексной плоскости:

а) -- окружность с центром в точкерадиусом;

б) -- открытый круг с центром в точкерадиусом;

в) -- внешность открытого круга с центром в точкерадиусом;

г) -- открытое кольцо с центром в точке;

д) -- луч с началом в точке, идущий под угломк положительному направлению действительной оси;

е) -- внутренность неограниченного открытого сектора с вершиной в точкеи углом;

ж) -- прямая, параллельная мнимой оси, проходящая через точку;

з) -- прямая, параллельная действительной оси, проходящая через точку

и) вертикальная полоса между прямымии

к) горизонтальная полоса между прямымии

Рекомендуем сделать рисунки всех перечисленных множеств. В качестве упражнения попробуйте записать аналитически (в виде уравнений или неравенств) приводимые ниже множества на комплексной плоскости³

Рис. 2

Понятие окрестности точки вводится также, как и в действительном анализе.

Определение 2. окрестностью точки называется открытый круг

с центром в точке радиуса.Проколотой окрестностью точкиназывается множество

Определение 3.Точканазываетсявнутренней точкоймножестваесли она входит ввместе с некоторой своей окрестностью. Если все точки множествавнутренние, тоназываетсяоткрытым множеством.

Определение 4.Точканазываетсяграничной точкоймножестваесли в любой окрестности этой точки имеются как точки, принадлежащиетак и точки, не принадлежащиеМножество всех граничных точекобразуетграницуОбозначение:

Определение 5.Множествоназываетсясвязным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, не выходя изМножествоназываетсяодносвязным,если любой замкнутый контур, лежащий вможно стянуть в точку, не выходя изИ, наконец, множествоназываетсясвязным,если его границасостоит изпопарно не пересекающихся между собой замкнутых контуров.

Определение 6.Любое открытое связное множество называетсяобластью. Областьназываетсяограниченной, если существует круг, охватывающий областьВ противном случае областьназываетсяне ограниченной.

Пусть идве области на комплексной плоскостипричемнаходится в плоскостиав плоскости

Определение 7.Говорят, что задана функцияотображающая областьв областьесли каждому числупоставлено в соответствие одно или несколько комплексных чиселпо законуПри этомназываетсяобластью определенияфункцииЕсли каждомупоставлено в соответствие единственное числото говорят, что функцияоднозначна; в противном случае функциямногозначна. Функция называетсяоднолистнойв области если

Например, функция однозначная, но не однолистная, а функциятрёхзначная. Функцияоднозначная и однолистная.

Поскольку каждое комплексное число вполне определяется своей действительной и мнимой частью, то функцию комплексной переменной можно записать в виде

Например, функцию можно записать в указанном виде, если в ней выделить действительную и мнимую части:Здесь

Частные типы комплексных функций:

а) комплексная последовательность:

б) комплексная функция действительного аргумента:

С последней функцией мы встречались в главе 4 при рассмотрении комплексных решений дифференциальных уравнений. Такие функции часто используются при задании кривых в комплексной плоскости. Например, уравнение описывает уравнение окружности в плоскостирадиусаи с центром в точке