Литература	121
многочлена для линейного однородного уравнения (B.11):
a0λn + a1λn−1 + · · · + an−1λ + an = 0.	(B.13)

Известно, что у матриц Фробениуса каждому λj из совокупности попарно различных собственных значений {λ1, . . . , λ`} с соответствующими кратностями k1, . . . , k` (k1 + · · · + k` = n) отвечает ровно один собственный вектор h1j , dim Ker (A − λjE) = 1, и если его кратность kj > 1, то существуют ровно kj − 1 присоединенных векторов

	2	,		3	, . . . ,		kj	, j = 1, . . . , `.
h			h			h
	j		j			j

Тогда фундаментальная система решений легко выписывается благодаря (4.29) и теореме 4.4.2:

1

exp{λjt},

2

+

t

1

exp{λjt}, . . .

hj

hj

hj

1!

kj

t

kj

1

t2

kj

2

tkj −1

1

. . . , hj

+

hj

−

+

hj

−

+ · · · +

hj

exp{λjt},

1!

2!

(kj − 1)!

j = 1, . . . , `.

Первые компоненты полученных вектор-функций дают линейно независимые решения линейного однородного уравнения (B.11):

bj1 exp{λjt},

bj2 +

t

bj1

exp{λjt}, . . .

1!

k

t k

1

t2 k

2

tkj −1

. . . , bj j

+

bj j −

+

bj j −

+ · · · +

bj1

exp{λjt}, (B.14)

1!

2!

(kj − 1)!

где bmj – первая компонента числового вектора hmj , j = 1, . . . , `. Заметим, что всегда b1j 6= 0, поскольку в противном случае система (B.14) будет являться линейно зависимой на любом отрезке. Поэтому в силу линейности и однородности уравнения (B.11) его решениями также будут функции

exp{λjt}, t exp{λjt}, . . . , tkj −1 exp{λjt}, j = 1, . . . , `. (B.15)

В силу леммы 3.4.2 система функций (B.15) является линейно независимой на любом отрезке [a, b] и составляет фундаментальную систему

122

решений линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами (B.11).

Литература

1.Дмитриев В.И. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Изд-во КДУ, 2007.

2.Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Часть 1. М.: Изд-во МГУ, 1985.

3.Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: УРСС, 2003.

4.Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1983.

5.Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.

6.Филиппов А.Ф. Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: УРСС, 2004.

7.Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: Изд-во РХД, 2000.

8.Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: УРСС, 2002.