Конспект_ИЭЭ_14

90

Лекция 11

2.6.2. Фазовое пространство
Состояние частицы определяется 6 микропа-	z
раметрами: xi, yi, zi; vxi, vyi, vzi (РИС. 11.1). Микро-
		mi
состояние системы определяется 6N микропа-
раметрами (N – число частиц в системе).
Фазовое пространство – 6-мерное простран-
ство координат и скоростей (импульсов). Фа-
зовое пространство можно разбить на области
(фазовые ячейки). Размер ячейки не детер-
минирован в классической физике, но опреде-	O	y
лён в квантовой механике (см. РАЗДЕЛ 6.1.5).
Изобразительная точка – точка в фазовом	x
пространстве, эквивалентная молекуле.
В классической физике тождественные части-		Рис. 11.1
цы различимы – изобразительные точки мож-
но пронумеровать.

Микросостояние задаётся распределением изобразительных точек (по номерам) по фазовым ячейкам.

Макросостояние задаётся количеством изобразительных точек в каждой фазовой ячейке.

2.6.3. Термодинамическая вероятность

Термодинамическая вероятность (статистический вес) W макросостояния – число микросостояний, которым может быть реализовано данное макросостояние. Термодинамическая вероятность – функция состояния системы.

Все микросостояния считаются равновероятными. Вероятность i-го макросостояния

	P	W
		i
	i	W
		0

,

где W0 – статистический вес макросистемы – число возможных микросостояний данной макросистемы.

Равновесному состоянию соответствует макросостояние, которое реализуется наибольшим числом микросостояний (статистический вес Wmax).

Любая термодинамическая система стремится к состоянию с максимальной термодинамической вероятностью. Любой самопроизвольный термодинамический процесс идёт в сторону возрастания термодинамической вероятности.

ПРИМЕРЫ

1) Распределение четырёх изобразительных точек по двум фазовым ячейкам

Число изобразительных точек (молекул) N = 4, число фазовых ячеек n = 2 Распределение показано в ТАБЛ. 11.1.

					91
								Таблица 11.1
				Левая	Правая
Число изобразительных точек в ячейке
0	4
								1 микросостояние
	
1	3
								4 микросостояния
2	2
					…			6 микросостояний

				С	2		4!			2 3 4	6
							2! 4	2 !
					4					2 2
3		1
				…								4 микросостояния
4		0
				…								1 микросостояние
	Микросостояние				Число микросостояний =							Вероятность
						= статистический вес
	левая ячейка		правая ячейка									макросостояния
							макросостояния
	0		4						1			1/16
	1		3						4			1/4
	2		2						6			3/8
	3		1						4			1/4
	4		0						1			1/16

Статистический вес макросистемы

W0 16 24

nN

.

Видно, что наиболее упорядоченные макросостояния (0 и 4, 4 и 0) наименее вероятны, а наименее упорядоченное (5 и 5) – наиболее вероятно.

2) Распределение десяти изобразительных точек по двум фазовым ячейкам

N = 10, n = 2

Статистический вес макросистемы

W0 210

1024

.

Наиболее вероятное макросостояние:

5 5

Статистический вес этого макросостояния

92

W	С	5		10!
5,5	10			5! 10 5 !

Наименее вероятные макросостояния:

252

.

	0	10		10	0

Статистический вес этих макросостояний

W	W
0,10	10,0

1

.

3) Распределение 1025 изобразительных точек по двум фазовым ячейкам

N = 1025, n = 2

Статистический вес макросистемы

W0

2	25
10

.

(Студентам предлагается самостоятельно найти вероятности отдельных макросостояний в ПРИМЕРЕ 2, вероятность наименее вероятного состояния в ПРИМЕРЕ

3.)

2.6.4. Статистический смысл энтропии

Пусть имеются две термодинамические системы, имеющие статистические веса W1 и W2. Объединим эти системы в одну. Статистический вес объединённой системы

W W W
1	2

– термодинамическая вероятность не обладает свойством аддитивности. Аддитивная величина – логарифм термодинамической вероятности:

lnW

lnW1

lnW2

.

