![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Федеральное агентство по образованию
- •1. Двойные интегралы
- •1.1. Задача об объеме цилиндрического бруса
- •1.2.Определение двойного интеграла
- •1.3. Свойства двойного интеграла
- •1.4. Сведение двойного интеграла к повторному интегралу
- •1.5. Вычисление двойных интегралов
- •1.5.1. Вычисление двойных интегралов в декартовых координатах
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.5.2. Замена переменных в двойных интегралах
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.6. Приложения двойных интегралов к геометрии и механике
- •1.6.1.Вычисление площадей плоских фигур
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.6.2. Вычисление объемов тел
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.6.3. Вычисление площадей поверхностей
- •Решение
- •Решение
- •1.6.4. Некоторые приложения двойных интегралов к механике
- •Решение
- •Решение
- •2.2. Определение тройного интеграла
- •2.3. Свойства тройного интеграла
- •2.4. Вычисление тройных интегралов
- •2.4.1. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •2.4.2. Замена переменных в тройных интегралах
- •2.5. Приложения тройных интегралов
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Литература
- •Содержание
- •214013 Г. Смоленск, Энергетический проезд, 1
Решение
В данной задаче о плотности ничего не упоминается. Следовательно, она предполагается постоянной и равной единице и масса фигуры численно равна ее площади. Отсюда получаем:
Рисунок. 1.32
ПРИМЕР 3.Найти
центр тяжести фигуры, ограниченной
двумя параболамии
.
Решение
Для нахождения
координат центр тяжести
достаточно вычислить по заданной области
три интеграла, определяющие массу и
статические моменты этой области
(рис.1.33):
Рисунок. 1.33
Координаты
центра
тяжести равны:
Следовательно,
.
ПРИМЕР 4.Найти момент инерции круга радиусаrотносительно точки, лежащей на окружности.
Решение
Составим уравнение окружности, проходящей через начало координат:
и вычислим момент
инерции
.
Получим:
.
Вычислим интеграл
в полярных координатах.
В полярной системе
координат уравнение данной окружности
представится в виде
.
Получим:
IO=
2= 2
=
=
=
=
=
.
ПРИМЕР 5.Вычислить момент инерции площади эллипсаотносительно оси ординат.
Решение
ПРИМЕР 6.Вычислить момент инерции площади,
ограниченной параболой
и прямой
относительно прямой
.
Решение
Как видно из чертежа
(рис. 1.34), расстояние любой точки (x,y)
фигуры (D) до осибудет равно
,
а квадрат расстояния
.
Следовательно,
.
Рисунок. 1.34
2. Тройные интегралы
2.1. Задача о вычислении массы тела
Рассмотрим тело
(V),
плотность
которого известна, но переменна, т.е. в
разных точках различна, и предположим,
что нам требуется подсчитать массу
этого тела. Для этого разобьем тело (V)
произвольным образом на элементарные
тела
соответственно с объемами
и выберем в каждом из них по точке
.
Примем приближенно, что в пределах
элементарного тела
плотность постоянна и равна плотности
в выбранной точке. Тогда масса
каждого элементарного тела приближенно
выразится следующим образом:
,
масса же всего тела будет
.
В пределе, при
стремлении к нулю наибольшего из
диаметров d
всех областей
,
это равенство делается точным, так что
,
(2.1)
и задача решена.
Предел этого
вида и есть тройной
интеграл от
функции
по области
.
В принятых нами для них обозначениях
полученный выше результат запишется
так:
.
2.2. Определение тройного интеграла
Возьмем произвольную
фигуру
в пространстве, представляющую собойограниченную
и замкнутую
область. Условие существования объема
для данной области в пространстве
заключается в том, чтобы область
была ограничена одной или несколькими
гладкими
поверхностями.
В этом случае область
называют кубируемой. В дальнейшем будем
рассматривать только кубируемые области
пространства.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Ограниченная замкнутая область пространства называется телом.
Пусть в некотором
теле
задана функция
.
Разобьем это тело с помощью сети
поверхностей на конечное число
элементарных тел
соответственно с объемами
.
Выберем в каждом из них произвольным
образом по точке
.
Значение функции в этой точке
умножим на объем
и составиминтегральную
сумму для функции
по телу
.
(2.2)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.
Конечный
предел
интегральной суммы (2.2) при стремлении
к нулю наибольшего из диаметровd
всех элементарных тел
называетсятройным
интегралом функции
в области
,
если он не зависит ни от способа разбиения
тела
на элементарные тела, ни от выбора точекMk
в каждом из них:
.
Он
обозначается символом
.
Теорема
1. (необходимое
условие существования тройного
интеграла).
Если функция
интегрируема в ограниченной замкнутой
области пространства
,
то она ограничена в этой области.
Теорема
2. (достаточное
условие существования тройного
интеграла).
Если функция
непрерывна в ограниченной замкнутой
области пространства
,
то она интегрируема в ней.
Из пункта 2.1.
следует физический
смысл тройного интеграла.
Если функция
есть плотность распределения массы по
телу
,
то тройной интеграл от функции
в области
равен массе этого тела:
.