П3. Расчет коэффициентов матричных уравнений

Расчет коэффициентов и формирование матриц систем уравнений — наиболее трудоемкая для программирования и громоздкая при расчетах часть задачи, особенно для трехмерных конструкций.

Последовательность выполняемых в программе операций следующая: задаются все требуемые положения точки наблюдения в центрах элементарных объемов или на элементарных площадках, затем каждому положению точки наблюдения ставится в соответствие одна или три строки матрицы в зависимости от типа решаемого уравнения и рассчитываются коэффициенты матрицы для каждой компоненты скалярного или векторного источника поля.

Для задания координат точки наблюдения организуются циклы: по номерам шестигранников, по полосам разбиения их на элементарные объемы, по осевым симметричным образам в ЛСК и ИСК и по периодическим симметричным образам, причем циклы по осевым и периодическим симметричным образам в ИСК имеют место, когда симметрия только геометрическая.

В случае полной симметрии уравнения записываются для точек наблюдения, располагаемых в одной симметричной части системы, а коэффициенты матриц, относящиеся к симметричным элементам, суммируются со знаками, определяемыми характером симметрии. При геометрической осевой и периодической симметрии в ИСК координаты точки наблюдения определяются в подвижной системе координат, отслеживающей за рассматриваемым образом. Параметры циклов однозначно задают расположение рассматриваемого элементарного объема и позволяют провести вычисления координат вершин и центральной точки.

Для каждой точки наблюдения рассчитываются коэффициенты, составляющие строки матрицы, и запоминаются в специальном служебном массиве — блоке обмена, находящемся в оперативной памяти компьютера. Он необходим для промежуточного хранения информации, поскольку для всех рассчитываемых матриц в основной памяти недостаточно места. При полном заполнении блока обмена данные переписываются на внешнее устройство компьютера. Далее блок обмена зануляется, в него заносятся следующие коэффициенты и т. д.

В основе алгоритма расчета коэффициентов вычисление поверхностного интеграла по четырехугольнику с двумя параллельными сторонами или по треугольнику от функций и. Все интегралы сводятся к двукратному интегралу, у которого внутренний интеграл имеет простое аналитическое выражение. Интегрирование выполняется в текущей системе координат(ТСК), ориентированной по отношению к трапециевидной площадке так, как это показано на рис. П10.

Рис. П10. Ориентация текущей системы координат при интегрировании

Тогда поверхностный интеграл преобразуется к виду

,

где G — подынтегральная функция, записанная в ТСК; и— уравнения линий АВ, CD на рис. П10 — соответственно верхний и нижний предел интегрирования по координате;

F — первообразная внутреннего интеграла (табл. П1).

Второй интеграл по также имеет аналитическое выражение, но если площадка интегрирования отличается от прямоугольника, аналитические выражения становятся слишком громоздкими и для допустимой погрешности применение численного интегрирования выглядит предпочтительнее по объему вычислительных операций.

Для частного случая прямоугольных площадок аналитические выражения двукратных интегралов, приведенные в табл. П2, достаточно просты и использование их в программе существенно уменьшает время счета.

При анализе плоскопараллельных полей поверхностные интегралы в уравнениях трансформируются в линейные, которые также имеют простые аналитические выражения (табл. П3). В этом случае интегрирование удобно выполнять в ТСК, у которой ось ориентирована параллельно отрезку интегрирования.

Аналитические выражения однократных интегралов

Т а б л и ц а П1

Функции
Подынтегральные	Первообразные

Выражения поверхностных интегралов для прямоугольных площадок

Т а б л и ца П2.

Функции
Подынтегральные	Первообразные

Аналитические выражения линейных интегралов

Т а б л и ц а П3

Функции
Подынтегральные	Первообразные

П р и м е ч а н и е. Формулы даны для интегрирования в ТСК (штрихи у координат опущены). Принятые обозначения: .

Так как расчет коэффициентов матриц вынужденно строится по циклической схеме, а численное интегрирование выполняется в самом внутреннем цикле, то к этой части алгоритма и реализующей его программе предъявляется требование — число выполняемых операций должно быть минимальным, но, естественно, не в ущерб точности вычислений. При заданной погрешности интегрирования число необходимых операций, определяемое числом узлов используемой квадратурной формулы, зависит от подынтегральных функций. Характер подынтегральных функций таков (см. табл. П1), что их значение и значения их высших производных быстро убывают при удалении точки наблюдения от точки интегрирования в направлении координатных осей у' и z^ (координата х' не является независимой переменной согласно формуле (1)). В связи с этим использование симметричных квадратурных формул, например формулы Гаусса, на всем отрезке нерационально и экономию времени вычислений можно ожидать в алгоритме, который имеет переменный шаг интегрирования, увеличивающийся при удалении точки наблюдения, т. е. при расчете по формуле вида

,

где N — число подынтервалов, на которые разбит весь отрезок интегрирования; — весовой коэффициент;— длинаk-го подынтервала; выражение в скобках — квадратурная формула с p узлами.

Оптимальный алгоритм интегрирования должен решать следующую задачу: определять наибольшую длину текущего подынтервала , которая обеспечивает заданную точность интегрирования при использовании выбранной квадратурной формулы, одинаковой для всех подынтервалов. Упрощенный алгоритмический прием предполагает априорное задание закона измененияв зависимости от удаления точки интегрирования. Подбор закона производится на основе анализа подынтегральных функций, а окончательная проверка и настройка точности интегрирования осуществляются на тестовых задачах, имеющих простое аналитическое решение.

В рассматриваемой программе длина текущего подынтервала интегрирования в ТСК рассчитывается по формуле

,

а начальный подынтервал при известном общем числе подынтервалов определяется из условия о размещении в отрезке [a, b] целого числа подынтервалов N, т. е.

.

В программе для каждого конкретного отрезка интегрирования вычисляется необходимое число подынтервалов путем решения неравенства относительно N на подмножестве натуральных чисел

,

где в левой части стоит проекция радиуса-вектора на плоскость в ТСК, т. е. решается задача нахождения наименьшегоN, при котором выполняется это неравенство. С вычислительной точки зрения такая задача содержит незначительное число операций. Суммарная погрешность интегрирования с использованием приведенных соотношений при учете накопления погрешностей на подынтервалах лежит в пределах 0,01 … 0,05 %. Уменьшение погрешности интегрирования достигается усилением неравенства. При попадании точки наблюдения внутрь отрезка он разбивается на два,, интегралы для них вычисляются раздельно и суммируются. Если при этом ит. е. точка наблюдения лежит на площадке интегрирования, то интеграл становится несобственным; интегрирование его по приведенному алгоритму затруднено. Чтобы исключить этот эффект, применяется искусственное смещение точки наблюденияQ по на малое расстояние от площадки интегрирования, после чего алгоритм работает без затруднений. В то же время такой прием не вызывает заметной дополнительной погрешности.

43. Как строится модель для расчета напряженности магнитного поля для намагниченной детали из магнитомягкого материала с постоянной относительной магнитной проницаемостью с использованием простого слоя фиктивных магнитных?

Ответ. Этот вопрос я исключил. Для тех, кто интересуется: