3.5. Силы в электромагнитном поле

Анализ силовых взаимодействий в электромеха­нических аппаратах требуется для установления количественных связей между электрическими и механическими величинами. В частности, для электромагнитов одной из основных характеристик является зависимость силы или момента от положения подвижного элемента для различных постоянных значений напряжения, приложенного к обмотке, или тока в обмотке. Такую зависимость называют тяговой характеристикой.

Если в результате расчета электромагнитного поля определены его источники, то расчет сил можно выполнить путем интегрирования распределенных сил, действующих на эти источники. На токи действуют силы Ампера, а на заряды ­– силы Кулона. Модели намагниченных деталей с кусочно-постоянным распределением намагниченности (см. п. 3.3.2) по элементарным объемам рассматривают как распределенные поверхностные токи или заряды (рис. 3.25). Так совокупность N элементарных объемов с поверхностями, имеющих намагниченность, эквивалентна распределенным натокам с плотностью, которые испытывают во внешнем магнитном поле с магнитной индукциейдействие результирующей силы, подобной силе Ампера

. (3.12)

Для той же совокупности объемов при использовании модели с поверхностными магнитными зарядами плотностью по аналогии с электростатическим полем справедливо выражение силы, подобное силе Кулона

, (3.13)

где – магнитная индукция и напряженность магнитного поля, созданная внешними источниками ко всей рассматриваемой совокупности объемов, т.е. предполагается, что внутри совокупности взаимодействие объемов скомпенсировано реакциями механических связей;– внешние единичные нормали к поверхностям объемов.

Если при расчете магнитного поля используют модели с объемными источниками – магнитными токами или зарядами, то в формулах (3.12), (3.13) добавляют объемные интегралы от ротора и дивергенции намагниченности:

;

. (3.14)

Алгоритм расчета предусматривает интегрирование функций намагниченности по всем элементарным объемам и их поверхностям. Дискретный характер источников вносит дополнительные трудности, так как не позволяет уменьшить общее число узлов в квадратурной формуле. Увеличение точности возможно повышением степени дискретизации ферромагнитных элементов, что приводит к квадратичному возрастанию объема вычислений как на этапе расчета распределения намагниченности, так и на этапе расчета сил.

Для расчета сил, действующих на распределенные в пространстве частицы магнитного вещества (в магнитных сепараторах, в магнитных жидкостях и др.) удобно использовать другую форму записи (3.14), полученную после тождественных векторных преобразований:

, (3.15)

где .

Эта формула подобна выражению для электростатических сил в электрически поляризованной среде и указывает на то, что сила, действующая на намагниченную частицу, пропорциональна пространственной производной напряженности магнитного поля внешних источников . В однородном магнитном поле сила равна нулю. Намагниченность частицы из магнитомягкого материала связана с напряженностью магнитного полявнутри частицы через магнитную восприимчивость и зависит от ее формы. Например, если в магнитное поле поместить стальной шарик с относительной магнитной проницаемостью и объемом(см. пример 3.5), то на него будет действовать сила,

где – направление вектора напряженности внешнего магнитного поля и вектора силы с учетом знака производной. Если частица неправильной формы, то ее вектор намагниченности не будет совпадать с направление вектора внешней напряженности поля. Сила также будет иметь другое направление в соответствии с формулой (3.15).

Если имеются программные средства для расчетов электромагнитных полей, то для определения сил в электромеханических системах часто применяют метод разделяющей поверхности. В системе выделяют с помощью замкнутой поверхности тот элемент или группы элементов, на которую действует искомая сила (рис. 3.26). Суть метода состоит в том, что отбрасывается одна из взаимодействующих частей МС, а ее влияние на напряженность поля учитывается введением поверхностных источников на разделяющей поверхности: зарядов и токов.

Расчетная формула может быть получена из векторной формулы Грина для вектора напряженности магнитного поля с учетом того, что в немагнитном пространстве

, (3.16)

где – напряженность магнитного поля, созданная оставшейся группой элементов. Нормальные и касательные составляющиеH на в (3.16) из-за подобия формул дают вклад в поле такой же, как простой слой магнитных зарядов и простой слой магнитных токов плотностьюисоответственно. Следовательно, согласно (3.12), (3.13) на жесткую поверхностьдействует результирующая сила, которая может быть вычислена по формуле

. (3.17)

Сила, действующая на поверхностьсо стороны первой оставшейся группы элементов, равна по значению и противоположна по знаку силе, действующей на эту группу элементов в магнитном поле, созданном зарядами и токами на, т.е в поле второй отброшенной группы элементов. Если оставить направление нормали ктакое же, как в (3.17), и повторить вывод при отбрасывании первой группы элементов для действующей на поверхностьсилы можно записать подобное выражение:

. (3.18)

Сложив почленно равенства (3.17) и (3.18) и учитывая, что , получаем

. (3.19)

Раскрыв в (3.19) двойное векторное произведение, приводим к известной формуле Максвелла для пондеромоторной силы

. (3.20)

У магнитных систем с малым немагнитным зазором между взаимодействующими деталями, например в электромагните клапанного типа, формула (3.20) может быть приближенно сведена к более простой

, (3.21)

где — магнитный поток, проходящий между деталями в немагнитном зазоре через поперечное сечение трубки этого потока с площадью. Основные допущения: в трубке потока магнитная индукция постоянна; сила направлена вдоль образующей трубки. Если взаимодействующие группы деталей имеют в немагнитном зазоре несколько таких трубок и другими магнитными потоками пренебрегаем, то результирующая сила будет равна векторной сумме сил, рассчитанных во всех трубках.

