u_lectures

211

Откуда найдем ток в цепи:

I = UωLm cos(ωt)= UωLm sin(ωt − π/ 2)= Im sin(ωt − π/ 2),

где Im = Um = Um , если ввести реактивное индуктивное сопротивление XL = ωL .

ωL XL

В этом случае ток отстает от напряжения по фазе на

π/2 (Рис. 9.14).

Рис. 9.14

9.3.2. Правила Кирхгофа для переменных токов.

Мощность, выделяемая в цепи переменного тока

&&	&	2	ε(t)		можно с достаточно хорошим приближением
Уравнение q	+ 2βq + ω0q =		L

использовать для анализа цепей переменного тока. Аналогично тому, как закон Ома для цепи постоянного тока был использован по отношению к цепям переменного тока, то и правила Кирхгофа для постоянного тока обобщаются на переменные токи:

1)	в каждом узле			∑Ik = 0 ;		(9.30)
2)	для всякого замкнутого контура ∑Zk Ik = ∑εi .					(9.31)
	Мгновенное значение мощности равно произведению мгновенных значений на-
пряжения и тока:
			P(t) = UI = Um Im cos(ωt)cos(ωt − ϕ)			(9.32)
	Поскольку cos(ωt − ϕ) = cosωt cosϕ + sin ωt sin ϕ,
то P(t) = UI = Um Im (cos2 ωt cosϕ + sin ωt cosωt sin ϕ) .
	Найдем среднее значение			мощности	за период колебания,	учитывая, что
cosωt =		1	и sin ωtсosωt = 0
	2
				P =	Um Im cosϕ.	(9.33)
					2

Из векторной диаграммы (рис. 9.15) для вынужденных электрических колебаний в контуре, содержащем последовательно соединенные конденсатор С, катушку индуктивности L, активное сопротивление R и внешнюю переменную э.д.с. ε(t), находим, что

RIm = Um cosϕ.

212

Тогда выражение (9.33) примет вид

P =	RIm .	(9.34)
	2

Если ввести действующие (средние) значения напряжения U = U2m и тока

I = Im2 , то выражение средней мощности имеет вид

P = UIcosϕ,

(9.35)

где множитель cosφ принято называть коэффициентом мощности. Понятия действующих значений тока и напряжения в цепи переменного тока полезны на практике, так как именно они регистрируются амперметрами и вольтметрами. Таким образом, выделяемая в цепи мощность зависит не только от напряжения и силы тока, но еще и от сдвига фаз между током и напряжением.

Лекция 4 (Тема 39)

9.4.1. Цепь переменного тока

Цепь переменного тока представляет собой ряд сопротивлений, емкостей и индуктивностей, в которых текут токи, колебания которых установились и совершают с постоянной частотой ω. Колебания такой частоты возбуждаются одной или несколькими э.д.с.

Для одной из ветвей цепи, например для ветви с индуктивностью L, зависимость тока от времени имеет вид

I=I0 cos(ωt+φ) (9.36)

Так как частота для всей цепи постоянна, то для задания тока в данной ветви достаточно указать две величины: амплитуду тока I0 и постоянную фазу φ.

Колебания напряжения на концах ветви также имеют определенную амплитуду и фазу:

U=U0 cos(ωt+θ)

(9.37)

Если нам известны токи и напряжения во всех ветвях, то анализ цепи можно считать законченным. Эти величины можно найти, составив и решив соответствующие дифференциальные уравнения. Если нас интересует переходный режим цепи, то все это необходимо проделать. Однако для установившегося режима существует более простой и элегантный метод. Он основан на двух идеях: 1) переменные токи и напряжения могут быть представлены комплексными числами; 2) при заданной частоте любая ветвь или элемент контура характеризуется отношением напряжения к току.

Первая идея основана на замечательном математическом торжестве:

213
eiθ =cosθ+isinθ	(9.38)

где i = -1. Ее применение опирается на следующее правило :

Переменный ток I0 cos (ωt + φ) можно представить комплексным числом I0eiφ Tе числом, действительная часть которого равна I0cosφ, а мнимая часть равна I0sinφ, и наоборот, если комплексное число х+iy представляет ток I, то ток,

как функция времени выражается действительной частью произведения

(x+iy)eiωt .

Следующее свойство введенного нами представления подтверждает его полезность: представление суммы двух токов есть сумма их представлений. Рассмотрим сумму двух токов I1 и I2 , встречающихся в узле. В любой момент времени t сумма токов равна.

