4.1. Линейные однородные системы и матричные уравнения

89

Глава 4

Общая теория линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений

4.1.Линейные системы дифференциальных уравнений и матричные дифференциальные уравнения

Рассмотрим на отрезке [a, b] нормальную систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в векторной форме с непрерывными на отрезке [a, b] действительными коэффициентами ai,j(t) и непрерывными комплекснозначными fk(t):

(t)

dy

= A(t)

y

(t) + f(t),

t [a, b],

(4.1)

dt

где

a11...(t) ·.·..·

a1n...(t)

f1...(t) .

A(t) =

,

(t) =

f

an1

(t)

· · ·

ann(t)

fn(t)

Напомним, что решение y(t) = (y1(t), . . . , yn(t))> системы (4.1) является, вообще говоря, комплекснозначной вектор-функцией y(t) = u(t) + iv(t), где

u(t) = (u1(t), . . . , un(t))>, v(t) = (v1(t), . . . , vn(t))>,

а uj(t), vj(t) действительны, j = 1, . . . , n, В дальнейшем, если не оговорено особо, речь пойдет именно о комплекснозначных решениях.

4.1.1. Линейные однородные системы

Определение 4.1.1. Система (4.1) называется однородной, если f(t) ≡ θ на отрезке [a, b]. В противном случае система (4.1) называется неоднородной.

90 Глава 4. Общая теория линейных систем

Здесь и далее θ = (0, . . . , 0)> обозначает нулевой вектор-столбец соответствующей размерности.

Лемма 4.1.1. Если y(t) – решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений, то αy(t) также решение однородной системы для любого α C. Если y1(t) и y2(t) – два решения линейной однородной системы, то y(t) = y1(t)+y2(t) также решение однородной системы.

Доказательство. Если dy(t)/dt = A(t)y(t), то

d{αy(t)} = αdy(t) = αA(t)y(t) = A(t){αy(t)}.

dt dt

Если dy`(t)/dt = A(t)y`(t), ` = 1, 2, то

dy(t) = d{y1(t) + y1(t)} = dy1(t) + dy1(t) = dt dt dt dt

= A(t)y1(t) + A(t)y2(t) = A(t)y(t).

Следствие 4.1.1. Если y`(t) – решения линейной однородной систе-

m

P

мы ` = 1, . . . , m, то y(t) = α`y`(t) также решение однородной си-

`=1

стемы для любых α` C.

4.1.2. Однородные матричные дифференциальные уравнения

Рассмотрим линейную однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерывными на отрезке [a, b] действительными коэффициентами ai,j(t), i, j = 1, 2, . . . , n

(t)

dy

= A(t)

(t),

t [a, b],

(4.2)

y

dt

где

a11...(t) ·.·..·

a1n...(t)

y1...(t) .

A(t) =

,

(t) =

y

an1(t)

· · ·

ann(t)

yn(t)

4.1. Линейные однородные системы и матричные уравнения

91

Пусть имеется n вектор-функций

yj(t) = (y1j(t), . . . , ynj(t))>, j = 1, . . . , n.

Составим матрицу Y (t), столбцами которой являются данные векторфункции:

Y (t) = (		1(t),		2(t), . . . ,		n(t)) =	y11...(t)	·.·..·	y1n...(t) .		(4.3)
	y		y		y
							yn1(t)	· · ·	ynn	(t)

Сопоставим системе (4.2) матричное однородное дифференциальное уравнение

	dY (t)	= A(t)Y (t),	(4.4)
	dt

где производная матричной функции равна матрице, состоящей из про-

изводных элементов исходной матрицы, то есть dY (t)/dt = dyij(t)/dt . По определению, решением матричного дифференциального уравнения (4.4) на отрезке [a, b] называется непрерывно дифференцируемая на данном отрезке матричная функция вида (4.3), обращающая уравнение (4.4) в тождество. Уравнение (4.4) имеет по сравнению с системой (4.2) более симметричную форму записи, напоминающую скалярное уравнение первого порядка: и "коэффициент"A(t) уравнения и искомая функция Y (t) являются объектами одинаковой природы – матричными функциями. Связь между решениями системы (4.2) и матричным

уравнением (4.4) устанавливает следующая теорема.

Теорема 4.1.1. Вектор-функции y1(t), y2(t), . . . , yn(t) являются решениями однородной системы (4.2) на отрезке [a, b] тогда и только тогда, когда составленная из этих функций матрица Y (t) вида (4.3) является решением матричного дифференциального уравнения (4.4).

Доказательство. Для доказательства необходимости рассмотрим решения y1(t), y2(t), . . . , yn(t) системы (4.2) и составим из них матрицу Y (t) вида (4.3). Поскольку

dyj(t)

dt = A(t)yj(t), j = 1, . . . , n,

92	Глава 4. Общая теория линейных систем

то для соответствующей матричной производной, элементы которой сгруппированы по столбцам, получаем равенства

dt	=	dt		,	dt		, . . . ,	dt			=
dY (t)		dy	1(t) dy			2(t)		dy	n(t)

= (Ay1(t), Ay2(t), . . . , Ayn(t)) = A(t)Y (t).

То есть выполнено матричное уравнение (4.4). Аналогично, расписывая матричное уравнение (4.4) по столбцам, доказывается достаточность.

Теорема 4.1.2. Пусть матричная функция Y (t) является решением матричного уравнения (4.4). Тогда:

1.для любого вектора констант c = (c1, c2, . . . , cn)>, cj C, векторфункция y(t) = Y (t)c удовлетворяет системе (4.2);

2. для любой матрицы констант B = bi,j		, bi,j C, i, j = 1, . . . , n,
матричная функция	X(t) = Y (t)B удовлетворяет уравнению
(4.4).

Доказательство. 1. Если матричная функция

Y (t) = (y1(t), y2(t), . . . , yn(t))

является решением уравнения (4.4), то по теореме 4.1.1 вектор-столбцы yj(t) являются решениями системы (4.2), также как и их линейная комбинация

			n
			Xj
y	(t) = Y (t)	c	= cj	y	j	(t).
=1

2. В силу линейности операции дифференцирования и ассоциативности операции произведения матриц, имеем:

dX(t)	=	d	{Y (t)B} =	dY (t)	· B =
dt		dt		dt

= {A(t)Y (t)} B = A(t) {Y (t)B} = A(t)X(t).