Энтропия

S klnW

– мера неупорядоченности термодинамической системы.

Можно доказать, что два определения энтропии – термодинамическое (см. РАЗДЕЛ 2.6.1) и статистическое – эквивалентны.

2.6.5. II начало термодинамики

II начало термодинамики указывает направление протекания термодинамических процессов. Оно не следует из фундаментальных физических законов.

Существует много формулировок II начала термодинамики, все они эквивалентны. Приведём три из этих формулировок.

1.В замкнутой (изолированной) термодинамической системе все процессы идут в сторону возрастания энтропии.

2.Невозможен термодинамический процесс, единственным результатом которого была бы передача тепла от менее нагретого тела к более нагретому.

3.Невозможен вечный двигатель II рода31, т. е. двигатель, который превращал бы всё подведённое к нему тепло в работу без каких-либо изменений в других телах.

31 Вечный двигатель I рода – двигатель, совершающий работу без подвода энергии.

93

Возможны (но маловероятны) самопроизвольные отклонения термодинамических систем от равновесного состояния – флуктуации.

2.6.6. Изменение энтропии в термодинамических процессах

В неизолированной системе энтропия может как возрастать, так и убывать.

Обратимые процессы идут при максимальной энтропии, причём

или

δQ
dS
	T
		обрат

	2	δQ
S2 S1
	1	T



обрат

.

В необратимом процессе dS δQT , так как приращение энтропии обусловлено

двумя процессами – подводом тепла и переходом системы к равновесному состоянию.

Равновесный адиабатный процесс – изоэнтропический процесс (δQ = 0 → dS = 0).

ПРИМЕР

Изменение энтропии идеального газа

Идеальный газ переходит из состояния с параметрами p1, V1, T1 в состояние с параметрами p2, V2, T2. Найти изменение энтропии газа.

Так как энтропия – функция состояния системы, то результат не должен зависеть от того, каким способом происходит переход из начального в конечное состояние. Перейдём из состояния 1 в состояние 2 обратимым образом. Как обсуждалось РАНЕЕ, возможны два обратимых процесса – квазистатический адиабатный и изотермический процессы. Поэтому точки 1 и 2 на диаграмме РИС. 11.2А мы соединим изотермой и адиабатой через промежуточное состояние 3:

1-3 – изотермический процесс,

3-2 – адиабатный процесс.

На РИС. 11.2Б изображены графики тех же процессов в координатах (T, S).

Рассчитаем изменение энтропии:

		2	δQ
	S12		T
	1			обрат

3δQ

1 T1

2δQ

3 T

0

.

В изотермическом процессе 1-3 δQ = δA = pdV, а

	3	pdV		p V		3	dV
	S12
				1	1
	1	T		T		1	V
		1		1

pV = p1V1

		p V		ln	V	.
		1	1		3
		T			V
		1			1

	p	p V
		1	1
		V

;

(11.1)

94

p

1	2	T	2

	3						1	3
0	V					0		S
	а						б
		Рис. 11.2
Найдём V3 из уравнений адиабатного и изотермического процессов:
	p V			p V	,
		1 1		3 3
			γ	p V	γ
	p V					.
		2 2		3 3
Разделим нижнее уравнение на верхнее:
						1	γ

		p	V	γ
V γ 1
		2	2
3		p	V
		1		1

	p		γ 1	V	γ 1
V		2		2
3		p			1
					γ 1
		1		V
				1

.

