u_lectures

131

Из формулы (5.12) следует, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому путиL, равнанулю, т.е.

∫dA = 0 .	(5.13)
L

Рис. 5.13

Если в качестве заряда, переносимого в электростатическом поле, взять единичный то-

чечный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на		пути dl равна
r r
Edl = E1dl, где Е1 = Е cosα - проекция вектора	E на направление элементарного переме-
щения. Тогдаформулу(5.13) можнозаписатьввиде
∫Edl = ∫Eldl = 0 .		(5.14)
r r	L
Интеграл ∫Edl = ∫Eldl называется	циркуляцией вектора	напряженности.

L

Следовательно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Силовое поле, обладающее свойством (5.14), называется по-

тенциальным. Из обращения в нуль циркуляции векторе E следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются и кончаются на зарядах(соответственнонаположительныхилиотрицательных) илижеуходятвбесконечность.

5.7. Потенциал электростатического поля

Тело, находящееся в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией, за счет которой силами поля совершается работа. Как известно, работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии. Поэтому работу сил электростатического поля можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд Q0 в начальной и конечной точках поля заряда Q:

1			QQ		0		QQ		0
A12 = 4πε				r		−	r				= U1	− U2 ,	(5.15)
		0						2
				1

откуда следует, что потенциальная энергия заряда Q0 в поле заряда Q равна

U = 4πε1 0 QQr 0 + C .

Она определяется не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной С. Если считать, что при удалении заряда в бесконечность (r→∞) потенциальная энергия обращается в нуль (U=0), то С=0 и потенциальная энергия заряда Q0, находящегося в поле заряда Q на расстоянии г от него, равна

132
U =	1		QQ0	.	(5.16)
	4πε0
			r

Для одноименных зарядов QoQ>0 и потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна, для разноименных зарядов QoQ<0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Если поле создается системой п точечных зарядов Qi, Q2, , Qn, то работа электростатических сил, совершаемых над зарядом Qo, равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности. Поэтому потенциальная энергия U заряда Qo, находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий Uj, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

n	n	1		Qi
U = ∑Ui = Q0	∑				.	(5.17)
		4πε0
i=1	i=1			ri

Из формул (5.16) и (5.17) вытекает, что отношение — не зависит от Q0 и является поэтому энергетической характеристикой электростатического поля, называемой потенциалом:

ϕ1 =	U	.	(5.18)
	Q0

Потенциал φ в какой-либо точке электростатического поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку.

Из формул (5.18) и (5.19) следует, что потенциал поля, создаваемого точечным зарядом Q, равен

ϕ =	1		Q	.	(5.19)
	4πε0
			r

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда

Qo из точки 1 в точку 2 (см. (5.15), (5.18), (5.19)), может быть представлена как
A12 = U1 − U2 = Q0 (ϕ1 − ϕ2 ),	(5.20)

т.е. равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках. Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определяется работой, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

Если перемещать заряд Q0 из произвольной точки за пределы поля, т.е. в бесконечность, где по условию потенциал равен нулю, то работа сил электростатического поля, согласно (5.20),

A∞ = Q0φ,

откуда

ϕ =	А∞	.	(5.21)
	Q

Таким образом, потенциал - физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки в бесконечность. Эта работа численно равна работе, совершаемой внешними силами (против сил электростатического поля) по перемещению единичного положительного

133

заряда из бесконечности в данную точку поля. Из выражения (5.18) следует, что единица потенциала - вольт (В): 1 В есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж (1 В =1 Дж/Кл).

Из формул (5.17) и (5.18) вытекает, что если поле создается несколькими зарядами, то потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов всех этих зарядов:

U = ∑ϕi =	1 ∑Qi .
n		n
i=1	4πε0 i=1 ri

Лекция №4 (Тема 21)

5.8. Связь напряженности с потенциалом. Эквипотенциальные поверхности

Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом - энергетической характеристикой поля

Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг

к другу и x2-x1= ∂x, равна E·Q· ∂ х. Та же работа равна Q(ϕ1 − ϕ2 ) = −Q∂ϕ. Приравняв оба выражения, можем записать

	E x = −	∂ϕ	,	(5.22)
		∂x

где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для оси у и z, можно найти вектор E :

r

∂ϕ r

∂ϕ r

∂ϕ r

E = −

i +

j +

k .