I1+I2=I01 cos(ωt+φ1 )+ I02 cos(ωt+φ2)= (I01 cosφ1+ I02 cosφ2)cosωt – (I01 sinφ1+ I02 sinφ2)sinωt (9.39)

С другой стороны, сумма комплексных чисел которая, согласно нашему пра-

вилу, представляет токи I1 и I2 , равна
I01eiφ1+I02eiφ2=(I01 cosφ1+ I02 cosφ2 ) +i(I01 sinφ1+ I02 sinφ2)	(9.40)

Помножив правую часть уравнения (10.5) на (cosωt + i sinωt) и взяв действительную часть полученного результата, вы получите правую часть уравнения (9.39)

Это означает, что вместо прибавления или вычитания самых периодических функций времени можно прибавить или отнять представляющие их комплексные числа. Иными словами, алгебра переменных токов в отношении сложения совпадает с алгеброй комплексных чисел. Для анализа цепей нам нужно, однако, только сложение токов и напряжений. Например, для узла где встречаются токи I1 и I2, справедливо физическое условие, состоящее в том, что в любой момент времени полный ток, входящий в узел, равен нулю. Условие

I1+I2+I3=0	(9.41)
Должно быть справедливо с том случае, если I1 , I2 и I3	являются действи-

тельными периодическими функциями времени. Благодаря рассмотренному соответствию это условие можно представить в вижу простого алгебраического равенства, состоящего в том, что сумма трех комплексных чисел равна нулю. Все вышесказанное относится и к напряжениям. Одновременно сумма падений напряжений в любом замкнутом контуре цепи должна быть равна э.д.с., действующей в контуре в данный момент времени. Это условие, связывающее периодические функции напряжения, можно заменить условием, касающимся суммы некоторых комплексных чисел. Эти числа представляют различные осциллирующие функции U1(t), U2(t) и т.д.

9.4.2. Полная проводимость и импеданс

214

Связь между током, текущим в элементе контура, и напряжением на этом элементе можно заменить связью между комплексными числами, представляющими напряжение и ток.

Рассмотрим цепь, состоящую из индуктивности и сопротивления

.Колебания напряжения можно представить величиной ε0, а ток – величиной I0eiφ, где I0=ε0/(R2 +ω 2L 2 )1/2 и tgφ=ωL/R. Разность фаз φ и отношение ампли-

туды тока к амплитуде напряжения являются свойствами контура при данной

частоте. Введем комплексное число Y, определяемое следущим образом:

где :Y= eiφ / /(R2 +ω 2L 2 )1/2 где φ=arctg(-ωL/R) (9.42)

Тогда мы можем написать:

I=YU,

(9.43)

где U – комплексное число, представляющее напряжение на последовательном соединении R и L, I – комплексное число, представляющее ток. Величина Y называется полной проводимостью. Это же соотношение можно выразить с помощью величины, обратной Y, обозначаемой через Z. Она называется полным сопротивлением, или импедансом:

U=(1/Y) I =Z I

(9.44)

В данном случае мы пользуемся произведением двух комплексных чисел, но только одно из них является представлением переменного тока или напряжения. Вторая величина – это или импеданс, или полная проводимость.

Импеданс изменяется в Омах. Действительно, если элемент тока состоит только из сопротивления R, то импеданс будет величиной действительной и просто равной R, так что уравнение (9.40) будет заменой закона Ома для цепи постоянного тока: U=RL.

Для чистой индуктивности без сопротивления полная проводимость является мнимой величиной Y=-i/ωL. Это следует из уравнения (9.38), если положить к нем R равным нулю. Множитель –i показывает, что колебания тока отстают по фазе от колебаний напряжения на π/2. На комплексной плоскости, где напряжение представлено величиной U , ток будет представлен величиной I. Для емкостей Y=iωC, что следует, например, из выражения для тока . Заметьте, что положительное направление тока всегда определяется так, чтобы положительное напряжение, приложенное к сопротивлению, вызывало положительный ток.

В следующей таблице приведены свойства трех основных элементов

цепей:

Обозначение	Полная проводи-	Импеданс Z =
	мость Y	1/Y

215

R	1/R	R
	- i/ωL	iωL
	iωC
		- i/ωC
	I=YV	V=ZI

Из этих элементов можно построить любой контур. При параллельном соединении элементов или их комбинаций удобно пользоваться полной проводимостью, так как в этом случае проводимости складываются. На рис. 10.15 два «черных ящика» с полными проводниками Y1 и Y2 соединены параллель-

но. Вы этом случае мы имеем уравнение
I=I1+I2=Y 1U+Y 2U=(Y1+Y2)U	(9.45)

Смысл которого в том, что полная проводимость одного черного ящика , эквивалентного выше упомянутным двум, равна Y=Y1+Y2.Из рис.. следует,что при последовательном соединении элементов складываются импедансы. Это звучит так, как будто мы говорим о сети постоянного тока! И действительно, мы свели задачу о цепи постоянного тока с единственным различием: числа, с которыми мы имели дело, являются комплексными числами.

