u_lectures

201

Изменения значений электрических величин (заряда, силы тока, напряжения и т. д.), которые повторяются точно или приблизительно через равные промежутки времени, называются электрическими колебаниями. Электрическая цепь, состоящая из последовательно включенных катушки индуктивности, конденсатора и резистора, в которой могут возникнуть и поддерживаться колебания тока I, напряжения U, заряда q на конденсаторе, называется колебательным контуром.

Когда происходят электрические колебания в каждый момент, ток оказывается не одинаковым на разных участках цепи. В этом случае рассматривают квазистационарные токи. Это значит, что мгновенные значения токов и полей считаются такими же, как и в стационарном режиме, и для расчета цепей можно применять законы постоянного тока. Условно считается, что все изменения электромагнитного поля во времени происходят очень медленно, а распространение электромагнитных возмущений – мгновенно (со скоростью света). Например, будем считать, что установление тока в цепи с индуктивностью или накопление зарядов на конденсаторах происходят не мгновенно, а постепенно за тот промежуток времени, который требуется для распространения электромагнитных возмущений между двумя наиболее отдаленными точками рассматриваемой системы токов. Чтобы мгновенные значения квазистационарных токов подчинялись закону Ома переменные токи принимаются, как и постоянные тока, замкнутыми.

Рассмотрим механизм возникновения и математическое описание электромагнитных колебаний.

Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур - электрическая цепь, состоящая из последовательно соединенных pезистоpа сопротивлением R, катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C.

Если конденсатоp зарядить и колебательный контур отключить от внешнего источника, то возникают свободные электромагнитные колебания: незатухающие - без сопротивления (в LC-контуpе) и затухающие – при наличии сопротивления (в RLC-контуpе).

При включении контура в цепь переменного тока колебания будут вынужденными.

Во всех этих случаях на конденсаторе происходят колебания заряда q, напряжения UС, напряженности E, индукции D и энергии электрического поля WE, а на катушке – колебаний силы тока I, индукции B, напряженности H и энергии магнитного поля WM..

9.1.2. Свободные незатухающие колебания

Если сопротивление реального RLC–контура очень мало, то им можно пренебречь. Тогда получим идеальный LC-контур (рис.9.1).

Первоначально запасенная энергия в LC-контуpе остается постоянной во времени, и колебания могут продолжаться сколь угодно долго.

202

Рис. 9.1

В начальный момент времени (t = 0) конденсатор заряжен (рис. 9.1, а), его энергия WE и заряд максимальны, WE = q2 / (2C), тока в цепи нет. Тогда энергия магнитного поля WМ = LI2 / 2 = 0.

В промежутке времени 0 ÷T/8 (T - период колебаний) происходит разрядка конденсатора (рис. 9.1, б): q и WE уменьшаются, ток I, текущий от положительной обкладки к отрицательной, увеличивается и порождает в катушке возрастающее магнитное поле (WМ растет). В контуре возникает ЭДС самоиндукции εs, и потечет индукционный ток Ii. По правилу Ленца, он направлен против основного тока и замедляет его pост. "Инертность" катушки (меpа ее инертности L) мешает конденсатору pазpядиться мгновенно.

Впромежутке времени T/8 ÷T/4 (рис. 9.1, в) процесс pазpядки продолжается. При t = T / 4 ток в цепи и WМ = LI2 / 2 максимальны, q и WE равны нулю. Процесс pазpядки закончился.

Винтервале T/4 ÷3T/8 (рис. 9.1, г) сила тока I и энергия магнитного по-

ля WМ уменьшаются, индукционный ток совпадает по направлению с основным. Поэтому процесс убывания тока будет не мгновенным, а постепенным. Начиная с момента t=T/4, ток течет за счет ЭДС самоиндукции, идет процесс пеpезаpядки конденсатора. Заряд на его обкладках и энергия электрического

поля WE постепенно растут.

Далее, в интервале 3T/8 ÷T/2 процесс пеpезаpядки продолжается (рис. 9.1, д): q и WE pастут, I и WМ уменьшаются. В момент времени t = T/2 заряд

иWE = q2 / (2C) максимальны, I и WМ равны нулю, процесс пеpезаpядки закончился.

Впромежутке времени t = T/2 ÷5T/8 идет pазpядка конденсатора (рис. 9.1, е), ток возрастает, но его наплавление противоположно направлению тока при зарядке конденсатора. Процессы б, в, г, д повторяются, пpи t = T система возвращается в исходное состояние (рис. 9.1, а).