∂x

∂y

∂z

где ri ,

rj , kr

- единичные векторы координатных осей х, у, z.

Из определения градиента следует,

что выражение E = −

∂ϕ

можно записать

как

∂x

E = −gradϕ, или

E = − ϕ,

(5.23)

∂

r

∂

r

∂

r

где =

i +

j +

k -

набла-оператор. Следовательно, напряженность E поля

∂ч

∂y

∂z

равна градиенту потенциала со знаком минус.

r

Знак минус определяется тем, что вектор напряженности E поля направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля пользуются эквипотенциальными поверхностями. Линии напряженности, а следо-

вательно, вектор E всегда перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям. Поэтому работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю.

134

Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, напряженность поля больше.

а

б

Рис. 5.14

На рис. 5.14 для примера показан вид линий напряженности (штриховые линии) и эквипотенциальных поверхностей (сплошные линии) полей положительного точечного заряда (а) и заряженного металлического цилиндра, имеющего на одном конце выступ, а на другом - впадину (б).

5.9. Вычисление разности потенциалов по напряженности поля

Установленная связь между напряженностью поля и потенциалом позволяет по известной напряженности поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками этого поля.

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости определяется формулой

Е= σ , где σ - поверхностная плотность заряда. Разность потенциалов между точ-

2ε0

ками, лежащими на расстояниях xi и х2 от плоскости (используем формулу (5.22)), равна

ϕ1 − ϕ2	= ∫2	Edx = ∫2	σ	dx = σ (x2 − x1 )
	X	X
	X1	X1	2ε0		2ε0

2.Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плос-

костей определяется формулой Ε =

σ

Разность потенциалов между плоскостями,

ε0

расстояние между которыми равно d (см. (5.22)), равна

d

d

σ

σ

ϕ −ϕ

2

=

∫

Ε

x

dx =

∫ε

dx =

ε

d .

(5.24)

1

0

0

0

0

135

Рис. 5.15

ϕ1

3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности радиуса R с общим зарядом Q вне сферы (r > R) вычисляется по формуле

Ε = 4πε1 0 rQ2 .

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 от центра сферы (r1 > R, r2 > R), равна

r2

r2

− ϕ2 = ∫Εdr = ∫

1

Q

Q

1

1

dr =

−

.

(5.25)

4πε0

r

2

r1

r1

4πε0 r1

r2

Если принять r1 = r и r2 = ∞ то потенциал поля внесферической поверхности зада-

ется выражением ϕ = 4πεQ0 r (ср. с формулой (5.19)).

График зависимости приведен на рис. 5.15

4. Поле равномерно заряженного цилиндра радиуса R, заряженного с линейной плотностью х, вне цилиндра (r > R) определяется формулой

Ε =

1

τ

. Следовательно, разность потенциалов между двумя точками, лежащими на

2πε0

r

расстояниях r1 и r2 от оси заряженного цилиндра (r1 >R, r 2 >R), равна

r2

τ

r2

dr

τ

r

ϕ1 − ϕ2 = ∫Εdr =

∫

=

ln

2

.

(5.26)

2πε0

r1

2πε0 r1

r

r1

5.10. Типы диэлектриков. Поляризация диэлектриков

Диэлектрики состоят из атомов и молекул. Так как положительный заряд всех ядер молекулы равен суммарному заряду электронов, то молекула в целом электрически нейтральна. Ecли заменить положительные заряды ядер молекул суммарным зарядом +Q, находящемся в центре "тяжести" положительных зарядов, а заряд всех электронов - суммарным отрицательным зарядом -Q, находящемся в центре "тяжести" отрицательных зарядов, то молекулу можно рассматривать как rэлектрический диполь с

электрическим моментом, определенным по формуле ( Р = Q l), где l - плечо дипо-

ля.

Первую группу диэлектриков (N2, Н2, О2, СО2,...) составляют вещества, молекулы которых имеют симметричное строение, т.е. центры "тяжести" положительных и отрицательных зарядов в отсутствие внешнего электрического поля совпадают и, сле-

довательно, дипольный момент молекулы р равен нулю. Молекулы таких диэлектриков называются неполярными. Под действием внешнего электрического поля заряды не-

136

полярных молекул смещаются в противоположные стороны (положительные по полю, отрицательные против поля), и молекула приобретает дипольный момент.