Выразим показатель адиабаты γ через число степеней свободы i молекулы:

	γ	i 2
		i

γ

1

i2 i

V3

1

	p
		2
		p
		1

 

2			γ
	,					i 2 i
i		γ 1				i 2
i		i 2
2 V		2	.
	2
		i
	V 2
		1

i

2 2

;

Подставим это выражение в формулу (11.1):

			p			i			i 2						i
	p V					2 V			2					p V					p		i 2		V
S12	1 1	ln		2				2						1 1				ln	2			ln	2
								i
	T			p										T		2			p		2		V
								V 2
	1			1										1					1				1
									1

Так как из уравнения Менделеева-Клапейрона

p1V1

νR ,

T

1

S

ν

C

ln

p

C ln

V

p V

C

ln

p

C ln

V

2

2

1

1

2

2

12

V

p

p

V

T

V

p

p

V

1

1

1

1

1

 

.

.

2.6.7. III начало термодинамики

III начало термодинамики (тепловой закон Нернста): при стремлении к нулю термодинамической температуры энтропия термодинамической системы стремится к нулю.

Другая формулировка: абсолютный нуль недостижим.

Из закона Нернста следует, что для любой термодинамической системы

95

	C		dU
	V
			dT
				T 0

0

.

2.7. Классические распределения частиц идеального газа

2.7.1. Функция распределения

Пусть имеется термодинамическая система из N частиц; ξ – величина, характеризующая частицу. Вероятность того, что величина ξ будет иметь значение ξi,

Pi

где Ni – количество частиц, для которых ξ

N	i	,
N

= ξi.

Условие нормировки:

Pi 1

(так как то, что величина ξ примет какое-нибудь значение, есть достоверное событие).

Среднее значение величины ξ:

	i	i
ξ	N ξ			i i	.
	N			Pξ

Если величина ξ изменяется непрерывно, то вероятность того, что ξ = (ξ, ξ + dξ)

dP f ξ dξ ,

где f(ξ) – функция распределения вероятности (плотность вероятности).

ПРИМЕР

Распределение Гаусса
Распределение Гаусса – это функция ви-
да							,	f(ξ)
					α ξ ξ	2
f		ξ		Ae
					0
где ξ0 – постоянная, α – положительная
постоянная; коэффициент A находится
из условия нормировки (см. НИЖЕ).
График распределения Гаусса показан								0	ξ0	ξ
на РИС. 11.3.
По такому закону распределяются ре-									Рис. 11.3
зультаты серии большого числа слу-
чайных измерений32.
Демонстрация:				Доска Гальтона

Свойства функции распределения33

1.Определённость и непрерывность во всей области определения ξ(a, b)

32Результаты серии небольшого числа случайных измерений (N 10) подчиняются распределе-

нию Стьюдента (см. ВВОДНУЮ ГЛАВУ ЛАБОРАТОРНОГО ПРАКТИКУМА).

33В «живой» лекции эти свойства можно записать математическими значками.

96

2.Дифференцируемость во всей области определения

3.Интегрируемость во всей области определения

4.Условие нормировки (нормируемость):

b f ξ dξ

a

1

.

Зная функцию распределения, можно найти среднее значение любого параметра, зависящего от ξ.

Среднее значение ξ

					b	ξf ξ dξ			.
			ξ
					a
Среднее значение квадрата ξ
					b			f ξ dξ		.
		ξ	2			ξ	2
					a

Среднее значение функции φ(ξ)

			b	φ ξ f	ξ dξ
		φ				.
			a
Наиболее вероятное значение ξ
		df ξ		0	ξвер.
		dξ
			ξ ξ
				вер
Дополнительное задание

Найти по РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ГАУССА (a → –∞, b → ∞): нормировочный множитель A,

ξ	2	, ξвер.

ξ

,

97

Лекция 12

2.7.2. Распределение молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла)

Молекулы идеального газа движутся хаотически, но в этом хаосе есть закономерности. Рассмотрим идеальный газ из N частиц.