В качестве примера рассмотрим контур из параллельно включенных элементов R,L и C. Полная проводимость трех параллельных ветвей равна

Y=1/R+iωC-i/ωL	(9.46)
Напряжение равно просто ε0, и комплексный ток выражается уравнением
I= ε0U	(9.47)

216

Рис. 10.15.	Рис. 10.16.
При параллельном соединении скла-	При последовательном соединении
дываются проводимости	складываются импедансы.

Амплитуда колебаний тока равна модулю комплексного числа I:= ε /[1/R2 +(ωC-1/ωL)2 ]1/2, а фазовый угол равен arctg( RωC – R/ωL).

Рассмотренный метод применим только к линейным элементам контуров, т.е. у элементам, в которых ток пропорционален напряжению. Другими словами, наш контур должен описываться линейным дифференциальным уравнением. Для нелинейного элемента мы не можем даже определить понятие импеданса. Нелинейные элементы контуров являются очень важными и интересными устройствами. Вы встречались в рядом таких устройств в лаборатории и могли убедиться в том, то для анализа их работы нужны другие методы.

Все рассмотренные, выполненное нами, относилось к незатухающим колебаниям постоянной частоты. Исследования переходного режима контура представляет собой другую задачу.

РАЗДЕЛ 10. ВОЛНЫ

Лекция №1 (Тема 40)

10.1.1.Уравнения Максвелла и их свойства

Теория электромагнитного поля Максвелла основана на том, что переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле, а переменное магнитное поле вызывает в свою очередь появление переменного электрического поля. Из уравнений Максвелла следует, что источником электрического поля могут быть не только электрические заряды (сторонние и связанные), величина которых определяется законом Кулона, но и меняющееся во времени магнитное поле (выражение закона электромагнитной индукции Фарадея). Магнитное поле, определяемое законом Био-Савара, в свою очередь возбуждается или электрическими токами, или переменным

217

электрическим полем, или же тем и другим одновременно. Максвелл теоретически показал, что электрическое и магнитное поля не только являются взаимопревращаемыми, но и более того, существует единое электромагнитное поле, которое способно существовать самостоятельно: без электрических зарядов и токов. Уравнения Максвелла могут быть применимы как к постоянным, так и к переменным электромагнитным полям, а также учитывают принцип суперпозиции для электрического и магнитного полей.

divD = ρ, rotE = -	∂B		,
	∂t		(10.1)
divB = 0, rotH = j +		∂D		.
		∂t

Эти уравнения дополняются материальными уравнениями, которые в случае слабых электромагнитных полей, медленно меняющихся в пространстве и во времени, для линейных изотропных сред без сегнетоэлектриков и ферромагнетиков имеют вид:

B = μμ0 H, D = εε0 E .

(10.2)

Уравнения Максвелла линейны относительно плотности электрических зарядов ρ и токов j, а также содержат только первые производные электрического и магнитного полей. Под ρ и j понимается суммарные плотность заряда и плотность тока.

Уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения заряда, является следствием уравнений Максвелла.

Фундаментальные уравнения Максвелла релятивистки инвариантны относительно преобразований Лоренца, т. е. они выполняются во всех инерциальных системах отсчета.

Итак, система основных уравнений электромагнитного поля Максвелла, постулирует существование переменного электромагнитного поля. Однажды возбужденные с помощью, например, колеблющихся зарядов, меняющиеся во времени электрическое и магнитное поля могут распространяться в пространстве, "оторвавшись" от своих источников. Распространение этого поля в пространстве происходит с конечной скоростью (в вакууме - со скоростью света) и имеет волновой характер, поскольку последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей представляет собой периодический процесс во времени и в пространстве.

Можно показать, что из уравнений Максвелла следует волновое урав-

нение			1		∂2 E
	E =					(10.3)
			υ2		∂t2
и скорость распространения электромагнитной волны в веществе
υ =	1	εε	=		c .
	μμ		0		με
	0

= μμ0 H& y

= B& y

218

где

μ0ε0 =1/ c2 ,

с- электродинамическая постоянная, численно равная скорости света в ва-

кууме. Этот факт указывает на связь между электромагнитными и оптическими явлениями: свет является электромагнитной волной. Причем, скорость распространения электромагнитных волн в среде (веществе) меньше таковой в вакууме.