Второю группу диэлектриков (Н2О, NH3, SO2, CO2) составляют вещества, молекулы которых имеют асимметричное строение, т.е. центры "тяжести" положительных и отрицательных зарядов не совпадают. Таким образом, эти молекулы в отсутствие внешнего электрического поля обладают дипольным моментом. Молекулы таких диэлектриков называются полярными. При отсутствии внешнего поля, однако, дипольные моменты полярных молекул вследствие теплового движения ориентированы в пространстве хаотично, и их результирующий момент равен нулю. Если такой диэлектрик поместить во внешнее поле, то силы этого поля будут стремиться повернуть диполи вдоль поля и возникает отличный от нуля результирующий момент.

Третью группу диэлектриков (NaCl, KCl, КВr) составляют вещества, молекулы которых имеют ионное строение. Ионные кристаллы представляют собой пространственные решетки с правильным чередованием ионов разных знаков. В этих кристаллах нельзя выделить отдельные молекулы, а рассматривать их можно как систему двух вдвинутых одна в другую ионных подрешеток. При наложении на ионный кристалл электрического поля происходит некоторая деформация кристаллической решетки или относительное смещение подрешеток, приводящее к возникновению дипольных моментов.

Таким образом, внесение всех трех групп диэлектриков во внешнее электрическое поле приводит к возникновению отличного от нуля результирующего электрического момента диэлектрика или, иными словами, к поляризации диэлектрика. Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей или появления под воздействием электрического поля ориентированных по полю диполей.

Соответственно трем группам диэлектриков различают три вида поляризации: электронная, или деформационная, поляризация диэлектрика с неполярными молекулами, заключающаяся в возникновении у атомов индуцированного дипольного момента за счет деформации электронных орбит.

Ориентационная, или дипольная, поляризация диэлектрика с полярными молекулами, заключающаяся в ориентации имеющихся дипольных моментов молекул по полю. Естественно, что тепловое движение препятствует полной ориентации молекул, но в результате совместного действия обоих факторов (электрическое поле и тепловое движение) возникает преимущественная ориентация дипольных моментов молекул по полю. Эта ориентация тем сильнее, чем больше напряженность электрического поля и ниже температура.

Ионная поляризация диэлектриков с ионными кристаллическими решетками, заключающаяся в смещении подрешетки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных - против поля, приводящем к возникновению дипольных моментов.

Лекция №5 (Тема 21)

5.11. Поляризованность. Напряженность поля в диэлектрике

При помещении диэлектрика во внешнее электростатическоеr поле он поляризуется, т.е. приобретает отличный от нуля дипольный момент рv = ∑pi , где рvi - дипольный

момент одной молекулы. Для количественного описания поляризации диэлектрика пользуются векторной величиной - поляризованностью, определяемой как дипольный момент единицы объема диэлектрика:

137

r	Pr		∑Pi
P =	V	=	i	.	(5.27)
			V
	V

Из опыта следует, что для большого класса диэлектриков (за исключением сегнето-

электриков) поляризованность P линейно зависит от напряженности поля Е. Если диэлектрик изотропный и Е не слишком велико, то

P = χε0Ε,	(5.28)
где χ- диэлектрическая восприимчивость вещества,	характеризующая свойства диэлек-

трика; χ - величина безразмерная; притом всегда χ>0и для большинства диэлектриков (твердых и жидких) составляет несколько единиц (хотя, например, для спирта χ ≈25, для воды χ =80).

Для установления количественных закономерностей поля в диэлектрике внесем в одно-

родное внешнее электростатическое поле Ε0

(создается двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями) пластинку из однородного диэлектрика, расположив ее так, как показано на рис. 5.16.

Под действием поля диэлектрик поляризуется, т.е. происходит смещение зарядов: положительные смещаются по полю, отрицательные - против поля.