Силы в магнитном поле могут быть определены по изменению магнитной энергии (энергетический метод), соответствующему работе при малых перемещениях деталей системы. Например, для электромагнита баланс энергии от момента включения источника электрической энергии до рассматриваемого момента времени можно записать в виде соотношения

,

где – энергия, полученная от источника;– потери энергии, включающие тепловые от протекания тока (в проводе катушек и вихревых токов), механические от трения и т.п., а также полезную работу устройства;– магнитная энергия, полученная электромагнитом.

Магнитную энергию вычисляют как сумму энергий всех катушек электромагнита по известным вебер-амперным характеристикам для зафиксированного положения всех деталей. Предположим, электромагнит имеет только одну катушку и в данном положении якоря его вебер-амперная характеристика – зависимость потокосцепления катушки от перемещения, соответствует кривой 1 на рис. 3.27. Если потокосцепление катушки равно , то запасенная магнитная энергия равна интегралу от тока в катушке по потокосцеплению. Переместим якорь электромагнита на малое расстояние(виртуальное перемещение). Изменится вебер-амперная характеристика катушки электромагнита (кривая 2 на рис. 3.27) и ее потокосцепление станет. При этом будет совершена работа внешними силами против сил электромагнита. Приращение энергии источниказа вычетом приращения энергии потерьопределит приращение магнитной энергии, полученной от источника, которая частично израсходуется на совершения работы по перемещению якоря и изменит магнитную энергию электромагнита

где – приращение магнитной энергии;– изменение магнитной энергии электромагнита;– работа внешних сил по перемещению якоря;– магнитная сила в направлении перемещения. Если при перемещении поддерживать постоянное потокосцепление катушки, то, т.е. источник не участвует в изменении магнитной энергии.

Для линейных вебер-амперных характеристик: . Приполучаем, что

,

или для предельно малых перемещений

,

где– суммарное магнитной сопротивление магнитной цепи электромагнита относительно МДС катушки;L – индуктивность катушки при рассматриваемом положении якоря; N – число витков катушки. Производные всех параметров вычисляются при .

Выражение для магнитной энергии можно преобразовать, используя метод интегрирования по частям:

,

тогда: .

Для такой формы записи удобно принять, что перемещения осуществляются при поддержании тока неизменным , когда последний интеграл в формуле работы равен нулю. При линейных вебер- амперных характеристиках электромагнита получаем аналогичные формулы для магнитной силы, что и при.

Если материал сердечника электромагнита имеет магнитный гистерезис, то расчеты изменения энергии должны быть выполнены по частным циклам перемагничивания.

31. Расчет потерь на вихревые токи в электромагните.

Ответ.

ЭДС определяют дифференцированием по времени потокосцепления: . При анализе процессов в частотной области для синусоидальных полей в линейных средах используют комплексную форму записи индуцируемой в катушке ЭДС:. Если изменение потокосцепления вызвано изменением собственного тока в катушке, то возникающую ЭДС можно представить виде напряжений на эквивалентных сопротивлениях резистораи катушки индуктивности:

,

где определяется мнимой частью потокосцепления, а— действительной частью потокосцепления. В эквивалентной схеме электрической цепи вместо ЭДС включают резистор и катушка индуктивности, напряжение на которых равно и имеет обратный знак индуцированной в катушке ЭДС, вызванной изменением потокосцепления от собственного тока и всех вторичных процессов, инициированных этим током: индуцированные токи и перемагничивание сердечников катушек. При этом вторичные процессы линеаризуют (обычно приближенно). Мощность потерь равна выделяемой мощности на этом резисторе и последовательно включенном с ним резисторе, имеющем сопротивление провода на постоянном токе.

Другой подход к определению потерь.

Пусть J - модуль плотности индуцированных токов в сердечнике, γ - электрическая проводимость материала сердечника, V - объем сердечника, тогда мощность потерь в сердечнике из-за индуцированных токов можно определить интегралом по объему

33. Способы нахождения потенциалов узлов в МКЭ на примере электростатического поля.

34. Формирование системы расчетных уравнений в МКЭ на примере электростатического поля.

Эти два вопроса я исключил из экзамена.

Кому интересно - может посмотреть учебник: К.С.Демирчян, В.Л.Чечурин Машинные расчеты электромагнитных полей (1986)

36. Как представить модель однородно намагниченного объема V с поверхностью S для расчета напряженности магнитного поля в виде распределенных фиктивных магнитных зарядов?

Ответ.

Из учебного пособия.