		Теперь случайная величина ξ – это модуль
vz		скорости v молекул идеального газа.
	dv	Найдём функцию распределения f(v).
		Рассмотрим	подпространство фазового
		пространства	– пространство скоростей
	v	(vx, vy, vz). Плотность изобразительных то-
		чек в этом пространстве будет равна Nf(v).
		Количество точек в сферическом слое ра-
O	vy	диуса v толщиной dv (РИС. 12.1)

dN Nf v 4πv2dv .

vx

Рис. 12.1

плотность вероятности

Вероятность попадания изобразительной точки в этот слой

	dP	dN	2
		N	f v 4πv dv ;
F v dP	f v 4πv2 .
dv

Так как все направления равноправны,
f v φ	v	x
1

φ	v	φ	v
2	y	3	z

,

(12.1)

функции φ1, φ2, φ3 одинаковы: φ1 = φ2 = φ3 = φ.

(12.1):

ln f v lnφ v	x	lnφ v	y

Продифференцируем это выражение по vx:

Прологарифмируем выражение

lnφ vz .

(12.2)

1

df v

v

1

dφ v

x

;

f v

dv

v

φ v

dv

x

x

x

vy

v

vx

vz

2v

v

2

2

2

vx

vx

x

v

x

2

v

2

v

2

2

v

x

y

z

1

vx

1

f

φv

v

f v

fv

v

φ vx

φv

x

x

v f v

vxφ vx

Аналогично, продифференцировав (12.2) по vy, vz, получим

fv

φ

fv

v y

,

φvz

.

v f v

vyφ vy

v f v

vzφ vz

;

.

Получается, что

98

f	const . Положим				f			α . Тогда
v					v
v f v					v f v
	1			dφ vx			α .
		vxφ vx			dvx

Решим это дифференциальное уравнение методом разделения переменных:

	dφ v	x		αv dv
	φ v
				x	x
	x

lnφ v			αv	2	const
				x
	x		2

φ

				2
				αv
v		Ae		x
				2
	x

.

Аналогично

αv2y

φ vy Ae 2

, φ

				2
				αv
v		Ae		z
	z			2

.

По формуле (12.1)

		α	2	2 2				αv	2
f v A e			vx	v y vz		A e			.
3		2				3		2

Выразим коэффициент A из условия нормировки:

						αv	2
							x
φ vx dvx φ vy dvy φ vz dvz 1				A e
							dvx 1.
						2

(12.3)

Определённый интеграл в последнем выражении поддаётся вычислению в эле-

ментарных функциях; в результате получим A 2απ . Подставим этот коэффици-

ент в выражение для f(v) (12.3):

		3				2
	α	2			αv
			e
f v					2
	2π

Найдём α. С одной стороны,

.

m	v	2		1		3		v2x kT
0	2	x		3		2	kT
								m0

(ср. РАЗДЕЛ 2.3.2), здесь m0 – масса молекулы. С другой стороны,

				φ vx dvx .
2			2
vx			vx

Отсюда можно получить

	α	m
		0
		kT

Итак,

.

							2
			m			m v
φ v				e		0		x
	x		0			2kT
			2πkT

аналогичные выражения для φ(vy), φ(vz);

,

99

							3			2
						m	2			m v
										0	;
f		v				0		e		2kT
						2πkT

(12.4)

		3			2
	m	2			m v
F v			4πv e		0
	0		2		2kT
	2πkT

– функция распределения Максвелла. График этой функции представлен на

РИС. 12.2.

F(v)

T1

T2 > T1

0

v

Рис. 12.2

Физический смысл площади под этой кривой на участке (v1, v2) – доля молекул со скоростями от v1 до v2

N N

v2 F v dv

v1

.

При нагревании доля молекул с большими скоростями возрастает, а доля молекул с малыми скоростями убывает.

Наивероятнейшая скорость молекулы идеального газа – скорость, соответствующая максимуму функции распределения F(v). Вычислим её:

dF v dv

0

v vвер

2

2

m v

m 2v

m v

0 вер

0 вер

вер

e

2kT

2

0

вер

e

2kT

вер

2v

v

2kT

0

,

vвер	2kT		2RT		.
	m		μ
	0

Средняя скорость молекулы идеального газа:

		8kT		8RT
v vF v dv ,	v					.
0		πm0		πμ

Средняя квадратичная скорость молекулы идеального газа: