- •Математика
- •Приложение 5
- •Приложение 6
- •Общие положения
- •2. Требования к оформлению контрольной работы
- •3. Методические указания к изучению дисциплины
- •§2. Случайные события. Операции.
- •§3. Классическое определение вероятности .
- •§ 4. Примеры задач на классическую вероятностную схему.
- •§5. О статистической и геометрической вероятностях.
- •§6. Простейшие свойства вероятностей.
- •§7. Условные вероятности. Независимость событий.
- •§8. Вероятность наступления хотя бы одного события.
- •§9. Формула полной вероятности.
- •§10. Формула байеса.
- •Комментарии к задаче № 2
- •§11. Повторные независимые испытания
- •§12. Другие формулы вычисления вероятностей для схемы бернулли .
- •Комментарии к задаче № 3
- •§13. Случайные величины дискретного типа.
- •§14. Функция распределения.
- •§15. Математическое ожидание случайной величины дискретного типа.
- •§16. Дисперсия случайной величины.
- •§17. Биномиальный и пуассоновский законы распределения.
- •Комментарии к задаче № 4
- •§18. Случайные величины непрерывного типа.
- •§19. Нормальный закон распределения и его характеристики.
- •§20. Другие законы распределения непрерывных случайных величин.
- •5. Методические указания к выполнению задания № 5
- •Часть 2.
- •Дискретный вариационный ряд
- •Интервальный вариационный ряд
- •Дискретный вариационный ряд
- •Корреляционная таблица
- •6. Контрольные задания № 1- № 4
- •Контрольные задания №5
- •Список литературы
- •Нормированная функция Лапласа
- •Значения чисел q в зависимости от объёма выборки n и надёжности для определения доверительного интервала среднего квадратического отклонения
- •Критические точки распределения
- •Содержание дисциплины «Математика: Теория вероятностей и математическая статистика» Тема 1. Сущность и условия применимости теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей
- •Тема 2. Случайные величины и способы их описания
- •Тема 3. Многомерные случайные величины (системы случайных величин)
- •Тема 3. Многомерные случайные величины (системы случайных величин)
- •Санкт-Петербург
- •Перечень контрольных вопросов для проверки знаний по дисциплине.
Комментарии к задаче № 4
§18. Случайные величины непрерывного типа.
Если возможные значения случайной величины сплошь заполняют некоторый промежуток <a,b> R (быть может, и всю ось) , то табличный способ задания случайной величины непригоден. Такая случайная величина называется случайной величиной непрерывного типа. Ее функция распределения F(x) будет непрерывна. Напомним, что F() = 0 , F(+ ) = 1 , F(x) монотонная неубывающая функция. Производная такой функции F(x) будет функцией неотрицательной. Она называется плотностью распределения вероятностей или дифференциальной функцией распределения вероятностей. Ее обозначение .
Часто по условию задачи задают именно плотность распределения, зная которую можно вычислить и (интегральную) функцию распределения ( по формуле Ньютона - Лейбница ):
F(x) = F(x) F( ) =
Заметим, что f(x) не обязательно непрерывная функция, она допускает в отдельных точках разрывы 1-го рода.
Итак, f(x) неотрицательная кусочно-непрерывная функция, причем, согласно одному из свойств F(x),
F(+ ) == 1
Последнее равенство, называемое условием нормировки f(x), показывает, что f(x) не любая неотрицательная функция: площадь между графиком плотности распределения и осью абсцисс должна быть равна 1.(Для дискретной случайной величины условием нормировки являлось равенство ).
Для непрерывных случайных величин справедливы равенства F(b) F(a) = P(a X < b) = P(a < X < b) = P(a < X b) = = P(a X b) = .
М(Х) и D(X) определяются формулами
M(X) =, D(X) =.
Вычислительная формула для D(X):
D(X) = M(X2) (M(X))2 = (M(X))2.
§19. Нормальный закон распределения и его характеристики.
Нормальный (гауссовский) закон распределения задается плотностью распределения по формуле
, x
Числа а R и > 0 называются параметрами нормального закона. Нормальный закон с такими параметрами обозначается N(a,).
При а = 0 функция f(x) четная ( f(x) = f(x) ) , ее график симметричен относительно оси OY, и поэтому среднее значение М(Х) = 0. График f(x) для закона N(a,) получается из графика f(x) для N(0,) сдвигом на а единиц вправо ( это известно из курса средней школы ), поэтому в общем случае М(Х) = а для нормального закона.
Дисперсия же вычисляется по формуле D(X) =2.
Пример. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с плотностью вероятности
Найти А, М (Х), D(X), P(3<X<3).
Т. к. , то
Показатель экспоненты приравняем к, откуда а = 2 ,= 1 . Числовой коэффициент должен быть равен А, следовательно,
, M (X) = a = 2, D(X) = 2 = 1.
P (3 < X < 3) = F(3) F(3) = =
Этот интеграл не вычисляется в элементарных функциях, его численное значение можно найти по таблицам.
В большинстве учебников имеются таблицы для вычисления функций
Ф(х) = или Ф1(х) = =+ Ф(х)
Ф(х) нечетная функция, т.е. Ф(х) = Ф(х). В общем случае
Р(x1 < X < x2) = ,
где а и - параметры нормального закона. Следовательно, для данного примера
P(|X| < 3) = Ф1(1) Ф1(5) = Ф(1) Ф(5) = Ф(1) + Ф(5) =
= 0,3413 + 0,5 = 0,8413.