3.5. Построение линейного уравнения по его решениям

87

3.5.2. Формула Остроградского-Лиувилля

Используя представление линейного дифференциального уравнения в виде (3.36), можно получить формулу для определителя Вронского. При выводе этой формулы мы используем следующее правило дифференцирования функциональных определителей.

Пусть D(t) – определитель n-го порядка, элементами которого являются функции, непрерывно дифференцируемые на отрезке [a, b]. Производная D0(t) определителя D(t) равна сумме n определителей, каждый из которых получен из D(t) путем замены одной из его строк на строку из производных.

Из этого правила следует простая формула для производной определителя Вронского Δ(t) = W [y1, y2, . . . , yn](t), составленного из системы n раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b] функций y1(t), y2(t), . . . , yn(t),

y1(t)

y2(t)

. . . yn−1(t)

yn(t)

y10 (t)

y20 (t)

. . .

yn0 −1(t)

yn0 (t)

0(t) = det

(n ...2)

(t) y

(n ...2)

...

(n ...2)

(t) y

(n ...2)

(t)

.

y

−

−

(t) . . . y

n

−

−

1

2

1

n

(n)

(t)

(n)

(t)

. . .

(−n)

(t)

(n)

(t)

y1

y2

yn

−

1

yn

Действительно, применим правило вычисления производной функционального определителя к определителю Вронского Δ(t). Все определители, в которых на производные заменяется любая строка, кроме последней, будут равны нулю, как определители, имеющие одинаковые строки. Следовательно, только последний определитель, в котором на

производные заменена последняя строка, и представляет собой производную 0(t).

Пусть y1(t), y2(t), . . . , yn(t) – фундаментальная система решений уравнения (3.35). Из теоремы 3.5.1 следует, что это уравнение однозначно определяется своей фундаментальной системой. Значит, поделив уравнение (3.36) на определитель Вронского Δ(t), мы получим уравнение (3.35). Тогда из записи уравнения (3.36) следует, что коэффициент

0(t) a1(t) = − Δ(t) .

88 Глава 3. Общая теория линейных дифференциальных уравнений

Интегрируя от t0 до t, получим формулу Остроградского-Лиувилля

t	a1(τ)dτo, t [a, b].
Δ(t) = Δ(t0) expn−t0
R

Следствие 3.5.1. Если коэффициент a1(t) = 0, t [a, b], то определитель Вронского W [y1, y2, . . . , yn](t) постоянен на отрезке [a, b].