- •3 Семестр (часть 1). Дифференциальные уравнения
- •1. Общие понятия
- •3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения
- •1. Линейные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольной постоянной
- •2. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее решение и общий интеграл
- •3. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •1. Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Вронскиан. Исследование линейной независимости с помощью вронскиана
- •3. Структура общего решения однородного дифференциального уравнения
- •Лекция 4. Общее решение неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа. Комплексные решения дифференциальных уравнений. Построение фундаментальной системы решений
- •1. Структура общего решения неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
- •2.Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
- •3. Комплексные решения дифференциальных уравнений. Линейная независимость комплексных решений
- •Лекция 5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера и метод подбора вычисления частных решений неоднородных уравнений
- •1. Метод Эйлера построения общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения
- •2. Построение общего решения однородного дифференциального уравнения в случае кратных корней характеристического уравнения
- •3. Построение общего решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора частного решения неоднородного уравнения
- •Алгоритм 2 (метода подбора)
- •Лекция 6. Комплексные числа и действия над ними. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Элементарные функции комплексного переменного и действия над ними
- •1. Извлечение корня й степени из комплексного числа. Множества в комплексной плоскости
- •2. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
- •Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции
- •1. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитичность функции
- •2. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
- •Лекция 7. Интеграл от функции комплексного переменного. Теорема Коши и для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши. Существование всех производных для аналитической функции
- •2. Теорема Коши для односвязной области и многосвязной области. Интегральная формула Коши
- •3. Первообразная функции комплексных переменных
- •Лекция 8. Ряды в комплексной области. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Лорана
- •1. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Лорана
- •Лекция 8. Изолированные особые точки. Ряды Лорана для функций, аналитических в кольце
2. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
Пусть функция дифференцируема в точкеиПри отображениивекторисходящий из точкипереходит в бесконечно малый векторисходящий из точкиа гладкая криваяпереходит в гладкую кривую(см. рис. 8). Посколькуто выполняются одновременно следующие соотношения:
Отсюда следует, что с точностью до выполняются равенства
Эти равенства позволяют сделать следующие выводы (геометрический смысл модуля и аргумента производной):
Эти равенства позволяют сделать следующие выводы (геометрический смысл модуля и аргумента производной):
а) модуль равен коэффициенту растяжения (сжатия) бесконечно малого вектораисходящего из точкипри отображении
б) аргумент равен углу поворотабесконечно малого вектораисходящего из точкипри отображении
Эти утверждения верны для произвольного бесконечно малого вектора исходящего из точкипричем утверждение б) будет верно для любых гладких кривыхисходящих из точки(в этом случае векторкасается кривойв точке). Еслиидве гладкие кривые, исходящие из точкито из утверждения б) следует, что при отображенииони развернутся на один и тот же угол, т.е. угол между кривымиипри отображениисохраняется. Более того, сохраняется и направление этого угла. Исходя из сказанного, вводят следующее понятие.
Определение 4.Отображениеокрестноститочкина окрестностьточкиназываетсяконформным, если оно обладает постоянством растяжения (сжатия) бесконечно малых элементови сохранением углов и их направлением между любыми двумя гладкими кривымиОтображениеназываетсяконформным в области , если оно конформно в каждой точке областии если функцияявляется аналитической и однолистной в области.
Теорема 2.Пусть функция-- однолистная и аналитическая в областиив каждой точке области. Тогда отображениебудет конформным в области.
Доказательство этого утверждения вытекает из геометрического смысла производной и ее аргумента. Например, главная ветвь логарифма является конформным отображением области} на областьКонформные отображения играют важную роль в прикладных науках. Однако подробное их изучение в нашем курсе не предусмотрено программой. Читателю, заинтересованному в более детальном ознакомлении с теорией конформных отображений, рекомендуем книгу Б.А. Фукса и Б.В. Шабата ``Функции комплексного переменного и некоторые их приложения'' (ГИФМЛ, Москва, 1959) .
Лекция 7. Интеграл от функции комплексного переменного. Теорема Коши и для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши. Существование всех производных для аналитической функции
Везде ниже, если не оговорено противное, функция предполагается однозначной в своей области определения. Пусть в плоскостизадана некоторая ориентированная кривая(начало,конец). Каждой точкеплоскостисоответствует единственное комплексное число(и обратно), поэтому будем отождествлять точкуи соответствующее комплексное числои будем писатьПусть функцияопределена на кривой. Разобьём кривуюна частичные дугиточкамив направлении ориентации кривой:
Возьмём произвольно точку и составим интегральную сумму
Обозначим диаметр разбиения.
Определение 1.Если существует конечный предел интегральных сумм:
и он не зависит от вида разбиения и выбора точек, то его называют
интегралом от функции вдоль кривой (дуги)и обозначаютПри этом функциюназываетсяинтегрируемой на кривой.
Сразу же отметим свойство ориентированности этого интеграла:
которое вытекает из того, что при ориентации кривой от довекторзаменяется на векторКроме того, интеграл от комплексной функции, очевидно, обладает свойствами линейности и аддитивности, которые мы не выписываем. Следующее утверждение позволяет свести комплексный интеграл к двум действительным криволинейным интегралам.
Теорема 1. Пусть ограниченная дуга }кусочно-гладка и лежит в областиопределения функии. Пусть, кроме того,непрерывна на дуге }. Тогда имеет место равенство
Доказательство.Преобразуем в интегральной сумме (1) слагаемое:
Тогда интегральная сумма в равенсте (1) примет вид
Здесь действительная часть является интегральной суммой для криволинейного интеграла
, а мнимая часть – интегральной суммой для криволинейного интеграла. Так как функциянепрерывна на дугето на этой дуге непрерывны ее действительная частьи мнимая частьпоэтому указанные криволинейные действительные интегралы существуют. Переходя к пределу в равенстве (7) приполучаем равенство (2). Теорема доказана.
Из этой теоремы вытекают свойства линейности, аддитивности и другие свойства комплексного интеграла. В частности, справедлива теорема об оценке интеграла.
Теорема 2.Если функция непрерывна на кусочно-гладкой ограниченной кривойто имеет место неравенство
где -- длина дуги
Из теоремы 1 вытекает также следующее утверждение.
Теорема 3.Пусть дуга задана параметрически уравнением
причем функция непрерывна на отрезкеи дугаориентирована по возрастанию параметра(т.е.-- начало,конец дуги). Пусть, кроме того, функциянепрерывна на дуге.Тогда имеет место равенство
В качестве примера вычислим интеграл, имеющий широкое применение в дальнейшей теории интеграл Покажем, что
Имеем
Если то Если то
Равенство доказано.