203

Считая процессы внутри контура квазистационаpными (мгновенные значения I одни и те же в любом месте контура), запишем для него второе плавило Кирхгофа:

UC = εs или

q

= − LdI

,

(9.1)

C

q

dt

где

= U

- падение напряжения на конденсаторе; ε

s

- ЭДС самоиндукции.

C

C

Разделим выражение (9.1) на L и, учитывая, что I = dq / dt, получим

d2q

+

1

q = 0.

(9.2)

LC

dt2

Так как q = CUС, то уравнение (9.2) запишем в виде

d2 Uc

+

1

U

c

= 0 .

(9.3)

LC

dt2

Уравнения (9.2) и (9.3) – это дифференциальные уравнения незатухающих электромагнитных колебаний, собственная циклическая частота которых

ω0 =1/	LC ,
а период определяется формулой Томсона:
T = 2π	LC .	(9.4)
Уравнения (9.2) - (9.3) - линейные	дифференциальные уравнения вто-
рого порядка. Решением этих уравнений будут гармонические функции
q = qm сos(ω0 t + α);	UC = UСm сos(ω0 t + α);	(9.5)
Тогда выражение для силы тока имеет вид
I = dq / dt = -qm ω0 sin(ω0 t + α) = -Im sin(ω0 t + α),		(9.6)

где qm, UCm - амплитуды колебаний заpяда, напpяжения на конденсаторе; Im = qmω0 - амплитуда силы тока. Графики функций q(t), I(t) приведены на рис. 9.2. Сопоставление (9.5) и (9.6) показывает, что в момент времени, когда ток достигает максимального значения, заряд обращается в ноль, и наоборот (рис. 9.2, а).

Рис. 9.2

Энергия электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки равны соответственно:

WE = q2 /(2C); WМ = LI2 / 2.

Подставим сюда q и I из формул (9.5), (9.6), получим уравнения колебаний энергии электрического и магнитного полей:

204

W

=

qm2

cos2 (ω

t + α),

;

E

2C

0

LIm2

qm2

W

=

sin2 (ω t

+α)=

sin2 (ω t +α),

(9.7)

M

2

0

2C

0

так как Lω02 = 1 / C.

Складывая WE

и WМ , находим полную энергию контура и убеждаемся

в ее постоянстве (рис. 9.2, б):

W = WE + WM

= qm2 [sin2 (ω0 t + α) + cos2 (ω0 t + α)];

(9.8)

2C

q2

LI2

W

=

=

m

m

.

2C

2

Лекция №2 (Тема 37-38)

9.2.1.Затухающие колебания

ВRLC-контуpе (рис. 9.3) энергия, первоначально запасенная в контуре, непрерывно расходуется на выделение теплоты Джоуля-Ленца, в результате чего колебания затухают.

Запишем для контура второе правило Кирхгофа:

UC + UR = εS

или

q

+ IR = −L

dI

,

(9.9)

C

dt

где UR = IR - падение напряжения на сопротивлении.

Разделив левую и правую часть уравне-

ния (9.9) на L и заменив I через dq/dt, преоб-

разуем его к виду

d2q

R

dq

1

Рис. 9.3

+

+

q = 0

dt2

L

dt

LC

или

d2q

+2β

dq

+ω02q = 0 ,

(9.10)

dt2

dt

где β = R/(2L) - коэффициент затухания; ω02 = 1/(LC). Выражение (9.10) представляет собой дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний; его решение имеет вид

q = q0 e- βt сos(ωt + α),

(9.11)

205

где q0 - начальная амплитуда колебаний заряда; q0 e- β t - амплитуда затухающих колебаний (рис. 9.4); ω - циклическая частота затухающих электромагнитных колебаний,

ω = ω02 −β2				,
или ω =	1	−	R 2
	LC			2 . (9.12)
			4L

Рис. 9.4

Период затухающих колебаний

T =		2π		.		(9.13)
	1
			−	R 2
	LC			2
				4L

При малых R (β<<ω0) формула (9.13) переходит к виду T = 2π LC. С возрастанием R увеличивается T. Колебания напряжения на обкладках конденсатора UC происходят в фазе с колебаниями уравнение имеет вид, сходный с выражением (9.11):

UC = qC0 e−βt cos(ωt + α).

Колебания энергии электрического поля в конденсаторе происходят по закону

	W =	1	(q0	−βt )2 cos2 (ωt + α) .	(9.14)
		2C

Можно показать, что в RLC-контуре ток опережает по фазе заряд на конденсаторе более чем на π / 2 (а в LC-контуре на π / 2).

Колебания энергии магнитного поля в контуре определяются соотношением WМ = L I 2 / 2, где I находится дифференцированием функции (9.11).

