![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Федеральное агентство по образованию
- •1. Двойные интегралы
- •1.1. Задача об объеме цилиндрического бруса
- •1.2.Определение двойного интеграла
- •1.3. Свойства двойного интеграла
- •1.4. Сведение двойного интеграла к повторному интегралу
- •1.5. Вычисление двойных интегралов
- •1.5.1. Вычисление двойных интегралов в декартовых координатах
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.5.2. Замена переменных в двойных интегралах
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.6. Приложения двойных интегралов к геометрии и механике
- •1.6.1.Вычисление площадей плоских фигур
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.6.2. Вычисление объемов тел
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.6.3. Вычисление площадей поверхностей
- •Решение
- •Решение
- •1.6.4. Некоторые приложения двойных интегралов к механике
- •Решение
- •Решение
- •2.2. Определение тройного интеграла
- •2.3. Свойства тройного интеграла
- •2.4. Вычисление тройных интегралов
- •2.4.1. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •2.4.2. Замена переменных в тройных интегралах
- •2.5. Приложения тройных интегралов
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Литература
- •Содержание
- •214013 Г. Смоленск, Энергетический проезд, 1
1.6.2. Вычисление объемов тел
ПРИМЕР 1. Вычислить
объем прямого бруса, ограниченного
сверху параболоидоми имеющего основанием квадрат, ограниченный
в плоскости
прямымиx= ±1,y= ±1.
Решение
Прежде всего,
делаем чертеж (рис.1.24). В данном случае
подынтегральной функцией будет
.
Она всюду положительна на указанном
квадрате.
Рисунок. 1.24
Так как основанием бруса служит прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям OxиOy, то пределы интегрирования по обеим переменным постоянны. По формуле (1.2*)
получим:
V==
=
=
=
=
–
= 13
.
Замечание.
Задачу вычисления интеграла можно
упростить, используя симметричность
бруса относительно координатных
плоскостейи
,
т.е. записав
.
ПРИМЕР 2.Вычислить объем шара, ограниченного сферой
.
Решение
В силу симметричности данного шара относительно координатных плоскостей, очевидно, достаточно ограничиться вычислением объема его восьмой части, расположенной в первой октанте (рис. 1.25).
Рисунок. 1.25
Подынтегральной
функцией будет
(корень берем с положительным знаком
потому, что рассматриваемая часть шара
расположена над плоскостьюxOy).
Чтобы установить пределы интегрирования в формуле (1.2*), необходимо сначала установить область интегрирования. Она ограничена пересечением плоскостиxOyс поверхностью шара. Чтобы получить это пересечение, положим в уравнении поверхности шараz= 0.
Полученная
окружность
и будет контуром области задания
функции
.
При нашем упрощении
задачи областью интегрирования будет
часть круга, расположенная в первой
четверти плоскости xOy.
Взяв постоянные пределы интегрирования
поx (0 ≤x≤R), получим пределы
поy: 0 – нижний,- верхний. По формуле (6) будем иметь:
.
Для вычисления
внутреннего интеграла сделаем
подстановку.
Тогда
и
(пока xпостоянная!). Следовательно,,
откуда
ЗАМЕЧАНИЕ. Можно было воспользоваться и переходом к полярной системе координат.
ПРИМЕР 3.Вычислить объем тела, ограниченного
снизу плоскостью xOy,
сверху плоскостью,
с боков цилиндрической поверхностью
и плоскостью
.
Рисунок. 1.26
Решение
Данное тело
изображено на рисунке 1.26. Подынтегральная
функция
.
Область интегрирования (D)
ограничена прямой
и параболой
.
При определении пределов интегрирования
пользуемся уже известным приемом.
Получим
и по формуле (1.2*)
V==
=
=
=
=
=
=
.
ПРИМЕР 4.Оси двух круговых цилиндров с одинаковыми поперечными сечениями пересекаются под прямым углом. Вычислить объем общей части этих цилиндров.
Решение
Обозначим радиус
поперечного сечения каждого из цилиндров
через r. Выберем
прямоугольную систему координат в
пространстве таким образом, чтобы оси
цилиндров совпадали с осямиOyиOz. Тогда уравнения
цилиндрических поверхностей будут
иметь вид:- цилиндрическая поверхность с осью
симметрииOy,
- цилиндрическая поверхность с осью
симметрииOz. На рисунке
(1.27) отмечена одна восьмая часть тела,
получаемого указанным сечением двух
цилиндрических тел.
Рисунок. 1.27
Подынтегральной
функцией будет, очевидно, разрешенное
относительно yуравнение
поверхности цилиндра с осью симметрииOy, т.е..
Проектируя ее часть, отрезанную второй
поверхностью и содержащуюся в первом
октанте, получим область интегрирования
при вычислении объема выделенной на
рисунке части тела. Ею будет часть круга
,
расположенная в первой четверти плоскостиxOy. Если поxвзять постоянные пределы (
),
то поy будут
пределами: 0 - нижний предел, а
- верхний. Тогда
=
=
=r3–
=
.
Следовательно,
ПРИМЕР 5.Вычислить объем тела, ограниченного
поверхностями