Волновое уравнение для вектора Н принимает вид, связывающий вто-

	рые производные по времени и координатам:
	H =	1	∂2 H .	(10.4)
		υ2
			∂t2

Рассмотрим случай плоской электромагнитной волны, когда электрическое и магнитное поля зависят от одной координаты, например - x. В этом случае ось х перпендикулярна волновым поверхностям, и проекции векторов Е и Н не зависят от координат.

Это значит, что из производных по координатам отличны от нуля только производные по x, а соответствующие производные по у и z равны 0.

Пусть B& x = 0 , поскольку стационарные электрическое (магнитное) поле к

распространению волны отношения не имеет. Отсюда запишем еще одно уравнение:

0 = μμ0 H& x .

Пусть направление вектора совпадает с направлением оси 0Z, тогда составляющая Еу = 0 и, следовательно, производная проекции вектора B на

ось z по времени равна 0: ∂∂Btz = 0 ,или

∂∂Exy = −μμ0 H& z

∂Ez

∂x

или, используя материальное уравнение (10.2), можно записать:

∂Ez

∂x

Аналогично для вектора Н	∂Hz		&
	∂x	= −εε	0 Ey

Таким образом, поскольку для переменного магнитного поля плоской волны Ех = 0 и Ну = 0, то векторы Е и Н перпендикулярны направлению распространения волны (оси х) (рис. 10.1). Это означает, что электромагнитная волна является поперечной.

219

Изменяющееся во времени магнитное поле, направленное вдоль оси у, порождает электрическое поле только вдоль оси z; и наоборот: изменяющееся во времени электрическое поле, направленное вдоль оси z, порождает магнитное поле только вдоль оси у. Это значит, что векторы Е и Н электромагнитной вол-

ны взаимноперпендикулярны.

Рис. 10.1.

Уравнениям (9.23) и (9.33) удовлетворяют решения вида:

Ez = Em cos(ωt − kx − α1 )

Hy = Hm cos(ωt − kx − α2 )

где Еm и Нm - амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны, соответственно, а ω - круговая частота волны, k = 2π/ λ- волновое число ( λ- длина волны), α - начальные фазы колебаний.

В уравнениях (9.3), (9.33) начальные фазы равны, так как колебания электрического и магнитного векторов происходят в одной фазе. Знак минус в скобках означает, что волна распространяется в положительном направлении оси х.

Можно показать, что амплитуды векторов Е и Н связаны соотношени-

ем

Em εε0 = Hm μμ0 0

Векторы Е и Н образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему.

Итак, теория Максвелла не только предсказала существование электромагнитных волн, но и установила их важнейшие свойства:

1) скорость распространения электромагнитной волны v в нейтральной непроводящей и неферромагнитной среде

υ =	c	εε	=	c	;
	μμ		0	με
	0

2)векторы Е, Н и υ взаимно перпендикулярны и образуют правовинтовую систему - это внутреннее свойство электромагнитной волны, которое не зависит ни от какой системы координат;

3)в электромагнитной волне векторы E и B всегда колеблются в одинаковых фазах, причем между мгновенными значениями E и B в любой точке пространства существует следующая связь

Em εε0 = Hm μμ0 ,

E =[υ× B].

220

Существование электромагнитных волн позволило Максвеллу объяснить волновую природу света, таким образом, свет - это электромагнитная волна.

10.1.2. Энергия электромагнитной волны. Плотность потока энергии электромагнитной волны

Электромагнитные волны переносят энергию. Плотность энергии электромагнитного поля (суммарная энергия колебаний всех частиц, находящих-

	ся в единице объема среды:) w =	W	, в среде без сегнетоэлектриков и фер-
		V

ромагнетиков равна сумме плотностей электрического и магнитного полей:

w =	εε0 E2	+ μμ0 H2
	2	2
Учитывая, что плотность электрической энергии в бегущей волне равна
плотности магнитной энергии, можно записать:
Поток энергии - энергия переносимая волной через некоторую поверх-
ность S за единицу времени: Ф =	W/	t. Единица измерения - Дж/c.

Плотность потока энергии - поток энергии через единичную площадку, расположенную перпендикулярно к направлению, в котором переносится энергия - можно найти, как произведение плотности энергии на скорость волны v:

Плотность потока энергии - вектор, направление которого совпадает с направлением вектора фазовой скорости . Вектор плотности потока энергии

называется вектором Умова-Пойтинга, который позволяет вычислить полный поток энергии через определенную поверхность.

Поскольку векторы Е и Н взаимно ортогональны с направлением распространения волны (вектором v) и образуют правовинтовую систему с направлением распространения волны, то соотношение (9.4) справедливо и в векторной форме:

ЛЕКЦИЯ 6 (ТЕМА 41)

10.2. Оптический эффект Доплера