Затухание электромагнитных колебаний, как и в случае механических колебаний, принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания - натуральным логарифмом отношения амплитуд колебаний, следующих друг за другом через период T (рис. 2.4):

δ = ln A(tA(t)+ T) = βT,

где A - амплитуда соответствующей величины (q, UС, I и т. д.), а T находят через R, L, C по формуле (9.13).

Добротность контура Q определяет относительные потери энергии в

колебательном контуре за один период (при малом затухании):
Q = 2π W / W,	(9.15)

Рис. 9.6

Согласно закону Ома для участка цепи 1RL2

206

где W - энергия контура; W - энергия, теряемая за период колебаний. Добротность связана с δ соотношением

Q = π / δ = π Ne,

откуда следует, что добротность контура тем выше, чем большее число колебаний успевает совершиться прежде, чем амплитуда уменьшится в е раз.

		Апериодический	разряд	конденсатора
		(рис. 9.5) происходит при условии β 2 ≥ ω02 , т.
		е. R2 / (4L2) ≥ 1 / (LC). Сопротивление контура,
		при котором колебательный процесс переходит
		в апериодический,	называется	критическим.
		Условие Rкр2 / (4L2) = 1 / (LC)		дает значение
	Рис. 9.5	критического сопротивления		(9.16)
		Rкр = 2 L C.

9.2.4. Вынужденные колебания

Найдем уравнение колебаний в контуре, содержащем последовательно соединенные конденсатор С, катушку индуктивности L, активное сопротивление R и внешнюю переменную э.д.с. ε (t) (рис. 9.6).

	L	d2q	+	q	+ R	dq		= ε(t)			(9.17)
		dt2		C		dt
								ε(t)
	&&		&		2					.	(9.18)
	q + 2βq + ω0q =							L

В отличие от уравнения для свободных затухающих колебаний это уравнение в правой части содержит внешнюю переменную э.д.с., и, следовательно, является неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим случай, когда в контур включена внешняя переменная э.д.с. ε (t), зависящая от времени по гармоническому закону:

ε(t)= εm cos(ωt)

(9.19)

В данном случае уравнение колебательного контура записывается как

&&	&	2	εm cosωt	.	(9.20)
q	+ 2βq + ω0q =		L

207

Решение этого уравнения, как известно из математики, представляет собой сумму общего решения однородного уравнения (без правой части) и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения было найдено выше в случае для свободных затухающих колебаний. По истечении некоторого времени после начала колебаний этим слагаемым в общем решении можно пренебречь. Частное решение этого уравнения имеет вид (подробные математические выкладки для решения дифференциальных уравнений приведены в теме I, раздел «Механические колебания и волны»):

q = qm cos(ωt − ψ)

(9.21)

где qm — амплитуда заряда на конденсаторе; — разность фаз между колебаниями заряда и внешней э.д.с.

Найдем силу тока в цепи при установившихся вынужденных колебаниях:

I = −ωq		sin(ωt − ψ)= ωq			ωt − ψ +	π	(9.22)
	m		m	cos
						2
или		I = Im cos(ωt − ϕ),					(9.23)

где Im = ωqm – амплитуда силы тока в контуре, ϕ = ψ + π/ 2 - разность фаз между силой тока и приложенной э.д.с.

Далее, подставим найденный закон изменения силы тока от времени (9.23) в выражение для напряжения на сопротивлении:

UR = RI = RIm cos(ωt − ϕ)

(9.24)

Из полученного выражения видно, что UR находится в фазе с током I. Подставим найденный закон изменения заряда от времени (9.21) в выражение для

напряжения на емкости:

q

q

m

I

m

π

UC =

=

cos(ωt − ψ)=

cos

ωt − ψ −

.

(9.25)

C

C

wC

2

UС отстает по фазе от тока I на π/2.

Для того, чтобы найти напряжение на индуктивности нужно подставить в соотношение UL = L(dI/dt) производную, взятую для выражения от силы тока (9.21):

U		= wLI		sin(ωt − ϕ)= wLI			ωt − ϕ +	π	(9.26)
	L		m		m	cos		.
								2

Из полученного выражения видно, что UL опережает по фазе ток I на π/2. Представим амплитуды напряжений в виде векторной диаграммы (Рис. 9.7):

208

Так как уравнение (9.17) может быть представлено в следующем виде: UR + UL + UC = εm cos ωt ,

то амплитуда приложенного напряжения εm (изображенная на диаграмме вектором, длина которого равна численному значению амплитуды приложенного напряжения) должна быть равна векторной сумме амплитуд падений напряжений на сопротивлении, емкости и индук-

Рис 9.7	тивности.
Из прямоугольного прямоугольника на векторной диаграммы по теореме Пифагора
находим Im и φ. Итак, Im равна:
	Im =		εm	=		εm	(9.27)
		2		1 2		Z
	R		+ ωL −
				ωC

где Z – это полное (эффективное) сопротивление или импеданс электрической цепи колебательного контура или переменного тока.