Рис. 5.16

В результате этого на правой грани диэлектрика, обращенного к отрицательной плоскости, будет избыток положительного заряда с поверхностной плотностью + σ', на левой - отрицательного заряда с поверхностной плотностью − σ'. Эти некомпенсированные заряды, появляющиеся в результате поляризации диэлектрика, называются связанными. Так как их поверхностнаяr плотность σ меньше плотности свободных зарядов плос-

костей, то не все поле Ε компенсируется полем зарядов диэлектрика: часть линий напряженности пройдет сквозь диэлектрик, другая же часть - обрывается на связанных зарядах. Следовательно, поляризация диэлектрика вызывает уменьшение в нем поля по сравнению

с первоначальным внешним полем. Вне диэлектрика Ε = Ε0 .

Таким образом, появление связанных зарядов приводит к возникновению дополнительного электрического поля Ε′ (поля, создаваемого связанными зарядами), которое на-

правлено против внешнего поля Ε (поля, создаваемого свободными зарядами) и ослабляет его. Результирующее поле внутри диэлектрика

Ε = Ε0 − Ε′.

Поле Εr'= σε' (поле, созданное двумя бесконечно заряженными плоскостями), по-

этому

138

r r	σ'	.	(5.29)
Ε = Ε −	ε

Определим поверхностную плотность связанных зарядов σ'. Полный дипольный момент пластинки диэлектрикарV = PV = PSd , где S - площадь грани пластинки, d - ее толщина. С другой стороны, полный дипольный момент равен произведению связанно-

го заряда каждой грани Q'= σ'S на расстояние d	между ними, т.е. рV = σ'Sd . Таким
образом,
PSd = σ'Sd , или
σ'= P	(5.30)

т.е. поверхностная плотность связанных зарядов равна поляризованности Р. Подставив в (5.29) выражения (5.30) и (5.28), получим

	Ε = Ε0	− χΕ,
	откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна
	r	Ε	0		Ε	0
	Ε =			=				(5.31)
		1 + χ			ε
	Безмерная величина
		ε =1+ χ						(5.32)

называется диэлектрической проницаемостью среды. Сравнивая (5.31) и (5.32), видим, что е показывает, во сколько раз поле ослабляется диэлектриком, характеризуя количественно свойство диэлектрика поляризовался в электрическом поле.

5.12. Электрическое смещение.

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике

Напряженность электростатического поля зависит от свойств среды. В однородной изотропной среде напряженность поля Е обратно пропорциональна с Вектор

напряженности Ε, переходя через границу диэлектриков, претерпевает скачкообразное изменение, создавая тем самым неудобства при расчете электростатических полей. Поэтому оказалось необходимым помимо вектора напряженности характеризовать поле еще вектором электрического смещения, который для электрически изотропной среды по определению равен

D = ε0 εΕ.

(5.33)

Используя формулы (5.32) и (5.27), вектор электрического смещения можно выразить как

D = ε0 Ε + P .

(5.34)

Единица электрического смещения - кулон на метр в квадрате (Кл/м2). Рассмотрим, с чем можно связать вектор электрического смещения. Связанные

заряды появляются в диэлектрике при наличии внешнего электростатического поля, создаваемого системой свободных электрических зарядов, т.е. в диэлектрике на электростатическое поле свободных зарядов накладывается дополнительное поле связанных зарядовr . Результирующее поле в диэлектрике описывается векторомr напряженно-

сти Ε, и потому он зависит от свойств диэлектрика. Вектором D описывается электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами. Связанные заряды, возни-

139

кающие в диэлектрике, могут вызвать, однако, перераспределение свободных зарядов,

создающих поле.	r
Поэтому вектор D характеризует электростатическое поле, создаваемое сво-

бодными зарядами, но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика

Аналогично, как и поле Ε, поле D изображается с помощью линий электрического смещения, направление и густота которых определяются точно так же, как и для линий напряженности.

Линии вектора Ε могут начинаться на любых зарядах - свободных и связанных, в то время как линии вектора D - только на свободных зарядах. Через области поля, где находятся связанные заряды, линии вектора D проходят не прерываясь.

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора D сквозь эту поверхность

ФD = ∫DdS = ∫Dn dS

S S

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике:

r	r	n
∫DdS = ∫DndS = ∑ Qi ,			(5.35)
S	S	i=1

т.е. поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов.

