Лекция 8. Изолированные особые точки. Ряды Лорана для функций, аналитических в кольце

Сначала введём следующее понятие.

Определение 3.Ряд вида

называется двухсторонним степенным рядом.

Ряд вида (5) сходится в области, в которой сходятся одновременно ряды

Ряд (6) сходится в области , т.е. вне замкнутого круга с центром в точке и радиуса, а ряд (7) – в круге. Поэтому: если 1), то ряд (5) расходится всюду; 2) если, то ряд (5) сходится в кольце.

Пример 1⁵.Определить область сходимости ряда

Решение.Для первого из рядов имеем, Следовательно,. Значит, первый ряд сходится в области. Для второго ряда имеем. Радиус его сходимостиЗначит, второй ряд сходится в области. Таким образом, исходный двухсторонний ряд ряд сходится в кольце.

Ранее была доказана теорема 2, из которой следует, что если функция аналитична вто в окресности любой точкиона не может быть представлена в виде двухстороннего степенного ряда (5). Какие же функции представляются такими рядами? Ясно, что такие функции должны терять аналитичность в точкет.е. эта точка должна быть особой дляДадим более точное понятие особой точки.

Определение 4. Говорят, что точкаявляетсяизолированной особой точкой для функции если сушествует проколотая окрестностьтакая, что функцияаналитична вно в самой точкеона либо не определена, либо на аналитична.

Определение 5. Изолированная особая точкафункцииназываетсяустранимой особой точкой, если существует конечный пределЕслито точканазываетсяполюсом. Полюсназываетсяполюсом го порядка, если существует конечный пределИ, наконец, точканазывается существенно особой точкой дляесли не существует ни конечный, ни бесконечный предел

Нетрудно видеть, что если функция аналитична в точкето она разлагается в степенной рядабсолютно сходящийся в круге с центром в точкеи с радиусом, равным расстоянию отдо ближайшей особой точкифункции.

Следующее утверждение устанавливает условия разложимости функции в двусторонние степенные ряды.

Теорема Лорана. Если функция аналитична в кольце

то в любой точке этого кольца она разлагается в двухсторонний степенной ряд

абсолютно сходящийся к При этом коэффициенты ряда (8) вычисляются по формулам

где любой кусочно-гладкий замкнутый контур, лежащий в кольце, охватывающий точкуи обходимый против часовой стрелки.

Доказательства этого утверждения основано на применении интегральной формулы Коши и проводится по аналогии с доказательством теоремы Тейлора.

Заметим, что ряд (8) называется рядом Лорана для функции При этом его составляющая состоящая из отрицательных степеней двучленаназывается егоглавной частью,а составляющаясостоящая из неотрицательных степеней двучлена–правильной частьюряда Лорана (8) . На следующей лекции будет установлена связь типа изолированной особой точки функциии разложением в окрестности этой точки в ряд Лорана функции. Рассмотрим примеры⁶.

Пример 2. Разложить функциюв ряд Лорана в кольце.

Решение. Надо представить функцию в виде ряда Преобразуем данную функцию:

.

Первые два слагаемых в правой части (₉) имеют нужный вид, так как представляют собой степени разности. Последниедва слагаемых запишем в виде: ,.

Применив формулу 1 таблицы 1, будем иметь

.

Дифференцированием по находим, что

.

Подставляя найденные разложения в формулу (₉), получаем представление функциив кольцев виде ряда Лорана:

.

Пример 3. Разложить в ряд Лорана функциюв окрестности.

Решение. Используем разложение (см. таблицу 1). Полагая в нём, будем иметь.

Это разложение справедливо для любой точки . В данном случае "кольцо" представляет собой всю комплексную плоскость с одной выброшенной точкой.

Пример 4.Получить различные разложения в ряд Лорана функциис учетом её особых точек.

Решение. Функция имеет две особые точки:и. Следовательно, имеется три кольца с центром в точке, в каждом из которых является аналитической: а) круг; б); в)– внешность круга. Найдем ряды Лорана для функциив каждом из этих колец. Представим предварительно функцию в виде суммы простейших дробей:

.

а) Разложение в круге . Преобразуем (₁₀) следующим образом:

.

Используя формулу 1 из таблицы 1, получаем

.

Подставляя эти разложения в (₁₁), приходим к разложению

Это разложение есть разложение в ряд Тейлора функции.

б) Разложение в кольце . Ряддля функцииостается сходящимся в этом кольце, так как . Ряддля функциирасходится для. Поэтому преобразуемследующим образом:

.

Применяя формулу 1 таблицы 1, получаем разложение

.

Этот ряд сходится, если, т.е. при. Подставляя найденные разложения получим, что

.

в) Разложение для . Ряддля функцииприрасходится, а ряд для функциисходится, так как, если, то и подавно. Функцию представим в таком виде:

.

Используя формулу 1 таблицы 1, получаем,что

.

Пример 4. Разложить в ряд Лорана функциюв окрестности ее особых точек.

Особые точки функции: .

а) Разложение в окрестности точки, т.е. в кольце. Представим функциюв виде суммы простейших дробей:.Правую часть преобразуем так: . Применяя разложение 7), в которомзаменим на –, получимили.

б) Разложение в окрестности точки, т.е. в кольце. Имеем

.

1 Здесь отрезок может быть заменен на промежутки причем могут быть равными

2 Функции и называют ещё коэффициентами уравнения (5).

3 Рисунки взяты из http://www.bestreferat.ru/referat-110504.html

4Очевидно, что

5См. учебное пособие “Острая О.В. Теория функций комплексного переменного.– Оренбург, 2008”.

6См. учебное пособие “Острая О.В. Теория функций комплексного переменного.– Оренбург, 2008”.

117