Полное сопротивление электрической цепи состоит из:

• активного сопротивления – R,

• емкостного сопротивления – XC = 1/ωC,

• индуктивного сопротивления – XL = ωL.

Реактивным сопротивлением называют величину, равную

Х=ХL-XC.

(9.28)

Реактивное сопротивление измеряется в тех же единицах, что и активное, но отличается от активного сопротивления тем, что не определяет необратимые процессы в цепи, такие, например, как преобразование электромагнитной энергии в джоулеву теплоту.

Минимальное значение полного сопротивления достигается при условии, когда

ω = ω0 =	1	, и равно активному сопротивлению R.
	LC

Разность фаз между силой тока и приложенной э.д.с. φ можно найти по формуле:

tgϕ =	ωL −1/(ωC) .	(9.29)
	R

Сила тока достигает максимума при частоте

ω0 = LC1 ,

которая называется резонансной частотой контура.

Резонансом называется явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающего переменного напряжения к частоте,

209

равной или близкой собственной частоте колебаний системы. Резонансными кривыми называются графики зависимостей тока I, заряда q на конденсаторе и напряжений UR, UC и UL, от частоты ω внешней э.д.с.

Резонансными кривыми называются графики зависимостей тока I, заряда q на конденсаторе и напряжений UR, UC и UL, от частоты ω внешней э.д.с. Резонансные кривые для силы тока Im(ω) показаны на рис. 9.8 Максимум амплитуды заряда достигается при резонансной частоте

Рис.9.8

ω= ω02 − 2β2 .

(9.30)

Резонансные кривые для заряда на конденсаторе qm(ω) показаны на рис. 9.9. Максимум при резонансе тем выше, чем меньше коэффициент затухания.

Рис.9.9

Лекция №3 (Тема 39)

9.3.1.Переменный ток. Комплексное сопротивление.

Установившиеся вынужденные электрические колебания, рассмотренные ранее, представляют собой цепи переменного тока с емкостью, индуктивностью и активным сопротивлением. В данном случае переменные токи приближенно считаются квазистационарными. Все соотношения, полученные для параметров затухающих электрических колебаний (частоты, амплитуды, импеданса и т.д.) являются также основными характеристиками для цепей переменного тока и в общем случае имеют тот же самый вид.

С учетом уже полученных выше соотношений рассмотрим частные случаи протекания переменного тока в линейных цепях, содержащих либо резистор, либо катушку, либо конденсатор. Пусть генерируемое во внешней цепи напряжение изменяется по гармоническому закону:

U(t) =Um sin(ωt) .

1) Цепь содержит только активное сопротивле-

ние R (рис.9.10).

Ток в цепи будет по закону Ома равен:

				210
		Рис. 9.10		I =	Um	sin(ωt) = Im sin(ωt) ,
					R
	где Im =	Um	– амплитуда силы тока.
		R

Ток и напряжение меняются в одной фазе (сдвиг фаз между ними равен 0). Если отобразить вектора Im и Um на векторной диаграмме (Рис.9.11), то их концы будут описывать окружность, вращаясь с частотой, равной частоте напряжения w. Так как напряжение и ток меняются в фазе, то направления их векторов совпадают.

Рис.9.11	Рис.9.12

2) Цепь переменного тока содержит только емкость C (Рис. 9.12).

Без учета активного сопротивления в каждый момент времени напряжение на об-

кладках конденсатора равно Um sin(ωt)= Cq , откуда можно найти значение заряда:

q = UmCsin(ωt)

Ток равен I = UmωCcos(ωt)= Im sin(ωt + π/ 2),

где амплитуда силы тока связана с емкостное сопротивление XC = 1/wC следующим соот-

ношением: Im = UmwC = Um/XC

Ток опережает напряжение по фазе на π/2 (Рис.9.12).

3) Цепь содержит только катушку индуктивностью L (Рис. 9.13).

Активное сопротивление катушки считаем равным нулю. При прохождении переменного тока через катушку создается э.д.с. индукции, равное напряжению источника:

Um sin(ωt)= LdIdt

Рис.9.12	Рис. 9.13