В такой форме теорема Гаусса справедлива для электростатического поля как для однородной и изотропной, так и для неоднородной и анизотропной сред.

5.13. Условия на границе двух диэлектриков

Рассмотрим границу между двумя диэлектриками с проницаемостями ε1 и ε2 (рис. 5.17). Выберем на этой поверхности произвольно направленную ось х. Возьмем небольшой прямоугольный контур длины а и ширины b, который частично проходит в первом диэлектрике, частично – во втором. Ось х проходит через середину сторон b.

ε1	а				n1	S1 ε1
		b
ε2		х	h			ε2
				D	n2	S2
	Рис. 5.17
				Рис. 5.18

Пусть в диэлектриках создано поле, напряженность которого в первом диэлектрике равна Е1, а во втором Е2. Вследствие того, что [ E]=0, циркуляция вектора Е по выбран-

ному нами контуру должна быть равна нулю. При малых размерах контура и указанном на рис. 5.17 направлении обхода циркуляции вектора Е может быть представлена в виде

∫Eldl = E1x a − E2x a + Eb 2b ,

(5.36)

где Eb − среднее значение El на перпендикулярных к границе участках контура. При-

равняв это выражение нулю, придем к соотношению

140

(E2x − E1x )a = Eb 2b .

В пределе, при стремящейся к нулю ширине контура b, получается равенство

Е1х = Е2х.

(5.37)

Значения проекций векторов Е1 и Е2 на ось х берутся в непосредственной близости к границе диэлектриков.

Соотношение (5.37) выполняется при произвольном выборе оси х, нужно лишь, чтобы эта ось лежала в плоскости раздела диэлектриков. Из (5.37) следует, что при таком выборе оси х, при котором Е1х=0, проекция Е2х также будет равна нулю. Это означает, что векторы Е1 и Е2 в двух близких точках, взятых по разные стороны границы, лежат в одной плоскости с нормалью к поверхности раздела. Представим каждый из векторов Е1 и Е2 в виде суммы нормальной и тангенциальной составляющих:

Е1 = Е1n + E1τ; Е2 = Е2n + E2τ.

В соответствии с (5.37)
Е1τ = E2τ.	(5.38)

Здесь Eiτ – проекция вектора Ei на орт τ, направленный вдоль линии пересечения плоскости раздела диэлектриков с плоскостью, в которой лежат векторы Е1 и Е2.

Заменив согласно D = ε0εE проекции вектора Е проекциями вектора D, деленными

на ε0ε, получим соотношение
	D1τ	=			D2τ		,
	ε0ε1				ε0ε2
из которого следует, что				D1τ				ε1
						=			.	(5.39)
			D2τ					ε2

Теперь возьмем на границе диэлектриков воображаемую цилиндрическую поверхность высоты h (рис. 5.18). Основание S1 расположено в первом диэлектрике, основание S2 – во втором. Оба основания одинаковы по величине (S1 = S2 = S) и настолько малы, что в пределах каждого из них поле можно считать однородным. Применим к этой поверхно-

сти теорему Гаусса ФD = ∑qi . Если сторонних зарядов на границе между диэлектриками нет, правая часть равна нулю. Следовательно ФD = 0 .

Поток через основание S1 равен D1nS, где D1n – проекция вектора D в первом диэлектрике на нормаль n1. Аналогично поток через основание S2 равен D2nS, где D2n – проекция вектора D во втором диэлектрике на нормаль n2. Поток через боковую поверхность

можно представить в виде Dn Sбок , где Dn − значение Dn, усредненное по всей боковой поверхности, Sбок – величина этой поверхности. Таким образом можно написать

ФD = D1nS + D2nS + Dn Sбок = 0 .

(5.40)

Если устремить высоту цилиндра h к нулю, Sбок также будет стремиться к нулю. Поэтому в пределе получится соотношение

D1n = −D2n .

Здесь Din – проекция на ni вектора D в i-м диэлектрике в непосредственной близости к его границе с другим диэлектриком. Знаки проекций оказались разными вследствие того, сто нормали n1 и n2 к основаниям цилиндра имеют противоположные направления. Если проектировать D1 и D2 на одну и ту же нормаль, получится условие

D1n = D2n .

(5.41)